备考2020年高考数学一轮复习：23 平面向量的概念及线性运算

试卷更新日期：2019-09-04 类型：一轮复习

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一、单选题

1. 已知 $\vec{a} ， \vec{b}$ 为非零不共线向量，向量 $8 \vec{a} - k \vec{b}$ 与 $- k \vec{a} + \vec{b}$ 共线，则 $k =$ （）

A、 $2 \sqrt{2}$ B、 $- 2 \sqrt{2}$ C、 $\pm 2 \sqrt{2}$ D、8

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2. $\vec{A B} + \vec{B D} - \vec{A C} =$ （）

A、 $\vec{A C}$ B、 $\vec{C D}$ C、 $\vec{A B}$ D、 $\vec{D B}$

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3. 如图，△ABC中，E，F分别是BC，AC边的中点，AE与BF相交于点G，则 $\vec{A G}$ =（）

A、 $\frac{1}{2} \vec{A B} + \frac{1}{2} \vec{A C}$ B、 $\frac{1}{3} \vec{A B} + \frac{2}{3} \vec{A C}$ C、 $\frac{1}{3} \vec{A B} + \frac{1}{3} \vec{A C}$ D、 $\frac{2}{3} \vec{A B} + \frac{1}{3} \vec{A C}$

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4. 如图，在 $Δ A B C$ 中， $\overset{⇀}{A D} = \frac{2}{3} \overset{⇀}{A C}$ ， $\overset{⇀}{B P} = \frac{1}{3} \overset{⇀}{P D}$ ，若 $\overset{⇀}{A P} = λ \overset{⇀}{A B} + μ \overset{⇀}{A C}$ ，则 $λ + μ$ 的值为（）

A、 $\frac{11}{12}$ B、 $\frac{3}{4}$ C、 $\frac{8}{9}$ D、 $\frac{7}{9}$

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5. 在 $Δ A B C$ 中， $A D$ 为 $B C$ 边上的中线， $E$ 为 $A D$ 的中点，则 $\vec{E B} =$ （）

A、 $\frac{1}{4} \vec{A B} - \frac{3}{4} \vec{A C}$ B、 $\frac{3}{4} \vec{A B} - \frac{1}{4} \vec{A C}$ C、 $\frac{1}{4} \vec{A B} + \frac{3}{4} \vec{A C}$ D、 $\frac{3}{4} \vec{A B} + \frac{1}{4} \vec{A C}$

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6. 在平行四边形 $A B C D$ 中，下列结论错误的是（）

A、 $\overset{⇀}{A B} + \overset{⇀}{C D} = \overset{⇀}{0}$ B、 $\overset{⇀}{A D} + \overset{⇀}{A B} = \overset{⇀}{A C}$ C、 $\overset{⇀}{A D} + \overset{⇀}{B D} = \overset{⇀}{A B}$ D、 $\overset{⇀}{A D} + \overset{⇀}{C B} = \overset{⇀}{0}$

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7. 在 $Δ A B C$ 中， $\vec{A B} = \vec{c}$ ， $\vec{A C} = \vec{b}$ ．若点 $D$ 满足 $\vec{B D} = 2 \vec{D C}$ ，则 $\vec{A D} =$ （）

A、 $\frac{2}{3} \vec{b} + \frac{1}{3} \vec{c}$ B、 $\frac{5}{3} \overset{⇀}{c} - \frac{2}{3} \overset{⇀}{b}$ C、 $\frac{2}{3} \vec{b} - \frac{1}{3} \vec{c}$ D、 $\frac{1}{3} \overset{⇀}{b} + \frac{2}{3} \overset{⇀}{c}$

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8. 在 $△ A B C$ 中， $\overset{⇀}{B D} = \frac{1}{2} \overset{⇀}{D C}$ ，则 $\overset{⇀}{A D}$ =（）

A、 $\frac{1}{4} \overset{⇀}{A B} + \frac{3}{4} \overset{⇀}{A C}$ B、 $\frac{2}{3} \overset{⇀}{A B} + \frac{1}{3} \overset{⇀}{A C}$ C、 $\frac{1}{3} \overset{⇀}{A B} + \frac{2}{3} \overset{⇀}{A C}$ D、 $\frac{1}{3} \overset{⇀}{A B} - \frac{2}{3} \overset{⇀}{A C}$

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9. 在等腰梯形ABCD中， $\vec{A B} = 2 \vec{D C}$ ，点E是线段BC的中点，若 $\vec{A E} = λ \vec{A B} + μ \vec{A D}$ ，则 $λ + μ = ($ 　　 $)$

A、 $\frac{5}{2}$ B、 $\frac{5}{4}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{1}{4}$

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10. 已知 $A B C D$ 为平行四边形，若向量 $\vec{A B} = \vec{a}$ ， $\vec{A C} = \vec{b}$ ，则向量 $\vec{B C}$ 为（）

A、 $\vec{a} - \vec{b}$ B、 $\vec{a} + \vec{b}$ C、 $\vec{b} - \vec{a}$ D、 $- \vec{a} - \vec{b}$

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11. 设 $\overset{⇀}{e_{1}} ， \overset{⇀}{e_{2}}$ 是两个单位向量，则下列结论中正确的是（）

A、 $\overset{⇀}{e_{1}} = \overset{⇀}{e_{2}}$ B、 $\overset{⇀}{e_{1}} ∥ \overset{⇀}{e_{2}}$ C、 $\overset{⇀}{e_{1}} = - \overset{⇀}{e_{2}}$ D、 $| \overset{⇀}{e_{1}} | = | \overset{⇀}{e_{2}} |$

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12. 向量 $\vec{A B} + \vec{M B} + \vec{B O} + \vec{B C} + \vec{O M}$ 化简后等于（）

A、 $\vec{B C}$ B、 $\vec{A B}$ C、 $\vec{A C}$ D、 $\vec{A M}$

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二、填空题

13. 已知向量 $\vec{a} ， \vec{b}$ 满足： $| \vec{a} + 4 \vec{b} | = 3$ ， $| 2 \vec{a} - 3 \vec{b} | = 2$ ，当 $| \vec{a} - 7 \vec{b} |$ 取最大值时， $\frac{| \vec{a} |}{| \vec{b} |} =$ ．

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14. 在 $Δ A B C$ 中，已知 $D$ 是 $B C$ 延长线上一点，若 $\overset{⇀}{B C} = 2 \overset{⇀}{C D}$ ，点 $E$ 为线段 $\overset{⇀}{A D}$ 的中点， $\overset{⇀}{A E} = λ \overset{⇀}{A B} + μ \overset{⇀}{A C}$ ，则 $λ + μ =$ ．

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15. 若 $\overset{⇀}{a}$ 与 $\vec{b}$ 是互为相反向量，则 $\overset{⇀}{a} + \vec{b} =$ .

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16. 在平行四边形 $A B C D$ 中，点 $E$ 是 $A D$ 的中点，点 $F$ 是 $C D$ 的中点，记 $\overset{⇀}{B E} = \overset{⇀}{a}$ ， $\overset{⇀}{A C} = \overset{⇀}{b}$ ，用 $\overset{⇀}{a}$ ， $\overset{⇀}{b}$ 表示 $\overset{⇀}{A B}$ ，则 $\overset{⇀}{A B} =$ ．

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17. 已知单位向量 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角是 $\frac{2 π}{3}$ ，则 $| \vec{a} - \vec{b} | =$ .

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三、解答题

18. 如图所示，在长、宽、高分别为AB=3，AD=2， $A A_{1} = 1$ 的长方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的八个顶点的两点为始点和终点的向量中：

(1)、单位向量共有多少个？

(2)、试写出模为 $\sqrt{5}$ 的所有向量；

(3)、试写出与 $\vec{A B}$ 相等的所有向量；

(4)、试写出 $\vec{A A_{1}}$ 的相反向量．

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19. 设两个非零向量 $\overset{⇀}{e_{1}}$ 与 $\overset{⇀}{e_{2}}$ 不共线.

(1)、如果 $\overset{⇀}{A B} = \overset{⇀}{e_{1}} + \overset{⇀}{e_{2}}$ ， $\overset{⇀}{B C} = 2 \overset{⇀}{e_{1}} + 8 \overset{⇀}{e_{2}}$ ， $\overset{⇀}{C D} = 3 (\overset{⇀}{e_{1}} - \overset{⇀}{e_{2}})$ ，求证： $A$ 、 $B$ 、 $D$ 三点共线；

(2)、试确定实数 $k$ 的值，使 $k \overset{⇀}{e_{1}} + \overset{⇀}{e_{2}}$ 和 $\overset{⇀}{e_{1}} + k \overset{⇀}{e_{2}}$ 共线.

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20. 如图， $F$ 为线段 $B C$ 的中点， $C E = 2 E F$ ， $D F = \frac{3}{5} A F$ ，设 $\vec{A C} = a$ ， $\vec{A B} = b$ ，试用 $a$ ， $b$ 表示 $\vec{A E}$ ， $\vec{A D}$ ， $\vec{B D}$ .

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