备考2020年高考数学一轮复习：22 正弦定理、余弦定理应用举例

试卷更新日期：2019-09-04 类型：一轮复习

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一、单选题

1. 某人在 $C$ 点测得某塔在南偏西80°，塔顶仰角为45°，此人沿南偏东40°方向前进10米到 $D$ 点测得塔顶A的仰角为30°，则塔高为（）

A、15米 B、5米 C、10米 D、12米

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2. 某炮兵阵地位于 $A$ 点，两个观察所分别位于 $C$ ， $D$ 两点，已知 $Δ A C D$ 为等边三角形，且 $D C = \sqrt{3} k m$ ，当目标出现在 $B$ 点（ $A$ ， $B$ 两点位于 $C D$ 两侧）时，测得 $∠ C D B = 45 °$ ， $∠ B C D = 75 °$ ，则炮兵阵地与目标的距离约为（）

A、 $1.1 km$ B、 $2.2 km$ C、 $2.9 km$ D、 $3.5 km$

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3. 一艘海轮从A处出发，在A处观察灯塔C，其方向是南偏东 $85^{\circ}$ .海轮以每小时60海里的速度沿南偏东 $40^{\circ}$ 方向直线航行，20分钟后到达B处.在B处观察灯塔C，其方向是北偏东 $65^{\circ}$ .则B，C之间的距离是（）

A、 $10 \sqrt{3}$ B、 $20 \sqrt{3}$ C、 $20 \sqrt{2}$ D、 $10 \sqrt{2}$

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4. 在一条东西走向的水平公路的北侧远处有一座高塔，塔底与这条公路在同一水平平面上，为测量该塔的高度，测量人员在公路上选择了 $A ， B$ 两个观测点，在 $A$ 处测得该塔底部 $C$ 在西偏北 $β$ 的方向上；在 $B$ 处测得该塔底部 $C$ 在西偏北 $α$ 的方向上，并测得塔顶 $D$ 的仰角为 $γ$ .已知 $A B = a$ ， $0 < γ < β < α < \frac{π}{2}$ ，则此塔的高 $C D$ 为（）

A、 $\frac{a s i n (α - β)}{s i n α} tan γ$ B、 $\frac{a s i n α}{s i n (α - β)} tan γ$ C、 $\frac{a s i n (α - β) s i n β}{s i n α} tan γ$ D、 $\frac{a s i n α s i n β}{s i n (α - β)} tan γ$

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5. 如图所示，隔河可以看到对岸两目标A，B，但不能到达，现在岸边取相距4km的C，D两点，测得∠ACB＝75°，∠BCD＝45°，∠ADC＝30°，∠ADB＝45°(A，B，C，D在同一平面内)，则两目标A，B间的距离为（）km.

A、 $\frac{8 \sqrt{5}}{3}$ B、 $\frac{4 \sqrt{15}}{3}$ C、 $\frac{2 \sqrt{15}}{3}$ D、2 $\sqrt{5}$

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6. 两灯塔 $A ， B$ 与海洋观察站 $C$ 的距离都等于 $2 k m$ ，灯塔 $A$ 在 $C$ 北偏东 $45^{\circ}$ ， $B$ 在 $C$ 南偏东 $15^{\circ}$ ，则 $A ， B$ 之间的距离为（）

A、 $2 \sqrt{3} km$ B、 $3 \sqrt{3} km$ C、 $4 \sqrt{3} km$ D、 $5 \sqrt{3} km$

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7. 如图，一座建筑物AB的高为 (30－10 $\sqrt{3}$ )m，在该建筑物的正东方向有一个通信塔CD．在它们之间的地面上点M(B，M，D三点共线)处测得楼顶A，塔顶C的仰角分别是15°和60°，在楼顶A处测得塔顶C的仰角为30°，则通信塔CD的高为（）

A、30 m B、60 m C、 30 $\sqrt{3}$ m D、 40 $\sqrt{3}$ m

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8. 如图，某景区欲在两山顶A，C之间建缆车，需要测量两山顶间的距离 $.$ 已知山高 $A B = 1 (k m)$ ， $C D = 3 (k m)$ ，在水平面上E处测得山顶A的仰角为 $30^{\circ}$ ，山顶C的仰角为 $60^{\circ}$ ， $∠ A E C = 150^{\circ}$ ，则两山顶A，C之间的距离为 $($ $)$

A、 B、 C、 D、

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9. 一船以每小时 $15 \sqrt{2}$ km的速度向东行驶，船在A处看到一灯塔B在北偏东60°，行驶4小时后，船到达C处，看到这个灯塔在北偏东15°，这时船与灯塔的距离为（）

A、60km B、 $60 \sqrt{2}$ km C、 $30 \sqrt{2}$ km D、30km

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10. 如图，飞机的航线和山顶在同一个铅垂平面内，已知飞机的高度为海拔 $20000$ m，速度为 $900$ km/h，飞行员先看到山顶的俯角为 $30^{\circ}$ ，经过80s后又看到山顶的俯角为 $75^{\circ}$ ，则山顶的海拔高度为（）

A、 $5000 (\sqrt{3} + 1) m$ B、 $5000 (\sqrt{3} - 1) m$ C、 $5000 (3 - \sqrt{3}) m$ D、 $5000 (5 - \sqrt{3}) m$

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11. 甲船在岛的正南方 $A$ 处， $A B = 10$ 千米，甲船以每小时4千米的速度向正北匀速航行，同时乙船自 $B$ 出发以每小时6千米的速度向北偏东 $60^{0}$ 的方向匀速航行，当甲、乙两船相距最近时，它们所航行的时间是（）

A、 $\frac{5}{14}$ 小时 B、 $\frac{5}{7}$ 小时 C、 $\frac{14}{5}$ 小时 D、 $\frac{7}{5}$ 小时

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12. 如图，测量河对岸的塔高 $A B$ 时，可以选与塔底 $B$ 在同一水平面内的两个观测点 $C$ 与 $D$ ，测得 $∠ B C D = 75 ° ， ∠ B D C = 45 ° ， C D = 30$ 米，并在 $C$ 测得塔顶 $A$ 的仰角为 $60 °$ ，则塔的高度 $A B$ 为（）

A、 $30 \sqrt{2}$ 米 B、 $30 \sqrt{6}$ 米 C、 $15 (\sqrt{3} + 1)$ 米 D、 $10 \sqrt{6}$ 米

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二、填空题

13. 某船在 $A$ 处看到灯塔 $S$ 在北偏西 $40^{\circ}$ 方向，它向正北方向航行50海里到达 $B$ 处，看到灯塔 $S$ 在北偏西 $76^{\circ}$ 方向，则此时船到灯塔 $S$ 的距离为海里．

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14. 如图，某建筑物的高度 $B C = 300 m$ ，一架无人机 $Q$ 上的仪器观测到建筑物顶部 $C$ 的仰角为 $15 °$ ，地面某处 $A$ 的俯角为 $45 °$ ，且 $∠ B A C = 60 °$ ，则此无人机距离地面的高度 $P Q$ 为 $m$

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15. 如图，为测量山高MN，选择A和另一座的山顶C为测量观测点，从A点测得M点的仰角∠NAM=60°，C点的仰角∠CAB=45°以及∠MAC=75°；从C点测得∠MCA=60°，已知山高BC=1000m，则山高MN=m．

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16. 如图，一栋建筑物 $A B$ 的高为 $(30 - 10 \sqrt{3})$ m ，在该建筑物的正东方向有一个通信塔 $C D$ ，在它们之间的地面点 $M$ （ $B ， M ， D$ 三点共线）处测得楼顶 $A$ ，塔顶 $C$ 的仰角分别是 $15^{\circ}$ 和 $60^{\circ}$ ，在楼顶 $A$ 处测得塔顶 $C$ 的仰角为 $30^{\circ}$ ，则通信塔 $C D$ 的高为

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17. 一艘船以20km/h的速度向正北航行，船在A处看见灯塔B在船的东北方向，1h后船在C处看见灯塔B在船的北偏东75°的方向上，这时船与灯塔的距离BC等于km.

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18. 在地平面上有一旗杆 $O P$ （ $O$ 在地面），为了测得它的高度h，在地平面上取一长度为20m的基线 $A B$ ，在A处测得P点的仰角为30°，在B处测得P点的仰角为45°，又测得 $∠ A O B = 30 °$ ，则旗杆的高h等于m．

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19. 如图，嵩山上原有一条笔直的山路 $B C$ ，现在又新架设了一条索道 $A C$ ，小李在山脚B处看索道 $A C$ ，发现张角 $∠ A B C = 120 °$ ；从 $B$ 处攀登4千米到达 $D$ 处，回头看索道 $A C$ ，发现张角 $∠ A D C = 150 °$ ；从 $D$ 处再攀登8千米方到达 $C$ 处，则索道 $A C$ 的长为千米．

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三、解答题

20. 如图，某货轮在A处看灯塔层在货轮的北偏东75°，距离为6海里，在A处看灯塔C在货轮的北偏西30°，距离为4海里，货轮由A处向正北航行到D处时，再看灯塔B在北偏东120°，求：

(1)、A处与D处的距离；

(2)、灯塔C与D处的距离。

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21. 如图所示，某海岛上一观察哨 $A$ 上午 $11$ 时测得一轮船在海岛北偏东 $60^{0}$ 的 $C$ 处， $12$ 时 $20$ 分测得船在海岛北偏西 $60^{0}$ 的 $B$ 处， $12$ 时 $40$ 分轮船到达位于海岛正西方且距海岛 $5 k m$ 的 $E$ 港口，如果轮船始终匀速直线前进，求船速多少．

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22. 如图，一人在 $C$ 地看到建筑物 $A$ 在正北方向，另一建筑物 $B$ 在北偏西 $45 °$ 方向，此人向北偏西 $75 °$ 方向前进 $\sqrt{30} k m$ 到达 $D$ 处，看到 $A$ 在他的北偏东 $45 °$ 方向， $B$ 在北偏东 $75 °$ 方向，试求这两座建筑物之间的距离.

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23. 如图，某货轮在A处看灯塔B在货轮的北偏东75°，距离为 $12 \sqrt{6}$ nmile，在A处看灯塔C在货轮的北偏西30°，距离为 $8 \sqrt{3}$ nmile，货轮由A处向正北航行到D处时，再看灯塔B在北偏东120°，求：

(1)、A处与D处的距离；

(2)、灯塔C与D处的距离．

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24. 如图，A，B是海面上位于东西方向相距 $5 (3 + \sqrt{3})$ 海里的两个观测点，现位于A点北偏东45°，B点北偏西60°的D点有一艘轮船发出求救信号，位于B点南偏西60°且与B点相距 $20 \sqrt{3}$ 海里的C点的救援船立即即前往营救，其航行速度为30海里/小时，该救援船到达D点需要多长时间？

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