备考2020年高考数学一轮复习：21 正弦定理和余弦定理

试卷更新日期：2019-09-04 类型：一轮复习

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一、单选题

1. $Δ A B C$ 中， $a = 2, b = \sqrt{6}, B = \frac{π}{3}$ ，则 $\sin A$ 的值是（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ D、 $\frac{1}{2}$ 或 $\frac{\sqrt{3}}{2}$

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2. △ABC中，若A＋C＝3B，则cosB的值为（）

A、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $- \frac{1}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$

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3. 在 $△ A B C$ 中，已知三个内角为 $A, B, C$ 满足 $s i n A : s i n B : s i n C = 3 : 5 : 7$ ，则 $C =$ （）．

A、 $90 °$ B、 $120 °$ C、 $135 °$ D、 $150 °$

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4. ∆ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知asinA-bsinB=4csinC，cosA= $- \frac{1}{4}$ ，则 $\frac{b}{c}$ =（）

A、6 B、5 C、4 D、3

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5. 在 $△ A B C$ 中， $∠ A = 60 °$ ， $a = 4 \sqrt{3}$ ， $b = 4 \sqrt{2}$ ，则 $B$ 等于（）

A、 $45 °$ 或 $135 °$ B、 $135 °$ C、 $45 °$ D、以上答案都不对

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6. 已知a、b、c分别是△ABC的三个内角A、B、C所对的边, 若 $a \sin A \sin B + b \cos^{2} A = \sqrt{2} a$ ,则 $\frac{b}{a} =$ （）

A、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ B、 $\sqrt{2}$ C、 $1$ D、 $2$

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7. 在 $Δ A B C$ 中， $a$ ， $b$ ， $c$ 分别是内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 所对的边，若 $b \cos C + c \cos B = a \sin A$ ，则 $Δ A B C$ 的形状为（）

A、等腰三角形 B、直角三角形 C、钝角三角形 D、锐角三角形

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8. 在 $Δ A B C$ 中， $A$ ， $B$ ， $C$ 所对的边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ， $B = \frac{π}{3}$ ， $\overset{⇀}{A B} \cdot \overset{⇀}{B C} = - 2$ ，且满足 $sin A + sin C ＝ 2 sin B$ ，则该三角形的外接圆的半径 $R$ 为（）

A、 $\frac{4 \sqrt{3}}{3}$ B、 $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ C、 $\sqrt{3}$ D、 $2 \sqrt{3}$

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9. 在 $△ A B C$ 中三内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且 $b^{2} + c^{2} - \sqrt{3} b c = a^{2}$ ， $b c = \sqrt{3} a^{2}$ ，则角C的大小是（）

A、 $\frac{π}{6}$ 或 $\frac{2 π}{3}$ B、 $\frac{π}{3}$ C、 $\frac{2 π}{3}$ D、 $\frac{π}{6}$

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10. 在 $Δ A B C$ 中，如果 $B C = 6$ , $A B = 4$ ， $cos B = \frac{1}{3}$ ，则 $A C$ =（）

A、 $6$ B、 $2 \sqrt{6}$ C、 $3$ D、 $4 \sqrt{6}$

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11. 已知 $Δ A B C$ 的三个内角 $A, B, C$ 所对的边分别为 $a, b, c$ .若 $c^{2} - a^{2} - b^{2} + a b = 0,$ $a + b = 2 c, S_{Δ A B C} = \sqrt{3}$ .则边长 $c$ 等于（）

A、 $\sqrt{3}$ B、 $4$ C、 $2$ D、 $\sqrt{6}$

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二、填空题

12. △ABC的内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，知 $b s i n A + a c o s B = 0$ ，则 $B$ =

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13. $△ A B C$ 的内角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$ .若 $b = 6, a = 2 c, B = \frac{π}{3}$ ，则 $△ A B C$ 的面积为.

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14. $△ A B C$ 的内角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$ .已知 $b \sin A + \sqrt{3} a \cos B = 0$ ，则 $B$ =.

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15. 在 $Δ A B C$ 中， $A = 60^{°}, A C = 16$ ,其面积 $S = 220 \sqrt{3}$ ，则 $B C$ 长为.

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16. 在 $Δ A B C$ 中，角 $A ， B ， C$ 所对的边分别为 $a ， b ， c$ ，已知 $\frac{\sin A}{a} = \frac{\sqrt{3} \cos B}{b} = \frac{1}{2}$ ，且 $Δ A B C$ 的面积为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ ，则 $Δ A B C$ 的周长为.

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17. 在 $Δ A B C$ 中，角 $A ， B ， C$ 所对的边分别为 $a ， b ， c$ ，已知 $\frac{\sin A}{a} = \frac{\sqrt{3} \cos B}{b} = \frac{1}{2}$ ，则 $a^{2} + c^{2} - a c =$ .

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18. △ABC中，角A ， B ， C所对的边分别为a ， b ， c ，若acosB＝5bcosA ， asinA﹣bsinB＝2sinC ，则边c的值为．

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三、解答题

19. ∆ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.设(sinB-sinC)²=sin²A-sinBsinC。

(1)、求A；

(2)、若 $\sqrt{2} a + b = 2 c$ ,求sinC.

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20. 在 $Δ A B C$ 中，角 $A, B, C$ 所对的边分别为 $a, b, c$ ，已知 $A \neq \frac{π}{2}$ ， $b \sin 2 A = 6 \cos A \sin B$ .

(1)、求 $a$ 的值；

(2)、若 $A = \frac{π}{3}$ ，求 $Δ A B C$ 周长的取值范围.

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21. 如图，在△ABC中，B＝30°，D是BC边上一点，AD＝ $4 \sqrt{2}$ ，CD＝7，AC＝5．

(1)、求∠ADC的大小；

(2)、求AB的长．

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22. 在△ABC中，角A ， B ， C的对边分别为a ， b ， c ．

(1)、若a=3c ， b= $\sqrt{2}$ ，cosB= $\frac{2}{3}$ ，求c的值；

(2)、若 $\frac{\sin A}{a} = \frac{\cos B}{2 b}$ ，求 $\sin (B + \frac{π}{2})$ 的值．

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23. 在 $Δ A B C$ 中，角 $A$ ， $B$ ， $C$ 所对的边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ .满足 $2 a \cos C + b \cos C + c \cos B = 0$ .

(1)、求角 $C$ 的大小；

(2)、若 $a = 2$ ， $Δ A B C$ 的面积为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ ，求 $c$ 的大小

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24. 在 $△ A B C$ 中，角 $A, B, C$ 所对的边分别为 $a, b, c$ ，其中 $a = 2, c = 3$ ，且满足 $(2 a - c) \cdot c o s B = b \cdot c o s C$ .

(1)、求 $B$ ；

(2)、求 $b$ 及 $△ A B C$ 的面积．

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