备考2020年高考数学一轮复习：20 两角和与差的正弦、余弦和正切公式

试卷更新日期：2019-09-04 类型：一轮复习

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一、单选题

1. 已知 $\sin α = \frac{\sqrt{5}}{5}$ ，则 $\cos 2 α =$ （）

A、 $- \frac{3}{5}$ B、 $\frac{3}{5}$ C、 $- \frac{3 \sqrt{5}}{5}$ D、 $\frac{3 \sqrt{5}}{5}$

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2. 若 $α, β$ 均为第二象限角，满足 $\sin α = \frac{3}{5}$ ， $\cos β = - \frac{5}{13}$ ，则 $\cos (α + β) =$ （）

A、 $- \frac{33}{65}$ B、 $- \frac{16}{65}$ C、 $\frac{63}{65}$ D、 $\frac{33}{65}$

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3. 已知 $α ， β \in (0 ， \frac{π}{2})$ ， $\cos α = \frac{1}{7}$ ， $\cos (α + β) = - \frac{11}{14}$ ，则 $β =$ （）

A、 $\frac{π}{6}$ B、 $\frac{5 π}{12}$ C、 $\frac{π}{4}$ D、 $\frac{π}{3}$

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4. cos² $\frac{π}{8}$ -sin² $\frac{π}{8}$ =（）

A、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ B、 $- \frac{\sqrt{2}}{2}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $- \frac{1}{2}$

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5. 式子 $\cos \frac{2 π}{3} \cos \frac{π}{6} - \sin \frac{2 π}{3} \sin \frac{π}{6}$ 的值为（）

A、 $- \frac{1}{2}$ B、0 C、1 D、 $- \frac{\sqrt{3}}{2}$

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6. 已知角 $α$ ， $β \in (0, \frac{π}{2})$ ，且 $\frac{1 + \tan \frac{α}{2}}{1 - \tan \frac{α}{2}} = \tan β$ ，则（）

A、 $α + β = \frac{π}{2}$ B、 $α - 2 β = \frac{π}{4}$ C、 $2 β - α = \frac{π}{2}$ D、 $α + 2 β = \frac{π}{2}$

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7. 化简 $\frac{1 + \tan 15^{°}}{1 - \tan 15^{°}}$ 等于（）

A、 $\sqrt{3}$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ C、3 D、1

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8. 已知 $\tan (α + \frac{π}{4}) = \frac{3}{4}$ ，则 $\sin^{2} (\frac{π}{4} - α) =$ （）

A、 $\frac{7}{25}$ B、 $\frac{9}{25}$ C、 $\frac{16}{25}$ D、 $\frac{24}{25}$

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9. 函数 $y = \lg (x^{2} + 10 x + 6)$ 的零点是 $x_{1} = \tan α$ 和 $x_{2} = \tan β$ ，则 $\tan (α + β) =$ （）

A、 $\frac{5}{3}$ B、 $\frac{5}{2}$ C、 $- \frac{5}{2}$ D、 $- \frac{5}{3}$

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10. 若 $cos (α + \frac{π}{12}) = \frac{\sqrt{2}}{3}$ ，则 $sin (\frac{π}{3} - 2 α)$ 的值为（）

A、 $- \frac{5}{9}$ B、 $\frac{5}{9}$ C、 $- \frac{7}{9}$ D、 $\frac{7}{9}$

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11. 已知 $P (m, 2)$ 为角 $α$ 终边上一点，且 $tan (α + \frac{π}{4}) = 3$ ，则 $cos α =$ （）

A、 $\frac{\sqrt{5}}{5}$ B、 $\frac{2 \sqrt{5}}{5}$ C、 $\pm \frac{\sqrt{5}}{5}$ D、 $\pm \frac{2 \sqrt{5}}{5}$

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12. 已知 $α$ 满足 $\tan (α + \frac{π}{4}) = \frac{1}{3}$ ，则 $\tan α =$ （）

A、 $- \frac{1}{2}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、2 D、 $- 2$

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13. 已知M=tan $\frac{a}{2}$ -sina+cosa，N=tan $\frac{π}{8}$ （tan $\frac{π}{8}$ +2)，则M和N的关系是（）

A、M＞N B、M<N C、M=N D、M和N无关

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二、填空题

14. 若角 $α$ 满足 $\sin α + 2 \cos α = 0$ ，则 $\tan 2 α$ ＝；

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15. 计算 $\sin 47^{°} \cos 17^{°} - \cos 47^{°} \sin 17^{°}$ 的结果为．

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16. 若 $\tan α = - 2$ ，则 $\tan (α - \frac{π}{4}) =$ ．

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17. 若 $\tan α + \frac{1}{\tan α} = \frac{10}{3}, α \in (\frac{π}{4}, \frac{π}{2})$ ，则 $\sin (2 α + \frac{π}{4}) =$ ．

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18. 若 $\cos (\frac{π}{4} - α) = \frac{3}{5}$ ，则 $\sin 2 α$ =

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三、解答题

19.

(1)、请直接运用任意角的三角比定义证明： $\cos (α - π) = - \cos α$ ；

(2)、求证： $2 \cos^{2} (\frac{π}{4} - α) = 1 + \sin 2 α$ ．

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20. 已知 $\sin α = \frac{3}{5}$ ， $α \in (0 ， \frac{π}{2})$

(1)、求 $\sin (α + \frac{π}{4})$ 的值；

(2)、若 $\tan β = \frac{1}{3}$ ，求 $\tan (2 α - β)$ 的值.

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21. 已知 $α$ 、 $β$ 均为锐角， $cosα= \frac{1}{2}, cos(α+β)= \frac{1}{3}$ ，

(1)、求 $sin(α+ \frac{π}{6})$ 的值；

(2)、求 $cosβ$ 的值.

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22. 已知tan2θ＝－2 $\sqrt{2}$ ， $π$ ＜2θ＜2 $π$ .

(1)、求tanθ的值；

(2)、求 $\frac{2 \cos^{2} \frac{θ}{2} - 1 - \sin θ}{\sqrt{2} \sin (θ + \frac{π}{4})}$ 的值．

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23. 已知 $sin α = \frac{4 \sqrt{3}}{7}, cos (α + β) = - \frac{11}{14}$ 且 $α, β$ 均为锐角 $.$
（ $I$ ）求 $sin (2 α + β)$ $；$

$(I I)$ 求 $β$ $.$

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