备考2020年高考数学一轮复习：19 函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及三角函数模型的简单应用

试卷更新日期：2019-09-04 类型：一轮复习

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一、单选题

1. 已知函数 $f (x) = A \sin (ω x + φ) (A > 0, ω > 0, | φ | < π)$ 是奇函数，且 $f (x)$ 的最小正周期为 $π$ ，将 $y = f (x)$ 的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图象对应的函数为 $g (x)$ .若 $g (\frac{π}{4}) = \sqrt{2}$ ，则 $f (\frac{3 π}{8}) =$ （）

A、-2 B、- $\sqrt{2}$ C、 $\sqrt{2}$ D、2

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2. 将函数 $f (x) = \sin 2 x$ 的图象向右平移 $\frac{π}{6}$ 个单位长度得到 $g (x)$ 图象，则函数的解析式是（）

A、 $g (x) = sin (2 x + \frac{π}{3})$ B、 $g (x) = sin (2 x + \frac{π}{6})$ C、 $g (x) = sin (2 x - \frac{π}{3})$ D、 $g (x) = sin (2 x - \frac{π}{6})$

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3. 要得到 $y = \sin \frac{x}{2}$ 的图象，只要将函数 $y = \sin (\frac{1}{2} x + \frac{π}{4})$ 的图象（）

A、向左平移 $\frac{π}{4}$ 单位 B、向右平移 $\frac{π}{4}$ 单位 C、向左平移 $\frac{π}{2}$ 单位 D、向右平移 $\frac{π}{2}$ 单位

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4. 数 $f (x) = \sin (4 x + ϕ) (0 < ϕ < \frac{π}{2})$ ，若将 $f (x)$ 的图象向左平移 $\frac{π}{12}$ 个单位后所得函数的图象关于 $y$ 轴对称，则 $φ =$ （）

A、 $\frac{π}{12}$ B、 $\frac{π}{6}$ C、 $\frac{π}{4}$ D、 $\frac{π}{3}$

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5. 函数 $f (x) = A s i n (ω x + φ) (A > 0 ， ω > 0 ， | φ | < \frac{π}{2})$ 的部分图象如图所示，则函数 $f (x)$ 的解析式为（）．

A、 $f (x) = 2 \sin (x - \frac{π}{6})$ B、 $f (x) = 2 \sin (2 x - \frac{π}{6})$ C、 $f (x) = 2 \sin (x + \frac{π}{12})$ D、 $f (x) = 2 \sin (2 x - \frac{π}{3})$

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6. 将函数 $y = \sin (x - \frac{π}{6})$ 的图象上所有的点向右平移 $\frac{π}{4}$ 个单位长度，再把图象上各点的横坐标扩大到原来的2倍（纵坐标不变），则所得图象的解析式为（）

A、 $y = \sin (2 x - \frac{5 π}{12})$ B、 $y = \sin (\frac{x}{2} + \frac{π}{12})$ C、 $y = \sin (\frac{x}{2} - \frac{5 π}{12})$ D、 $y = \sin (\frac{x}{2} - \frac{5 π}{24})$

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7. 函数 $f (x) = A \sin (ω x + ϕ)$ ( $A 、 ω 、 ϕ$ 是常数， $A > 0 ， ω > 0$ )的部分图像如图所示，则 $A \cdot \tan ϕ =$ （）

A、 $\sqrt{6}$ B、 $- \sqrt{3}$ C、 $\sqrt{3}$ D、 $- \sqrt{6}$

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8. 已知函数 $y = \sin (ω x + φ) (ω > 0 ， 0 < φ ⩽ \frac{π}{2})$ ，且此函数的图象如图所示，由点 $P (ω ， φ)$ 的坐标是（）

A、 $(2 ， \frac{π}{2})$ B、 $(2 ， \frac{π}{4})$ C、 $(4 ， \frac{π}{2})$ D、 $(4 ， \frac{π}{4})$

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9. 将函数f（x）=sin(ωx+ $\frac{π}{3}$ )（0>0）的图象向右平移 $\frac{π}{6}$ 个单位长度，得到的图象关于y轴对称，则ω的最小值为（）

A、7 B、6 C、5 D、4

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10. 已知 sinα+ $\sqrt{3}$ cosα=2，则tanα=（）

A、- $\sqrt{3}$ B、 $\sqrt{3}$ C、- $\frac{\sqrt{3}}{3}$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$

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11. 已知曲线C₁：y=cos x，C₂：y=sin (2x+ $\frac{2 π}{3}$ )，则下面结论正确的是（）

A、把C₁上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移 $\frac{π}{6}$ 个单位长度，得到曲线C₂ B、把C₁上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移 $\frac{π}{12}$ 个单位长度，得到曲线C₂ C、把C₁上各点的横坐标缩短到原来的 $\frac{1}{2}$ 倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移 $\frac{π}{6}$ 个单位长度，得到曲线C₂ D、把C₁上各点的横坐标缩短到原来的 $\frac{1}{2}$ 倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移 $\frac{π}{12}$ 个单位长度，得到曲线C₂

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12. 已知函数 $f (x) = sin (2 x + \frac{π}{3})$ ， $g (x) = sin x$ ，要得到函数 $y = g (x)$ 的图象，只需将函数 $y = f (x)$ 的图象上的所有点（）

A、横坐标缩短为原来的 $\frac{1}{2}$ ，再向右平移 $\frac{π}{6}$ 个单位得到 B、横坐标缩短为原来的 $\frac{1}{2}$ ，再向右平移 $\frac{π}{3}$ 个单位得到 C、横坐标伸长为原来的2倍，再向右平移 $\frac{π}{6}$ 个单位得到 D、横坐标伸长为原来的2倍，再向右平移 $\frac{π}{3}$ 个单位得到

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二、填空题

13. 函数f(x)=Asin( $ω$ x+ $φ$ )的部分图象如图，其中A>0， $ω$ >0，0< $φ$ < $\frac{π}{2}$ ．则 $ω$ = ； tan $φ$ = ．

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14. 将函数 $f (x) = 2 \sqrt{3} sin x cos x + 2 {cos}^{2} x - 1$ 的图象向右平移 $φ$ （ $φ > 0$ ）个单位长度后，其函数图象关于 $y$ 轴对称，则 $φ$ 的最小值为．

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15. 已知函数 $y = sin x + \sqrt{3} cos x$ 是由 $y = sin x - \sqrt{3} cos x$ 向左平移 $φ (φ \in (0 ， 2 π))$ 个单位得到的，则 $φ =$ ．

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16. 先将函数 $f (x) = sin 2 x$ 的图象向右平移 $\frac{π}{4}$ 个单位，再向上平移 $1$ 个单位后，得到函数 $g (x)$ 的图象，函数 $g (x)$ 的解析式为.

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17. $y = sin (2 x + \frac{π}{6})$ 的最小正周期为，为了得到函数 $y = sin (2 x + \frac{π}{6})$ 的图象，可以将函数 $y = cos 2 x$ 的图象向左最小移动个单位

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三、解答题

18. 向量 $\vec{a} = (\cos x ， - \frac{1}{2}) ， \vec{b} = (\sqrt{3} \sin x ， \cos 2 x) ， x \in R$ ，设函数 $f (x) = \vec{a} \cdot \vec{b}$ ．

（Ⅰ）求 $f (x)$ 的表达式并化简；

（Ⅱ）写出 $f (x)$ 的最小正周期并在右边直角坐标中画出函数 $f (x)$ 在区间 $[0 ， π]$ 内的草图；

（Ⅲ）若方程 $f (x) - m = 0$ 在 $[0 ， π]$ 上有两个根 $α 、 β$ ，求m的取值范围及 $α + β$ 的值．

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19. 已知函数y=sin(x+ $\frac{π}{6}$ ）．

(1)、试用“五点法”画出它的图象；

(2)、求它的振幅、周期和初相：

(3)、根据图象写出它的单调递减区间．

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20. 已知函数f(x）=asin(2x- $\frac{π}{6}$ ）+2a+b(其中a>0)的定义域是[0， $\frac{π}{2}$ ]，值域是[-1,2]，求a，b的值。

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21. 已知函数f(x）=Asin(wx+ψ）（其中A>0,w>0, ψ∈ $(- \frac{π}{2}, \frac{π}{2})$ 的图象一个最高点的坐标为 $(\frac{π}{2}, \sqrt{2})$ 由此意到相邻最低点间的图象与x轴交于点（ $\frac{3 π}{2}$ ,0）．

(1)、求f(x)的解析式：

(2)、求使f(x)>1成立的x的取值范围。

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22. 如图，根据函数的图象，求函数 $f (x) = A sin (ω x + φ) (A > 0 ， ω > 0 ， | φ | < π)$ 的解析式.

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