江苏省南通市如皋2018-2019学年高一上学期数学教学质量调研（三)

试卷更新日期：2019-09-04 类型：月考试卷

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {0, 1}$ ， $B = {a - 2, 2}$ ，若 $A \cap B = {1}$ ，则 $A \cup B =$ （）

A、 ${0, 1, 2}$ B、 ${1}$ C、 ${0, 1, 2, 3}$ D、 ${1, 2}$

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2. 已知扇形的圆心角为 $\frac{2 π}{3}$ ，半径为6，则扇形的面积为（）

A、 $24 π$ B、 $2 π$ C、 $12 π$ D、 $4 π$

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3. 函数 $y = \sqrt{x + 2} + \lg (3 - x)$ 的定义域为（）

A、 $[- 2, 3)$ B、 $(3, + \infty)$ C、 $[- 2, 3]$ D、 $(- \infty, - 2]$

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4. 已知向量 $\vec{a} = (1, 1)$ ， $\vec{b} = (2, 3)$ ，若向量 $\overset{⇀}{a} + \frac{1}{2} \overset{⇀}{b}$ 与 $2 \vec{a} - k \vec{b}$ 平行，则实数 $k$ 的值为（）

A、2 B、-1 C、-2 D、1

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5. 下列函数中，既是偶函数，又在区间 $(0, + \infty)$ 上单调递增的函数是（）

A、 $y = - x^{3}$ B、 $y = 2^{- | x |}$ C、 $y = \cos x$ D、 $y = \ln | x |$

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6. 已知 $| \vec{a} | = | \vec{b} | = 1$ ，且 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 夹角为 $\frac{π}{3}$ ，则向量 $\vec{a} + \vec{b}$ 与 $\vec{a} - \vec{b}$ 的夹角为（）

A、 $\frac{π}{4}$ B、 $\frac{π}{2}$ C、 $π$ D、0

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7. 设函数 $f (x) = \frac{1}{2} \sin (ω x + \frac{π}{3}) (ω > 0)$ 的最小正周期为 $π$ ，则下列说法正确的是（）

A、函数 $f (x)$ 的图像关于直线 $x = \frac{π}{3}$ 对称 B、函数 $f (x)$ 的图像关于点 $(\frac{π}{12} ， 0)$ 对称 C、函数 $f (x)$ 在 $(- \frac{5 π}{12} ， \frac{π}{12})$ 上单调递减 D、将函数 $f (x)$ 的图像向右平移 $\frac{5 π}{12}$ 个单位，得到的新函数是偶函数

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8. 已知向量 $\vec{a}, \vec{b}$ 夹角为 $135^{0}$ ， $| \vec{a} | = 1$ ， $| 2 \vec{a} + \vec{b} | = \sqrt{2}$ ，则 $| \overset{⇀}{b} |$ 为（）

A、1 B、 $\sqrt{2}$ C、 $\sqrt{3}$ D、3

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9. 若 $\sin (α - \frac{π}{6}) = \frac{1}{3}$ ，其中 $α \in (π, 2 π)$ ，则 $\sin (\frac{2 π}{3} - α)$ 的值为（）

A、 $- \frac{2 \sqrt{2}}{3}$ B、 $\frac{2 \sqrt{2}}{3}$ C、 $- \frac{1}{3}$ D、 $\frac{1}{3}$

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10. 已知函数 $f (x) = \ln x$ ， $g (x) = 2 - \frac{1}{x}$ ，则函数 $y = f [g (x)]$ ， $x \in [2 ， + \infty)$ 的值域为（）

A、 $(- \infty ， \ln 2)$ B、 $[\ln \frac{3}{2} ， + \infty)$ C、 $[\ln \frac{3}{2} ， \ln 2)$ D、 $(0 ， \ln \frac{3}{2}]$

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11. 已知函数 $f (x)$ 的定义域为 $R$ ，当 $x < 0$ 时， $f (x) = 2^{x} - 1$ ；当 $- 1 \leq x \leq 1$ 时， $f (- x) = - f (x)$ ；当 $x > 0$ 时， $f (x + 1) = f (x - 1)$ ，则 $f (2019) + f (\frac{2019}{2})$ 的值为（）

A、 $\frac{\sqrt{2} + 1}{2}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{2} - 1}{2}$ D、 $\sqrt{2} - 1$

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12. 已知函数 $f (x) = \sin (x + \frac{π}{6}) - m$ ， $x \in [0 ， \frac{7 π}{3}]$ 有三个不同的零点 $x_{1} ， x_{2} ， x_{3}$ ，且 $x_{1} < x_{2} < x_{3}$ ，则 $x_{1} + 2 x_{2} + x_{3}$ 的值为（）

A、 $\frac{10 π}{3}$ B、 $4 π$ C、 $\frac{11 π}{3}$ D、不能确定

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二、填空题

13. $\cos (- 330^{0})$ 的值为．

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14. 在 $Δ A B C$ 中，若 $A B = 1$ ， $A C = \sqrt{3}$ ， $| \vec{A B} + \vec{A C} | = | \vec{B C} |$ ，则 $\frac{\vec{C A} \cdot \vec{C B}}{| \vec{C B} |} =$ ．

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15. 已知函数 $f (x) = \tan (x + φ)$ ， $| φ | < \frac{π}{2}$ 的图像的一个对称中心为 $(\frac{π}{3}, 0)$ ，则 $φ$ 的值为．

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16. 设函数 $f (x) = {\begin{array}{l} | 6 x - 5 | + 1 ， x \leq 1 \\ x (x^{2} - a x + 9) ， x > 1 \end{array}$ ，若存在互不相等的3个实数 $x_{1} ， x_{2} ， x_{3}$ ，使得 $\frac{f (x_{1})}{x_{1}} = \frac{f (x_{2})}{x_{2}} = \frac{f (x_{3})}{x_{3}} = 4$ ，则实数 $a$ 的取值范围为．

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三、解答题

17. 已知函数 $f (x) = A \sin (ω x + φ)$ $(A > 0 ， ω > 0 ， | ϕ | < π)$ ，它的部分图像如图所示.

(1)、求函数 $f (x)$ 的解析式；

(2)、将函数 $y = f (x)$ 图像上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再将得到的图像向左平移 $\frac{π}{3}$ 个单位，得到函数 $y = g (x)$ 的图像，求函数 $y = g (x)$ ， $x \in [- \frac{π}{3} ， \frac{5 π}{6}]$ 的单调递增区间.

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18. 在 $Δ A B C$ 中， $P$ 是线段 $A B$ 的中点，已知 $| \vec{C P} | = \frac{3 \sqrt{2}}{2}$ ， $| \vec{C A} | = 4$ ， $\cos ∠ A C B = - \frac{1}{8}$ .

(1)、用向量 $\vec{C A}, \vec{C B}$ 表示向量 $\vec{C P}$ ；

(2)、求 $| \vec{B C} |$ ；

(3)、求 $\vec{C P} \cdot \vec{C B}$ .

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19. 已知函数 $f (x)$ 满足 $f (x + 1) = \log_{a} (3 + x) - \log_{a} (1 - x)$ ， $a > 0$ 且 $a \neq 1$ .

(1)、求函数 $f (x)$ 的解析式及定义域；

(2)、当 $a > 1$ 时，判断函数 $f (x)$ 的单调性并给予证明.

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20. 如图，一个水轮的半径为4米，水轮圆心 $O$ 距离水面2米，已知水轮每分钟逆时针转动4圈，如果当水轮上点 $P$ 从水中浮现（图中点 $P_{0}$ ）开始计算时间.

(1)、将点 $P$ 距离水面的高度 $h$ （米）表示为时间 $t$ （秒）的函数；

(2)、在水轮旋转一圈内，有多长时间点 $P$ 离开水面？

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21. 已知函数 $f (x) = - 2 \cos^{2} x + a \sin x + 6$ ， $a$ 为常数.

(1)、当 $a = - 9$ 时，求函数 $y = f (x)$ 的零点；

(2)、当 $x \in [- \frac{π}{6}, \frac{π}{2}]$ ，恒有 $f (x) > 0$ ，求实数 $a$ 的取值范围.

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22. 已知 $a, b$ 为常数，函数 $f (x) = x^{2} - b x + a$ .

(1)、当 $a = b - 1$ 时，求关于 $x$ 的不等式 $f (x) \geq 0$ 的解集；

(2)、当 $a = 2 b - 1$ 时，若函数 $f (x)$ 在 $(- 2, 1)$ 上存在零点，求实数 $b$ 的取值范围；

(3)、当 $a = b - 1$ 时，对于给定的 $x_{1}, x_{2} \in R$ ，且 $x_{1} < x_{2}$ ， $f (x_{1}) \neq f (x_{2})$ ，证明：关于 $x$ 的方程 $f (x) = \frac{1}{3} [f (x_{1}) + 2 f (x_{2})]$ 在区间 $(x_{1}, x_{2})$ 内有一个实根.

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