备考2020年高考数学一轮复习：18 三角函数的图象与性质

试卷更新日期：2019-09-03 类型：一轮复习

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一、单选题

1. 将函数 $y = \sqrt{3} \cos x + \sin x (x \in R)$ 的图象向左平移 $\frac{π}{6}$ 个长度单位后，所得到的图象关于（）对称．

A、 $y$ 轴 B、原点 $(0 ， 0)$ C、直线 $x = \frac{π}{3}$ D、点 $(\frac{5 π}{6} ， 0)$

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2. 同时有性质：①最小正周期是π；②图象关于直线x= $\frac{π}{3}$ 对称；③在 $[- \frac{π}{6} ， \frac{π}{3}]$ 上是增函数的一个函数是（）

A、y=sin( $\frac{x}{2}$ + $\frac{π}{6}$ ） B、y=sin(2x- $\frac{π}{6}$ ） C、y=cos(2x+ $\frac{π}{3}$ ） D、y=sin(2x+ $\frac{π}{6}$ ）

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3. 下列函数中，最小正周期为 $\frac{π}{2}$ 的是（）

A、 $y = sin (2 x - \frac{π}{3})$ B、 $y = tan (2 x - \frac{π}{3})$ C、 $y = cos (2 x + \frac{π}{6})$ D、 $y = tan (4 x + \frac{π}{6})$

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4. 下列各点中，可以作为函数 $y = sin x - \sqrt{3} cos x + 1$ 图象的对称中心的是（）

A、 $(\frac{π}{3} ， 1)$ B、 $(\frac{π}{6} ， 1)$ C、 $(\frac{π}{3} ， 0)$ D、 $(\frac{π}{6} ， 0)$

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5. 函数y=2tan（x+ $\frac{π}{3}$ ）的最小正周期为（）

A、π B、2 C、3 D、6

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6. 函数 $y = \tan (2 x + \frac{π}{3})$ 的图象的一个对称中心为（）

A、 $(\frac{π}{6} ， 0)$ B、 $(\frac{π}{4} ， 0)$ C、 $(\frac{π}{3} ， 0)$ D、 $(\frac{π}{2} ， 0)$

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7. 已知函数 $f (x) = \cos (2 x + \frac{π}{3}) + \sqrt{3} \sin (2 x + \frac{π}{3}) + 1$ ，则下列判断错误的是（）

A、 $f (x)$ 周期为 $π$ B、 $f (x)$ 的图象关于点 $(- \frac{π}{4} ， 0)$ 对称 C、 $f (x)$ 的值域为 $[- 1 ， 3]$ D、 $f (x)$ 的图象关于直线 $x = \frac{π}{2} x$ 对称

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8. 设函数 $f (x) = cos (x + \frac{π}{6})$ ，则下列结论错误的是 $($ 　　 $)$

A、 $f (x)$ 的一个周期为 $2 π$ B、 $y = f (x)$ 的图象关于直线 $x = - \frac{π}{6}$ 对称 C、 $f (x + \frac{π}{3})$ 的一个零点为 $π$ D、 $f (x)$ 在 $(\frac{2 π}{3} ， π)$ 上单调递减

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9. 设当 $x = θ$ 时，函数 $f (x) = 2 sin x - cos x$ 取得最大值，则 $cos θ =$ （）

A、 $\frac{2 \sqrt{5}}{5}$ B、 $\frac{\sqrt{5}}{5}$ C、 $- \frac{2 \sqrt{5}}{5}$ D、 $- \frac{\sqrt{5}}{5}$

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10. 函数 $y = 2 cos (2 x + \frac{π}{4})$ 的图象（）

A、关于原点对称 B、关于点 $(- \frac{3 π}{8} ， 0)$ 对称 C、关于y轴对称 D、关于直线 $x = \frac{π}{4}$ 轴对称

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11. 已知函数 $f (x) = s i n \frac{x}{2} + cos \frac{x}{2}$ ，则（）

A、 $f (x)$ 的最大值为2 B、 $f (x)$ 的最小正周期为 $π$ C、 $f (x)$ 的图像关于 $x = \frac{5 π}{2}$ 对称 D、 $f (x)$ 为奇函数

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12. 已知函数 $f (x) = cos (ω x + \frac{2 π}{3}) (ω > 0)$ 的最小正周期为 $4 π$ ，则下面结论正确的是（）

A、函数 $f (x)$ 在区间 $(0 ， π)$ 上单调递增 B、函数 $f (x)$ 在区间 $(0 ， π)$ 上单调递减 C、函数 $f (x)$ 的图象关于直线 $x = \frac{2 π}{3}$ 对称 D、函数 $f (x)$ 的图象关于点 $(\frac{2 π}{3} ， 0)$ 对称

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二、填空题

13. 函数f（x）=sin²2x的最小正周期是.

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14. 函数 $f (x) = \cos^{4} x - \sin^{4} x$ 的最小正周期是，值域是．

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15. 已知函数 $y = \sin x$ 的定义域是 $[a ， b]$ ，值域是 $[- 1 ， \frac{1}{2}]$ ，则 $b - a$ 的最大值是

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16. 若函数 $f (x) = \sin (x + φ) ， φ \in (0 ， π)$ 是偶函数，则 $φ$ 等于

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17. 函数y=tan $(\frac{1}{2} x - \frac{π}{6})$ 的单调区间为．

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18. 函数 $f (x) = \frac{1}{2} \cos^{2} (2 x - \frac{π}{3}) + 1$ 的最小正周期为

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三、解答题

19. 设函数f（x）=sinx，x $\in$ R。

(1)、已知θ∈[0，2π），函数f（x+θ）是偶函数，求θ的值

(2)、求函数y=[f（x+ $\frac{π}{12}$ ） ]²+[f（x+ $\frac{π}{4}$ ）]²的值域

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20. 已知函数 $f (x) = \sqrt{3} \sin 2 x + \cos 2 x$ .

(1)、求 $y = f (x)$ 的单调递增区间；

(2)、当 $x \in [- \frac{π}{6} ， \frac{π}{3}]$ 时，求 $f (x)$ 的最大值和最小值.

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21. 已知：函数 $f (x) = a (2 {cos}^{2} \frac{x}{2} + sin x) + b$ .

(1)、当 $a = 1$ 时，求函数 $f (x)$ 的单调递增区间；

(2)、当 $a \neq 0$ 时，函数 $f (x)$ 的值域是 $[2 ， 4]$ ，求 $a - b$ 的值.

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22. 已知函数 $f (x) = {(sin x + cos x)}^{2} + 2 {sin}^{2} x$ ；

(1)、求 $f (\frac{π}{4})$ 的值；

(2)、求函数 $y = f (x)$ 的周期及单调递增区间；

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23. 已知函数 $f (x) = 2 tan (\frac{x}{2} - \frac{π}{3})$ ．

(1)、求 $f (x)$ 最小正周期、定义域；

(2)、若 $f (x) \geq 2$ ，求x的取值范围．

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