备考2020年高考数学一轮复习：12 变化率与导数、导数的计算

试卷更新日期：2019-09-03 类型：一轮复习

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一、单选题

1. 曲线y=2sinx+cosx在点（π，-1）处的切线方程为（）

A、x-y-π-1=0 B、2x-y-2π-1=0 C、2x+y-2π+1=0 D、x+y-π+1=0

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2. 下列求导运算的正确是（）

A、 $(\sin a)^{'} = \cos a (a$ 为常数 $)$ B、 $(\sin 2 x)^{'} = 2 \cos 2 x$ C、 $(\cos x)^{'} = \sin x$ D、 $(x^{- 5})^{'} = - \frac{1}{5} x^{- 6}$

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3. 已知曲线 $f (x) = x ln x$ 的一条切线的斜率为2，则切点的横坐标为（）

A、1 B、ln2 C、2 D、e

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4. 一物体做直线运动，其位移 $s$ (单位： $m$ )与时间 $t$ (单位： $s$ )的关系是 $s = 5 t - t^{2}$ ，则该物体在 $t = 3 s$ 时的瞬时速度是（）

A、 $- 1 m / s$ B、 $1 m / s$ C、 $2 m / s$ D、 $6 m / s$

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5. 曲线 $y = a x^{2} + b x - 1$ 在点（1，1）处的切线方程为 $y = x ，则 b - a$ =（）

A、—4 B、—3 C、4 D、3

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6. 若曲线 $y = \frac{x^{n}}{e^{x}}$ 在点 $(1 ， \frac{1}{e})$ 处的切线的斜率为 $\frac{4}{e}$ ，则 $n =$ （）

A、 $2$ B、 $3$ C、 $4$ D、 $5$

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7. 设函数 $f (x)$ 在 $x = 1$ 处存在导数，则 $\lim_{Δ x \to 0} \frac{f (1 + Δ x) - f (1)}{3 Δ x} =$ （）

A、 $\frac{1}{3} f^{'} (1)$ B、 $f^{'} (1)$ C、 $3 f^{'} (1)$ D、 $f^{'} (3)$

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8. 设函数 $f (x)$ 的导函数为 $f^{'} (x)$ ，且 $f (x) = x^{2} + 2 x f^{'} (1)$ ，则 $f^{'} (2)$ ＝（）

A、0 B、－4 C、－2 D、2

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9. 函数 $y = e^{x} sin 2 x$ 的导数为（）

A、 $y'$ ＝2 $e^{x}$ $cos 2 x$ B、 $y'$ ＝ $e^{x}$ $(sin 2 x + 2 cos 2 x)$ C、 $y'$ ＝2 $e^{x}$ $(sin 2 x + cos 2 x)$ D、 $y'$ ＝ $e^{x}$ $(2 sin 2 x + cos 2 x)$

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10. 下列求导运算正确的是（）

A、 ${(x + \frac{3}{x})}^{'} = 1 + \frac{3}{x^{2}}$ B、 ${(\log_{2} x)}^{'} = \frac{1}{x \ln 2}$ C、 $(3^{x})' = 3^{x} \log_{3} e$ D、 ${(x^{2} \cos x)}^{'} = - 2 x \sin x$

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11. 给出定义：若函数 $f (x)$ 在D上可导，即 $f^{'} (x)$ 存在，且导函数 $f^{'} (x)$ 在D上也可导，则称 $f (x)$ 在D上存在二阶导函数，记 $f^{″} (x) = {(f^{'} (x))}^{'}$ ，若 $f^{″} (x) < 0$ 在D上恒成立，则称 $f (x)$ 在D上为凸函数。以下四个函数在 $(0 ， \frac{π}{2})$ 上不是凸函数的是（）

A、 $f (x) = sin x + cos x$ B、 $f (x) = ln x - 2 x$ C、 $f (x) = - x^{3} + 2 x - 1$ D、 $f (x) = - x e^{- x}$

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12. 如图所示，函数 y=f(x) 的图象在点P处的切线方程是 y=-x+5 ，则 $f (3) + f' (3)$ =（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、1 C、2 D、0

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二、填空题

13. 曲线y=3(x²+x)e^x在点(0，0)处的切线方程为.

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14. 已知函数 $f (x)$ 的导函数为 $f^{'} (x)$ ，若 $f (x) = x^{3} + f^{'} (1) x^{2} - 2$ ，则 $f^{'} (1)$ 的值为.

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15. 已知 $f (x) = (x - 1) (x - 2) (x - 3) (x - 4) (x - 5)$ ，则 $f^{'} (1) =$ ．

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16. 已知函数 $f (x) = (bx - 1) e^{x} + a (a ， b \in R)$ .若曲线 $y = f (x)$ 在点 $(0 ， f (0))$ 处的切线方程为y=x，则a+b=.

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17. 已知函数 $f (x) = ln x - a x^{2}$ ，且函数 $f (x)$ 在点(2，f(2))处的切线的斜率是 $- \frac{1}{2}$ ，则 $a$ ＝

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三、解答题

18. 求下列函数的导数：

(1)、 $f (x) = (1 + \sin x) (1 - 4 x)$ ；

(2)、 $f (x) = \frac{x}{x + 1} - 2^{x}$ .

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19. 已知曲线 $f (x) = \frac{1}{3} x^{3} + \frac{4}{3}$ ，求曲线过点 $P (2, 4)$ 的切线方程。

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20. 求函数 $f (x) = - x^{2} + x$ 在 $x = - 1$ 附近的平均变化率，并求出在该点处的导数．

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21. 已知函数f（x）=ln（﹣x）+ax﹣ $\frac{1}{x}$ （a为常数），在x=﹣1时取极值．
（Ⅰ）求实数a的值；
（Ⅱ）设g（x）=f（﹣x）+2x，求g（x）的最小值．

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22. （Ⅰ）已知y= $\frac{1 - x^{2}}{e^{x}}$ ，求y′．
（Ⅱ）已知y=x²sin（3x+π），求y′．

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