备考2020年高考数学一轮复习：09 对数函数

试卷更新日期：2019-09-02 类型：一轮复习

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一、单选题

1. 设 $a = \sqrt{15}$ ， $b = \sqrt[3]{15}$ ， $c = \log_{2} 15$ ，则下列正确的是（）

A、 $a < b < c$ B、 $b < a < c$ C、 $c < b < a$ D、 $b < c < a$

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2. 函数f(x)=log_a(4-x)(a>0，且a≠1)的定义域是（）

A、(0，4) B、（4，+∞） C、（-∞，4） D、（-∞，4）∪（4，+∞）

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3. 在同一直角坐标系中，函数 $f (x) = x^{a} (x \geq 0)$ ， $g (x) = {log}_{a} x$ $(a > 0 ，且 a \neq 1)$ 的图象可能是（）

A、 B、 C、 D、

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4. 设 $a = \log_{3} π, b = 2^{- \frac{1}{3}}, c = \ln \frac{1}{3}$ ，则a，b，c 的大小是（）

A、a＞c＞b B、b＞a＞c C、b＞c＞a D、a＞b＞c

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5. 若 ${log}_{a} (4 a - 1) < 1$ $(a > 0, a \neq 1)$ ，则 $a$ 的取值范围是（）

A、 $(1, \frac{4}{3})$ B、 $(1, \frac{5}{3})$ C、 $(\frac{1}{3}, 1)$ D、 $(\frac{2}{3}, 1)$

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6. 设 $s = \frac{1}{{log}_{2} π} + \frac{1}{{log}_{3} π} + \frac{1}{{log}_{4} π} + \frac{1}{{log}_{5} π}$ ， $T = | a - s |, a \in N *$ ，当 $T$ 取最小值时 $a$ 的值为（）

A、2 B、3 C、4 D、5

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7. 函数 $f (x) = x \cdot ln | x |$ 的图象可能是（）

A、 B、 C、 D、

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8. 以下运算正确的是（）

A、 $lg 2 \times lg 3 = lg 6$ B、 ${(lg 2)}^{2} = lg 4$ C、 $lg 2 + lg 3 = lg 5$ D、 $lg 4 - lg 2 = lg 2$

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9. 设 $a = {log}_{3} 6$ ， $b = {log}_{5} 20$ ，则 ${log}_{2} 15 =$ （）

A、 B、 C、 D、

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10. 函数y=lgx-1的零点是（）

A、0 B、1 C、10 D、（10，0）

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11. 已知函数 $f (x)$ 在 $R$ 上单调递减，且 $a = 3^{3.1}$ ， $b = {(\frac{1}{3})}^{π}$ ， $c = ln \frac{1}{3}$ ，则 $f (a) ， f (b) ， f (c)$ 的大小关系为（）

A、 B、 C、 D、

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12. 已知 $a = 3^{\frac{1}{2}}$ ， $b = 2^{\frac{1}{3}}$ ， $c = {log}_{3} 2$ ，则 $a ， b ， c$ 的大小关系为（）

A、 B、 C、 D、

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二、填空题

13. 若 $a^{\frac{3}{2}} = \frac{27}{8}$ ，则 $a =$ ； $\log_{\frac{3}{2}} a =$ ．

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14. 已知x＞0，y＞0，且x+y＝6，则 $\log_{3} x + \log_{3} y$ 的最大值为

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15. 已知函数 $y = \log_{a} (x + 3) (a > 0 ， a \neq 1)$ 的图象过定点 $A$ ，若点 $A$ 也在函数 $f (x) = 3^{x} + b$ 的图象上，则 $f (\log_{3} 2) =$ ．

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16. 已知实数 $a > 0$ 且 $a \neq 1$ 若 ${log}_{a} \frac{7}{8} = 2$ ，则 $a + \frac{1}{a} =$ ；若 $0 < {log}_{a} \frac{7}{8} < 1$ ，则实数 $a$ 的取值范围是

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17. 16/17世纪之交，随着天文、航海、工程、贸易以及军事的发展，改进数字计算方法成了当务之急，约翰 $•$ 纳皮尔正是在研究天文学的过程中，为了简化其中的计算而发明了对数.后来天才数学家欧拉发现了对数与指数的关系，即 $a^{b} = N$ $\Leftrightarrow$ $b = {log}_{a} N$ .
现在已知 $2^{a} = 3$ ， $3^{b} = 4$ ，则 $a b =$ .

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18. 设任意实数 $a > b > c > 0$ ，要使 ${log}_{\frac{a}{b}} 2018 + 4 {log}_{\frac{b}{c}} 2018 \geq m \cdot {log}_{\frac{c}{a}} 2018$ 恒成立，则 $m$ 的最小值为．

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三、解答题

19. $\log_{3} \sqrt{27} + \lg 25 + \lg 4 - 7^{\log_{7} 2} + \log_{4} 2$

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20. 已知函数 $f (x) = {log}_{2} x$ ；

(1)、若 $f (x) - f (\frac{1}{x}) = 3$ ，求 $x$ 的值；

(2)、若区间 $[1, 2]$ 上存在 $x_{0}$ ，使得方程 $f (a x_{0}^{2} - 4 x_{0}) = 2$ 成立，求实数 $a$ 的取值范围。

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21. 已知函数 $f (x) = {log}_{a} (1 - x) + {log}_{a} (x + 3) (0 < a < 1)$ .

(1)、求函数 $f (x)$ 的定义域；

(2)、若函数 $f (x)$ 的最小值为 $- 4$ ，求 $a$ 的值.

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22. 化简求值：

(1)、 ${(\frac{27}{8})}^{- \frac{2}{3}} - {(\frac{49}{9})}^{0.5} + {(0.008)}^{- \frac{2}{3}} \times \frac{2}{25}$ ；

(2)、 $l o g_{5} 35 - 2 l o g_{0.5} \sqrt{2} - l o g_{5} \frac{1}{50} - l o g_{5} 14 - 5^{l o g_{5} 3}$ ．

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23. 设函数 $f (x) = {log}_{2} (4 x) \cdot {log}_{2} (2 x)$ 的定义域为 $[\frac{1}{4} ， 4]$ ．

(1)、若 $t = {log}_{2} x$ ，求 $t$ 的取值范围；

(2)、求 $y = f (x)$ 的最大值与最小值，并求出最值时对应的 $x$ 的值．

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