备考2020年高考数学一轮复习：07 二次函数与幂函数

试卷更新日期：2019-09-02 类型：一轮复习

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一、单选题

1. 已知 $f (x) = a x^{2} + x - a (- 1 \leq x \leq 1)$ 且 $| a | \leq 1$ ，则 $| f (x) |$ 的最大值为（）

A、 $\frac{5}{4}$ B、 $\frac{3}{4}$ C、 $3$ D、 $1$

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2. 已知 $a \in {- 1 ， 2 ， \frac{1}{2} ， 3 ， \frac{1}{3}}$ ，若 $f (x) = x^{a}$ 为奇函数，且在 $(0 ， + \infty)$ 上单调递增，则实数 $a$ 的值是（）

A、 $- 1 ， 3$ B、 $\frac{1}{3} ， 3$ C、 $- 1 ， \frac{1}{3} ， 3$ D、 $\frac{1}{3} ， \frac{1}{2} ， 3$

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3. 设 $a, b$ 是关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2} - 2 m x + m + 6 = 0$ 的两个实根，则 ${(a - 1)}^{2} + {(b - 1)}^{2}$ 的最小值是（）

A、 $- \frac{49}{4}$ B、18 C、8 D、-6

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4. 若幂函数 $f (x)$ 的图象过点 $(2, \sqrt{2})$ ，则函数 $y = f (x) + 1 - x$ 的最大值为（）

A、1 B、 $\frac{5}{4}$ C、2 D、 $\frac{7}{3}$

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5. 已知幂函数 $y = f (x)$ 的图象过点 $(\frac{1}{2} ， \frac{\sqrt{2}}{2})$ ，则 ${log}_{4} f (2)$ 的值为（）

A、 B、 C、 D、

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6. 下图给出四个幂函数的图象，则图象与函数的大致对应是（）

A、① ，② ，③ ，④ B、① ，② ，③ ，④ C、① ，② ，③ ，④ D、① ，② ，③ ，④

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7. 若函数 $f (x) = x^{2} + (2 a - 1) x + 1$ 在区间 $(- \infty ， 2]$ 上是减函数，则实数 $a$ 的取值范围是（）

A、 B、 C、 D、

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8. 已知幂函数 $f (x) = x^{α} (α \in R)$ 的图象过点 $(16 ， 2)$ ，若 $f (m) = 3$ ，则实数 $m$ 的值为（）

A、9 B、12 C、27 D、81

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9. 已知二次函数 $f (x) = x^{2} + b x + c (b \in R ， c \in R)$ ， $M ， N$ 分别是函数 $f (x)$ 在区间 $[- 1 ， 1]$ 上的最大值和最小值，则 $M - N$ 的最小值（）

A、 B、 C、 D、

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10. 已知幂函数 $f (x) ＝ (n^{2} ＋ 2 n － 2) x^{n^{2} － 3 n}$ (n∈Z)的图象关于y轴对称，且在(0，＋∞)上是减函数，则n的值为（）

A、－3 B、1 C、2 D、1或2

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11. 若 ${(a + 1)}^{- \frac{1}{2}} < {(3 - 2 a)}^{- \frac{1}{2}}$ ，则a的取值范围是（）

A、 B、 C、 D、

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12. 已知函数 $f (x) = (x - a) (x - b)$ （其中 $a > b$ ）的图象如图所示，则函数 $g (x) = a^{x} + b$ 的图象大致是（）

A、 B、 . C、 D、

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13. 幂函数的图象过点 $(2, 8)$ , 则它的单调递增区间是（）

A、 $(0, + \infty)$ B、 $[0, + \infty)$ C、 $(- \infty, 0)$ D、 $(- \infty, + \infty)$

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14. 设 $a = {1.2}^{\frac{1}{2}} ， b = {0.9}^{\frac{1}{2}} ， c = {1.1}^{\frac{1}{2}}$ 它们的大小关系是（）

A、c<a<b B、a<c<b C、b<a<c D、c<b<a

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15. 已知函数 $f (x) = (m^{2} - m - 1) x^{m^{2} - 4 m + 3}$ 是幂函数，且其图像与 $y$ 轴没有交点，则实数 $m =$ （）

A、或 B、 C、 D、

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二、填空题

16. 已知幂函数 $y = f (x)$ 的图象过点 $(2, \frac{\sqrt{2}}{2})$ ，则此函数的解析式为．

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17. 若函数 $f (x) = x^{2} - x + 1 + a \ln x$ 在 $(0 ， + \infty)$ 上单调递增，则实数 $a$ 的最小值是．

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18. 已知幂函数 $y = x^{m^{2} - 9}$ ( $m \in N^{*}$ )的图象关于 $y$ 轴对称，且在 $x \in (0 ， + \infty)$ 上是减函数，则 $m =$ .

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19. 设 $α \in {\frac{1}{3}, \frac{1}{2}, - 1, - 2, 3}$ ，若 $f (x) = x^{α}$ 为偶函数，则 $α =$ ．

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20. 已知二次函数 $f (x) = x^{2} + mx - 3$ 的两个零点为1和n，则 $n =$ ；若 $f (a) \leq f (3)$ ，则a的取值范围是．

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三、解答题

21. 已知函数 $g (x) = a x^{2} - 2 a x + 1 + b (a > 0)$ 在区间 $[2, 3]$ 上有最大值4和最小值1，设 $f (x) = \frac{g (x)}{x}$ .

(1)、求 $a, b$ 的值；

(2)、若不等式 $f (2^{x}) - k \cdot 2^{x} \geq 0$ 在区间 $[- 1, 1]$ 上恒成立，求实数 $k$ 的取值范围.

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22. 函数 $f (x) = k x + b ， (k \neq 0)$ ， $x \in R$

(1)、若 $f (- 1) = 1$ ， $f (1) = 5$ ，求 $f (x)$ .

(2)、若 $b = 3$ ，且函数 $f (x)$ 在区间 $[- 1 ， 3]$ 上的最大值为 $6$ ，求 $k$ 的值.

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23. 已知二次函数 $f (x)$ 满足条件 $f (0) = 1 ， f (x + 1) - f (x) = 2 x$ .

(1)、求 $f (x)$ 的解析式；

(2)、求 $f (x)$ 在区间 $[- 1 ， 1]$ 上的最值.

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24. 如图，ABCD是块边长为100 $m$ 的正方形地皮，其中扇形AST是一半径为90 $m$ 的扇形小山，其余部分都是平地，一开发商想在平地上建一个矩形停车场，使矩形的一个顶点P在弧 $\vec{S T}$ 上，相邻两边CQ、CR落在正方形的边BC、CD上。（提示： $sinθ + cosθ = \sqrt{2} \sin (θ + \frac{π}{4})$ ）

(1)、设 $∠ PAB = θ ，$ 把矩形停车场 $PQCR$ 的面积表示为 $θ$ 的函数.

(2)、求矩形PQCR面积的最大值和最小值。

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25. 设 $a$ 为实数，函数 $f (x) = {(x - a)}^{2} + | x - a | - a (a - 1)$ ．

(1)、若 $f (0) \leq 1$ ，求 $a$ 的取值范围；

(2)、讨论 $f (x)$ 的单调性；

(3)、当 $a \geq 2$ 时，讨论 $f (x) + \frac{4}{x}$ 在区间 $(0 ， + \infty)$ 内的零点个数．

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