福建省龙岩市上杭县2018-2019学年九年级上学期数学期中考试试卷

试卷更新日期：2019-09-02 类型：期中考试

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一、单选题

1. 下列手机手势解锁图案中，是中心对称图形的是 $($ $)$

A、 B、 C、 D、

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2. 下列关于x的方程是一元二次方程的是 $($ $)$

A、 $x^{2} - 2 x + 1 = x^{2} + 5$ B、 $a x^{2} + b x + c = 0$ C、 $x^{2} + 1 = - 8$ D、 $2 x^{2} - y - 1 = 0$

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3. 用配方法解方程：x²﹣4x+2=0，下列配方正确的是（）

A、（x﹣2）²=2 B、（x+2）²=2 C、（x﹣2）²=﹣2 D、（x﹣2）²=6

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4. 方程 $x^{2} = 3 x$ 的解是（ $)$

A、 $x = 3$ B、 $x_{1} = 0$ ， $x_{2} = 3$ C、 $x_{1} = 0$ ， $x_{2} = - 3$ D、 $x_{1} = 1$ ， $x_{2} = 3$

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5. 抛物线y=（x+2）²﹣3可以由抛物线y=x²平移得到，则下列平移过程正确的是（）

A、先向左平移2个单位，再向上平移3个单位 B、先向左平移2个单位，再向下平移3个单位 C、先向右平移2个单位，再向下平移3个单位 D、先向右平移2个单位，再向上平移3个单位

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6. 如图，将 $R t △ A B C$ 绕点A按顺时针旋转一定角度得到 $R t △ A D E$ ，点B的对应点D恰好落在BC边上 $.$ 若 $A B = 1$ ， $∠ B = 60^{\circ}$ ，则CD的长为 $($ $)$

A、 $0.5$ B、 $1.5$ C、 $\sqrt{2}$ D、1

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7. 我县九州村某梨园2016年产量为1000吨，2018年产量为1440吨，求该梨园梨产量的年平均增长率，设该梨园梨产量的年平均增长量为x ，则根据题意可列方程为 $($ $)$

A、1440(1-x)²= 1000 B、1440(1+x)²= 1000 C、1000(1-x)²= 1440 D、1000(1+x)²= 1440

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8. 已知二次函数 $y = x^{2} + x + c$ 的图象与x轴的一个交点为 $(1 ， 0)$ ，则关于x的方程 $x^{2} + x + c = 0$ 的两实数根分别是 $($ $)$

A、1和 $- 1$ B、1和 $- 2$ C、1和2 D、1和3

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9. 若函数 $y = x^{2} - 2 x + b$ 的图象与坐标轴有三个交点，则b的取值范围是

A、 $b < 1$ 且 $b \neq 0$ B、 $b > 1$ C、 $0 < b < 1$ D、 $b < 1$

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10. 如图，点A ， B的坐标分别为 $(1 ， 4)$ 和 $(4 ， 4)$ ，抛物线y=a(x-m)²+n的顶点在线段AB上运动 $($ 抛物线随顶点一起平移 $)$ ，与x轴交于C、D两点 $(C$ 在D的左侧 $)$ ，点C的横坐标最小值为 $- 3$ ，则点D的横坐标最大值为 $($ $)$

A、 $- 3$ B、1 C、5 D、8

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二、填空题

11. 已知 $y = (k - 2) x^{k^{2} - 2}$ 是二次函数，则 $k =$ ．

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12. 菱形的两条对角线长分别是方程 $x^{2} - 14 x + 48 = 0$ 的两实根，则菱形的面积为．

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13. 已知m是关于x的方程 $x^{2} - 2 x - 3 = 0$ 的一个根，则 $2 m^{2} - 4 m$ ＝．

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14. 已知抛物线y=a(x+1)² $+ k (a > 0)$ 经过点 $(- 4 ， y_{1})$ ， $(1 ， y_{2})$ ，则 $y_{1}$ $y_{2} ($ 填“ $>$ ”，“ $=$ ”，或“ $<$ ” $)$ ．

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15. 如图，在平面直角坐标系中，点A在抛物线 $y = x^{2} - 6 x + 17$ 上运动，过点A作 $A C ⊥ x$ 轴于点C ，以AC为对角线作矩形ABCD ，连接BD ，则对角线BD的最小值为．

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16. 如图，二次函数 $y = a x^{2} + b x + c (a \neq 0)$ 的图象与x轴交于A ， B两点，与y轴交于点C ，且 $O A = O C$ ，则下列结论： $① a b c < 0$ ； $② \frac{b^{2} - 4 a c}{4 a} > 0$ ； $③ a c - b + 1 = 0$ ； $④ O A \cdot O B = - \frac{c}{a} .$ 其中正确结论的序号是．

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三、解答题

17. 某文具店购进一批纪念册，每本进价为20元，出于营销考虑，要求每本纪念册的售价不低于20元且不高于28元，在销售过程中发现该纪念册每周的销售量y（本）与每本纪念册的售价x（元）之间满足一次函数关系：当销售单价为22元时，销售量为36本；当销售单价为24元时，销售量为32本．

(1)、求出y与x的函数关系式；

(2)、当文具店每周销售这种纪念册获得150元的利润时，每本纪念册的销售单价是多少元？

(3)、设该文具店每周销售这种纪念册所获得的利润为w元，将该纪念册销售单价定为多少元时，才能使文具店销售该纪念册所获利润最大？最大利润是多少？

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18. 解方程

(1)、 $x^{2} + 4 x - 5 = 0$ ；

(2)、 $3 x (x - 2) = 2 (x - 2)$ .

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19. 如图， $△ A B C$ 三个顶点的坐标分别为 $A (2 ， 4)$ ， $B (1 ， 1)$ ， $C (4 ， 3)$ ．

(1)、请画出 $△ A B C$ 关于原点对称的 $△ A_{1} B_{1} C_{1}$ ，并写出 $A_{1}$ ， $B_{1}$ ， $C_{1}$ 的坐标；

(2)、请画出 $△ A B C$ 绕点B逆时针旋转 $90^{\circ}$ 后的 $△ A_{2} B_{2} C_{2}$ ．

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20. 观察下列一组方程： $① x^{2} - x = 0$ ； $② x^{2} - 3 x + 2 = 0$ ； $③ x^{2} - 5 x + 6 = 0$ ； $④ x^{2} - 7 x + 12 = 0$ ； $\dots$ 它们的根有一定的规律，都是两个连续的自然数，我们称这类一元二次方程为“连根一元二次方程”．

(1)、若 $x^{2} + k x + 56 = 0$ 也是“连根一元二次方程”，写出k的值，并解这个一元二次方程；

(2)、请写出第n个方程和它的根．

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21. 已知关于x的方程 $k x^{2} + (3 k + 1) x + 3 = 0$ ，求证：不论k取任何实数，该方程都有实数根．

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22. 已知抛物线的顶点为 $(1 ， 4)$ ，与y轴交点为 $(0 ， 3)$

(1)、求该抛物线的解析式，并画出抛物线的草图 $($ 无需列表，要求标出抛物线与坐标轴的交点坐标 $)$ ．

(2)、观察图象，写出当 $y < 0$ 时，自变量x的取值范围．

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23. 参与两个数学活动，再回答问题：
活动 $①$ ：观察下列两个两位数的积 $($ 两个乘数的十位上的数都是9，个位上的数的和等于 $10)$ ，猜想其中哪个积最大？

$91 \times 99$ ， $92 \times 98$ ， $93 \times 97$ ， $94 \times 96$ ， $95 \times 95$ ， $96 \times 94$ ， $97 \times 93$ ， $98 \times 92$ ， $99 \times 91$ ．

活动 $②$ ：观察下列两个三位数的积 $($ 两个乘数的百位上的数都是9，十位上的数与个位上的数组成的数的和等于 $100)$ ，猜想其中哪个积最大？

$901 \times 999$ ， $902 \times 998$ ， $903 \times 997$ ， $\dots$ ， $997 \times 903$ ， $998 \times 902$ ， $999 \times 901$ ．

(1)、分别写出在活动 $①$ 、 $②$ 中你所猜想的是哪个算式的积最大？

(2)、对于活动 $①$ ，请用二次函数的知识证明你的猜想．

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24. 如图

(1)、如图 $①$ ，在正方形ABCD中， $△ A E F$ 的顶点E ， F分别在BC ， CD边上，高AG与正方形的边长相等，求 $∠ E A F$ 的度数．

(2)、如图 $②$ ，在 $R t △ A B D$ 中， $∠ B A D = 90^{\circ}$ ， $A B = A D$ ，点M ， N是BD边上的任意两点，且 $∠ M A N = 45^{\circ}$ ，将 $△ A B M$ 绕点A逆时针旋转 $90^{\circ}$ 至 $△ A D H$ 位置，连接NH ，试判断MN ， ND ， DH之间的数量关系，并说明理由．

(3)、在图 $①$ 中，连接BD分别交AE ， AF于点M ， N ，若 $E G = 4$ ， $G F = 6$ ， $B M = 3 \sqrt{2}$ ，求AG ， MN的长．

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25. 已知，抛物线y＝ax²+ax+b(a≠0)与直线y＝2x+m有一个公共点M(1，0)，且a＜b．

(1)、求b与a的关系式和抛物线的顶点D坐标(用a的代数式表示)；

(2)、直线与抛物线的另外一个交点记为N，求△DMN的面积与a的关系式；

(3)、a＝﹣1时，直线y＝﹣2x与抛物线在第二象限交于点G，点G、H关于原点对称，现将线段GH沿y轴向上平移t个单位(t＞0)，若线段GH与抛物线有两个不同的公共点，试求t的取值范围．

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