备考2020年高考数学一轮复习：06 函数的奇偶性与周期性

试卷更新日期：2019-08-30 类型：一轮复习

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一、单选题

1. 已知 $y = f (x) (x \in R)$ 存在导函数，若 $f (x)$ 既是周期函数又是奇函数，则其导函数（）

A、既是周期函数又是奇函数 B、既是周期函数又是偶函数 C、不是周期函数但是奇函数 D、不是周期函数但是偶函数

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2. 下列函数中，既是偶函数又在区间(0，+∞)上单调递减的是（）

A、y=x³ B、y=|x| C、y=sinx D、y= $\frac{1}{x^{2}}$

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3. 已知 $f (x)$ 是定义在 $R$ 上的奇函数，且满足 $f (x + 1) = f (x - 3)$ ，当 $x \in (- 2 ， 0)$ 时， $f (x) = - 2^{x}$ ，则 $f (1) + f (4)$ 等于（）

A、-1 B、 $- \frac{1}{2}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、1

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4. 设f（x）为奇函数，且当x≥0时，f（x）= $e^{x}$ -1，则当x<0时，f（x）=（）

A、 $e^{- x}$ -1 B、 $e^{- x}$ +1 C、- $e^{- x}$ -1 D、- $e^{- x}$ +1

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5. 已知 $f (x) = a x^{3} + b x - 4$ 其中a，b为常数，若 $f (- 2) = 2$ ，则 $f (2)$ =（）

A、2 B、-6 C、-10 D、-4

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6. 奇函数f（x），当x＜0时，有f（x）=x（2﹣x），则f（4）的值为（　　）

A、12 B、-12 C、-24 D、24

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7. 若函数 $f (x) = x \lg (m x + \sqrt{x^{2} + 1})$ 为偶函数，则 $m =$ （）

A、-1 B、1 C、-1或1 D、0

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8. 已知定义在 $[1 - a ， 2 a - 5]$ 上的偶函数 $f (x)$ 在 $[0 ， 2 a - 5]$ 上单调递增，则函数 $f (x)$ 的解析式不可能是（）

A、 $f (x) = x^{2} + a$ B、 $f (x) = \log_{a} (| x | + 2)$ C、 $f (x) = x^{a}$ D、 $f (x) = - a^{| x |}$

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9. 已知函数 $f (x)$ 为偶函数，当 $x > 0$ 时， $f (x) = x^{2} - 3 x$ ，则（）

A、 $f (tan 70^{\circ}) > f (1.4) > f (- 1.5)$ B、 $f (tan 70^{\circ}) > f (- 1.5) > f (1.4)$ C、 $f (1.4) > f (tan 70^{\circ}) > f (- 1.5)$ D、 $f (- 1.5) > f (1.4) > f (tan 70^{\circ})$

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10. $f (x)$ 是 $R$ 上奇函数，对任意实数 $x$ 都有 $f (x) = - f (x - \frac{3}{2})$ ，当 $x \in (\frac{1}{2}, \frac{3}{2})$ 时， $f (x) = \log_{2} (2 x - 1)$ ，则 $f (2018) + f (2019) =$ （）

A、－1 B、1 C、0 D、2

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11. 图象关于原点对称且在定义域内单调递增的函数是（）

A、 $f (x) = cos x - 1$ B、 $f (x) = x^{2} + 2$ C、 $f (x) = - \frac{1}{x}$ D、 $f (x) = x^{3}$

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12. 已知 $f (x)$ 是定义在 $R$ 上的偶函数，且 $f (x + 5) = f (x - 3)$ ，如果当 $x \in [0, 4)$ 时， $f (x) = {log}_{2} (x + 2)$ ，则 $f (766) =$ （）

A、3 B、-3 C、-2 D、2

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二、填空题

13. 已知 $f (x)$ 是奇函数，且当 $x < 0$ 时， $f (x) = - e^{a x}$ .若 $f (\ln 2) = 8$ ，则 $a =$ .

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14. 设函数f（x）=e^x+ae^-x（a为常数）。若f（x）为奇函数，则a=：若f（x）是R上的增函数，则a的取值范围是.

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15. 已知函数 $f (x) = - x^{3} - x + 1$ ，若对任意实数 $x$ 都有 $f (x^{2} - a) + f (a x) < 2$ ，则实数 $a$ 的取值范围是
.

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16. 已知函数 $f (x)$ 是奇函数，且当 $x < 0$ 时 $f (x) = {(\frac{1}{2})}^{x}$ ，则 $f (3)$ 的值是．

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17. 已知函数 $f (x) = {log}_{2} (\sqrt{x^{2} + a} - x)$ 是奇函数，则 $f (- \frac{3}{4}) =$ ．

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18. 已知函数 $f (x)$ 是定义在R上的奇函数， $f (1) = 0$ ，当 $x > 0$ 时， $x f^{'} (x) - f (x) > 0$ ，则不等式 $\frac{f (x)}{x} > 0$ 的解集是．

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三、解答题

19. 已知函数f（x）=x+ $\frac{a}{x}$ （a＞0）．

(1)、判断f（x）的奇偶性；

(2)、判断函数f（x）在（ $\sqrt{a}$ ，+∞）上的单调性，并用定义证明．

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20. 已知定义域为 $R$ 的函数 $f (x) = \frac{- 2^{x} + b}{2^{x + 1} + 2}$ 是奇函数．

(1)、求 $b$ 的值；

(2)、判断并证明函数 $f (x)$ 的单调性．

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21. 已知函数f(x)= $\frac{1}{x}$ -kx,且f( $\frac{1}{2}$ )=3，

(1)、求k的值；

(2)、判断函数的奇偶性；

(3)、判断函数f(x)在(1，+∞)上是增函数还是减函数?并证明你的结论。

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22. 已知函数 $f (x) = x + \frac{m}{x}$ 图象过点 $P (1, 5)$ ．

(1)、求实数 $m$ 的值，并证明函数 $f (x)$ 是奇函数；

(2)、利用单调性定义证明 $f (x)$ 在区间 $[2 ， + \infty)$ 上是增函数．

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23. 已知函数 $f (x) = {log}_{a} (1 + x), g (x) = {log}_{a} (1 - x)$ ，（其中 $a > 0,$ 且 $a \neq 1$ ）．
（Ⅰ）求函数 $y = f (x) + g (x)$ 的定义域；

（Ⅱ）判断函数 $y = f (x) + g (x)$ 的奇偶性,并予以证明．

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