山东省潍坊市2018-2019学年第高二下学期数学期中考试试卷

试卷更新日期：2019-08-27 类型：期中考试

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一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.

1. 将2封信随意投入3个邮箱，不同的投法有（）

A、3种 B、6种 C、8种 D、9种

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2. 已知函数f（x）=sinx-cosx，则f'（ $\frac{π}{6}$ ）=（）

A、 $\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}$ B、 $\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}$ C、 $- \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}$ D、 $- \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}$

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3. 设随机变量x~B（12, $\frac{1}{4}$ ），则D（X）=（）

A、 $\frac{3}{4}$ B、 $\frac{9}{4}$ C、 $\frac{5}{2}$ D、3

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4. 已知C₈^m=C₈^2m-1 ，则m等于（）

A、1 B、4 C、1或3 D、3或4

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5. 两名男生和两名女生站成一排照相，则两名男生相邻的概率为（）

A、 $\frac{1}{3}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $\frac{2}{3}$ D、 $\frac{3}{4}$

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6. 已知函数y=f（x）的图象如图所示，则它的导函数y=f'（x）的图象可以是（）

A、 B、 C、 D、

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7. 某机构为研究学生玩电脑游戏和对待作业量的态度之间的关系，随机抽取了200名学生进行调查，所得数据如下表所示：

	认为作业多	认为作业不多	总计
喜欢玩电脑游戏	80	40	120
不喜欢玩电脑游戏	20	60	80
总计	100	100	200

（参考公式： $χ^{2} = \frac{n {(n_{11} n_{22} - n_{12} n_{21})}^{2}}{n_{1 +} n_{2 +} n_{+ 1} n_{+ 2}}$ ，可能用到数据：P（ $χ^{2}$ =6.635）=0.01，P（ $χ^{2}$ =3.841）=0.05），参照以上公式和数据，得到的正确结论是（）

A、有95%的把握认为喜欢玩电脑游戏与认为作业多少有关 B、有95%的把握认为喜欢玩电脑游戏与认为作业多少无关 C、有99%的把握认为喜欢玩电脑游戏与认为作业多少有关 D、有99%的把握认为喜欢玩电脑游戏与认为作业多少无关

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8. 袋中有三个红球，两个蓝球，现每次摸出一个球，不放回地摸取两次，则在第一次摸到蓝球的条件下，第二次摸到红球的概率为（）

A、 $\frac{1}{4}$ B、 $\frac{3}{10}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{3}{4}$

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9. 由数字0，1，2，3，4，5组成的奇偶数字相间且无重复数字的六位数的个数是（）

A、60 B、48 C、36 D、24

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10. 若函数f（x）=e^x-ax-b在R上有小于0的极值点，则实数a的取值范围是（）

A、（-1，0） B、（0，1） C、（-∞，-1） D、（1，+∞）

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11. 杨辉是中国南宋时期的一位杰出数学家、教育家，杨辉三角是杨辉的一大重要研究成果，它的许多性质与组合数的性质有关，其中蕴藏了许多优美的规律.如图，在由二项式系数所构成的杨辉三角中，按从上到下、从左到右的顺序，把第1个1记为（1，1），第2个1记为（2，1），第3个1记为（2，2），第4个1记为（3，1），第5个1记为（3，2）…，依次类推，则第31个1应记为（）

A、（15，2） B、（16，1） C、（16，2） D、（17，1）

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12. 已知函数f（x）=ax²+（a-1）lnx+1（a<u），设A，B为函数f（x）图象上的任意两点，若直线AB的斜率的绝对值不小于2，则实数a的取值范围是（）

A、（-∞， $\frac{1 - \sqrt{3}}{2}$ ] B、[ $\frac{1 - \sqrt{3}}{2}$ ，0） C、（-∞， $\frac{2 - 3 \sqrt{2}}{4}$ ] D、[ $\frac{2 - 3 \sqrt{2}}{4}$ ，0）

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二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。

13. 已知离散型随机变量X的分布列为

X

1

2

3

P

$\frac{3}{5}$

m

$\frac{1}{10}$

则m=

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14. 已知（x-1）²=a₀+a₁x+a₂x²+……+a₇x⁷ ，则a₁+a₂+……+a₇=

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15. 已知函数f（x）的定义域为R，f（-2）=-2，若对 x=R，f'（x）<3，则不等式f（x）>3x+4的解集为

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16. 羽毛球比赛中，采用三局二胜制，已知任一局甲胜的概率为p，若甲赢得比赛的概率为g，则q-p取得最大值时p=

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三、解答题：本大题共6小题，共70分.

17. 已知（x+ $\frac{1}{2 \sqrt{x}}$ ）ⁿ的展开式中前三项的系数成等差数列。

(1)、求展开式的二项式系数的和；

(2)、求展开式中含x²的项。

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18. 已知函数f（x）=9x-x²-lnx.

(1)、求曲线f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；

(2)、设g（x）=f（x）+lnx，M（t，g（t））是曲线g（x）上的任意一点，过M作x轴的垂线，垂足为N，当x∈（0，9）时，求△OMN面积的最大值.

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19. 某厂生产A产品的产量x（件）与相应的耗电量y（度）的统计数据如下表所示：

x

2

3

4

5

6

y

2

3

5

7

8

经计算： $\sum_{i = 1}^{5} {(x_{i} - \bar{x})}^{2} = 10$ ， $\sqrt{\sum_{i = 1}^{5} {(x_{i} - \bar{x})}^{2}} • \sqrt{\sum_{i = 1}^{5} {(y_{i} - \bar{y})}^{2}}$ ≈16.12

附：相关系数r= $\frac{\sum_{i = 1}^{5} (x_{i} - \bar{x}) (y_{i} - \bar{y})}{\sqrt{\sum_{i = 1}^{5} {(x_{i} - \bar{x})}^{2}} • \sqrt{\sum_{i = 1}^{5} {(y_{i} - \bar{y})}^{2}}}$ ， $\hat{b} = \frac{\sum_{i = 1}^{5} (x_{i} - \bar{x}) (y_{i} - \bar{y})}{\sum_{i = 1}^{5} {(x_{i} - \bar{x})}^{2}}$ ， $\hat{a} = \bar{y} - \hat{b \bar{x}}$

(1)、计算（x_i ， y_i）（i=1，2，3，4，5）的相关系数；

(2)、求y关于x的线性回归方程 $\hat{y} = \hat{b} x + \hat{a}$ ，并预测生产10件产品所耗电的度数。

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20. 某地区为调查新生婴儿健康状况，随机抽取6名8个月龄婴儿称量体重（单位：千克），称量结果分别为6，8，9，9，9.5，10.已知8个月龄婴儿体重超过7.2千克，不超过9.8千克为“标准体重”，否则为“不标准体重”。

(1)、根据样本估计总体思想，将频率视为概率，若从该地区全部8个月龄婴儿中任选3名进行称重，则至少有2名婴儿为“标准体重”的概率是多少？

(2)、从抽取的6名婴儿中，随机选取4名，设x表示抽到的“标准体重”人数，求x的分布列和数学期望.

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21. 某市举办数学知识竞赛活动，共5000名学生参加，竞赛分为初试和复试，复试环节共3道题，其中1道多选题，2道单选题，得分规则如下：参赛学生每答对一道单选题得2分，答错得0分，答对多选题得3分，答错得0分，答完3道题后的得分之和为参赛学生的复试成绩.
附：P（μ-σ<X<μ+σ）=0.6826，P（μ-2σ<X<μ+2σ）=0.9544，P（μ-3σ<K<μ+3σ）=0.9974.

(1)、通过分析可以认为学生初试成绩x服从正态分布N（u，o2），其中u=66，02=144，试估计初试成绩不低于90分的人数；

(2)、已知小强已通过初试，他在复试中单选题的正答率为 $\frac{2}{3}$ ，多选题的正答率为 $\frac{1}{2}$ ，且每道题回答正确与否互不影响.记小强复试成绩为Y，求Y的分布列及数学期望。

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22. 已知函数f（x）=- $\frac{1}{2}$ x²-（a+1）x+alnx +a.

(1)、讨论函数f（x）的单调性；

(2)、判断函数f（x）能否有3个零点，若能，求出a的取值范围；若不能，请说明理由。

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X	1	2	3
P	$\frac{3}{5}$	m	$\frac{1}{10}$