湖北省鄂州市2019届高三上学期理数期中考试试卷

试卷更新日期：2019-08-22 类型：期中考试

进入出卷网下载

一、单选题

1. 已知集合 $A = {x | - 1 < x \leq 2, x \in Z}, B = {- 1, 0, 1},$ 则 $A \cup^{} B =$ （）

A、 ${0, 1}$ B、 $[- 1, 2]$ C、 ${- 1, 0, 1}$ D、 ${- 1, 0, 1, 2}$

查看试题解析
2. 等比数列 ${a_{n}}$ 中，若 $a_{1} = 2, a_{3} = 2 \sqrt{3}$ ，则 $a_{5} =$ （）

A、6 B、 $6 \sqrt{3}$ C、12 D、18

查看试题解析
3. 计算 $sin 15^{\circ} \cdot sin 75^{\circ}$ 的结果是（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{1}{4}$ C、 $\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$ D、 $\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$

查看试题解析
4. 下列函数为奇函数的是（）

A、 $f (x) = x^{3} + 3 x^{2}$ B、 $f (x) = 2^{x} + 2^{- x}$ C、 $f (x) = x sin x$ D、 $f (x) = ln \frac{3 + x}{3 - x}$

查看试题解析
5. 已知非零向量 $\overset{⇀}{a}, \overset{⇀}{b}$ 的夹角为 $30^{\circ}$ ，且 $| \overset{⇀}{a} | = 1, | \overset{⇀}{b} | = \sqrt{3},$ 则 $| 2 \overset{⇀}{a} - \overset{⇀}{b} | =$ （）

A、 $2 - \sqrt{3}$ B、 $1$ C、 $\sqrt{2}$ D、 $2$

查看试题解析
6. 圆 $C$ 半径为 $2$ ，圆心在 $x$ 轴的正半轴上，直线 $3 x + 4 y + 4 = 0$ 与圆 $C$ 相切，则圆 $C$ 的方程为（）

A、 $x^{2} + y^{2} - 2 x - 3 = 0$ B、 $x^{2} + y^{2} + 4 x = 0$ C、 $x^{2} + y^{2} - 4 x = 0$ D、 $x^{^{2}} + y^{2} + 2 x - 3 = 0$

查看试题解析
7. 过抛物线 $y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 的焦点 $F$ 作斜率为 $\sqrt{3}$ 的直线，与抛物线在第一象限内交于点 $A$ ，若 $| A F | = 4$ ，则 $p =$ （）

A、4 B、2 C、1 D、 $\sqrt{3}$

查看试题解析
8. 已知双曲线 $Γ$ 过点 $M (3, 4)$ 且其渐近线方程为 $y = \pm \frac{2 \sqrt{3}}{3} x$ ， $Δ A B C$ 的顶点 $A, B$ 恰为 $Γ$ 的两焦点，顶点 $C$ 在 $Γ$ 上且 $| A C | > | B C |$ ，则 $\frac{sin ∠ B A C - sin ∠ A B C}{sin ∠ A C B} =$ （）

A、 $- \frac{2 \sqrt{7}}{7}$ B、 $\frac{2 \sqrt{7}}{7}$ C、 $- 2$ D、 $2$

查看试题解析
9. 若函数 $f (x) = a x - ln x$ 有两个不同的零点，则实数 $a$ 的取值范围是（）

A、 $(- \infty ， \frac{1}{e})$ B、 $(- \infty ， e)$ C、 $(0 ， \frac{1}{e})$ D、 $(0 ， e)$

查看试题解析
10. 已知 $f (x) = A cos (ω x - ϕ) ， (A > 0 ， ω > 0 ， ϕ \in (0 ， π))$ ， $f (x)$ 的导函数 $f^{'} (x)$ 的部分图象如图所示，则下列对 $f (x)$ 的说法正确的是（）

A、最大值为 $2$ 且关于点 $(- \frac{π}{2} ， 0)$ 中心对称 B、最小值为 $- 2$ 且在 $[\frac{π}{2} ， \frac{3 π}{2}]$ 上单调递减 C、最大值为 $4$ 且关于直线 $x = - \frac{π}{2}$ 对称 D、最小值为 $- 4$ 且在 $[0 ， \frac{3 π}{2}]$ 上的值域为 $[0 ， 4]$

查看试题解析
11. 已知双曲线 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的右顶点为 $A$ ，以 $A$ 为圆心的圆与双曲线 $C$ 的某一条渐近线交于两点 $P ， Q$ .若 $∠ P A Q = 60^{\circ}$ ，且 $\overset{⇀}{O Q} = 3 \overset{⇀}{O P}$ （其中 $O$ 为原点），则双曲线 $C$ 的离心率为（）

A、 $\frac{\sqrt{7}}{2}$ B、 $\frac{3 \sqrt{7}}{7}$ C、 $\sqrt{7}$ D、 $2 \sqrt{7}$

查看试题解析
12. 已知 $Δ A B C$ 的内角 $A, B, C$ 满足 $sin (B + C - A) + sin (A + C - B) + sin (A + B - C) = \frac{1}{2}$ ，且 $Δ A B C$ 的面积等于 $2$ ，则 $Δ A B C$ 外接圆面积等于（）

A、 $2 π$ B、 $4 π$ C、 $8 π$ D、 $16 π$

查看试题解析

二、填空题

13. 直线 $l : x + y - 2018 = 0$ 的倾斜角为；

查看试题解析
14. 已知 $F_{1}$ ， $F_{2}$ 分别是椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{9} = 1 (a > 3)$ 的左、右焦点， $P$ 为椭圆 $C$ 上一点，且 $∠ F_{1} P F_{2} = 120 °$ ，则 $| P F_{1} | \cdot | P F_{2} | =$ ．

查看试题解析
15. 数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{1} = 1,$ 前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且 $S_{n} = 2 a_{n} (n \geq 2, n \in N^{*})$ ，则 ${a_{n}}$ 的通项公式 $a_{n} =$ ；

查看试题解析
16. 已知函数 $f (x)$ 满足 $f (1) = \frac{1}{2}$ ，且对任意 $x ， y \in R$ 恒有 $2 f (\frac{x + y}{2}) \cdot f (\frac{x - y}{2}) = f (x) + f (y)$ ，则 $f (2018) + f (2019) =$ ．

查看试题解析

三、解答题

17. 在 $Δ A B C$ 中，角 $A, B, C$ 所对的边分别为 $a, b, c$ ，且 $\frac{cos A}{a} + \frac{cos B}{b} = \frac{1}{c}$ 。

(1)、证明： $a, c, b$ 成等比数列；

(2)、若 $c = 3$ ，且 $4 sin (C - \frac{π}{6}) cos C = 1$ ，求 $Δ A B C$ 的周长。

查看试题解析
18. 已知数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{n + 2} + a_{n} = 2 a_{n + 1} (n \in N^{*})$ ，数列 ${b_{n}}$ 满足 $\frac{b_{n + 1}}{b_{n}} = a_{n + 1} - a_{n} (n \in N^{*})$ ，且 $a_{1} = b_{1}, a_{3} = 5, a_{5} + a_{7} = 22$ .

(1)、求 $a_{n}$ 及 $b_{n}$ ；

(2)、令 $c_{n} = a_{n} \cdot b_{n}, n \in N^{*}$ ，求数列 ${c_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n}$ ．

查看试题解析
19. 如图1，在直角 $Δ A B C$ 中， $∠ A B C = 90^{\circ} ， A C = 4 \sqrt{3} ， A B = 2 \sqrt{3}$ ， $D ， E$ 分别为 $A C ， B D$ 的中点，连结 $A E$ 并延长交 $B C$ 于点 $F$ ，将 $Δ A B D$ 沿 $B D$ 折起，使平面 $A B D ⊥$ 平面 $B C D$ ，如图2所示．

(1)、求证： $A E ⊥ C D$ ；

(2)、求平面 $A E F$ 与平面 $A D C$ 所成锐二面角的余弦值．

查看试题解析
20. 已知椭圆 $C_{1} ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左右焦点分别为 $F_{1} ， F_{2}$ ，且 $F_{2}$ 为抛物线 $C_{2} ： y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 的焦点， $C_{2}$ 的准线被 $C_{1}$ 和圆 $x^{2} + y^{2} = a^{2}$ 截得的弦长分别为 $2 \sqrt{2} ， 4$ 。

(1)、求 $C_{1} ， C_{2}$ 方程；

(2)、已知动直线 $l$ 与抛物线 $C_{2}$ 相切（切点异于原点），且与椭圆 $C_{1}$ 相交于 $M ， N$ 两点，若椭圆 $C_{1}$ 上存在点 $Q$ ，使得 $\overset{⇀}{O M} + \overset{⇀}{O N} = λ \overset{⇀}{O Q} (λ \neq 0)$ ，求实数 $λ$ 的取值范围。

查看试题解析
21. 已知函数 $f (x) = \frac{ln x}{x - 1}$ 。

(1)、求 $f (x)$ 的单调区间；

(2)、若 $a \leq 1$ ，证明： $f (x) > \frac{a (x + 1)}{e^{x}}$ （其中 $e$ 是自然对数的底数， $e = 2.71828 \dots$ ）。

查看试题解析
22. 在平面直角坐标系中，直线 $l$ 的参数方程为 ${\begin{matrix} x = 3 + \frac{\sqrt{3}}{2} t \\ y = \sqrt{3} + \frac{1}{2} t \end{matrix}$ （ $t$ 为参数），以原点 $O$ 为极点， $x$ 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，点 $A$ 的极坐标为 $(2 \sqrt{3} ， \frac{π}{6})$ ，曲线 $C$ 的极坐标方程为 $ρ^{2} - 4 ρ cos θ + 1 = 0$ ，设直线 $l$ 与曲线 $C$ 相交于 $P ， Q$ 两点．

(1)、写出直线 $l$ 和曲线 $C$ 的直角坐标方程；

(2)、求 $| A P | \cdot | A Q | \cdot | O P | \cdot | O Q |$ 的值．

查看试题解析
23. 设函数 $f (x) = | x - 2 | - | x + 1 |$ 。

(1)、解不等式 $f (x) \leq 1$ ；

(2)、记函数 $f (x)$ 的最大值为 $m$ ，若 $\sqrt{a} + \sqrt{b} + \sqrt{c} = \frac{m}{3} (a, b, c > 0)$ ，证明： $\frac{b}{\sqrt{a}} + \frac{c}{\sqrt{b}} + \frac{a}{\sqrt{c}} \geq 1$ 。

查看试题解析