重庆市九校联盟2019届高三文数12月联合考试试卷

试卷更新日期：2019-08-22 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 若集合A＝{x|3-2x＜-1}，B＝{x|x(2x-5)≤0}，则A∪B＝（）

A、 $[\frac{2}{5}, 2)$ B、 $(2, \frac{5}{2}]$ C、[0，+∞) D、 $[\frac{5}{2}, + \infty)$

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2. 若复数z满足(2+i)z＝3-i，则z的虚部为（）

A、1 B、-1 C、i D、-i

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3. 函数 $f (x) = \frac{{log}_{2} (x^{2} - 1)}{x}$ 的图象大致是（）

A、 B、 C、 D、

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4. 已知平面向量 $\overset{⇀}{a}, \overset{⇀}{b}$ 满足 $| \overset{⇀}{a} | = 2, | \overset{⇀}{b} | = 1$ ，且 $(\overset{⇀}{4 a} - \overset{⇀}{b}) \cdot (\overset{⇀}{a} + 3 \overset{⇀}{b}) = 2$ ，则向量 $\overset{⇀}{a}, \overset{⇀}{b}$ 的夹角 $θ$ 为（）

A、 $\frac{2π}{3}$ B、 $\frac{π}{3}$ C、 $\frac{π}{2}$ D、 $\frac{π}{6}$

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5. 已知函数f(x)为R上的奇函数，当x＜0时， $f (x) = 2^{x} - \frac{1}{2}$ ，则xf(x)≥0的解集为（）

A、[-1，0)∪[1，+∞) B、(-∞，-1]∪[1，+∞) C、[-1，0]∪[1，+∞) D、(-∞，-1]∪{0}∪[1，+∞)

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6. 设x ， y满足约束条件 ${\begin{matrix} y \geq - \frac{1}{3} x + \frac{2}{3} ， \\ y \leq - 2 x - 1 ， \\ y \leq \frac{1}{2} x + 4 ， \end{matrix}$ 则z＝4x+y的最小值为（）

A、-3 B、-5 C、-14 D、-16

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7. 某几何体的三视图如图所示（其中俯视图中的曲线是圆弧），则该几何体的表面积为（）

A、4π+6 B、6π+6 C、4π+3 D、6π+3

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8. 为了得到y＝−2cos 2x的图象，只需把函数 $y = \sqrt{3} sin 2 x - cos 2 x$ 的图象（）

A、向左平移 $\frac{π}{3}$ 个单位长度 B、向右平移 $\frac{π}{3}$ 个单位长度 C、向左平移 $\frac{π}{6}$ 个单位长度 D、向右平移 $\frac{π}{6}$ 个单位长度

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9. 已知双曲线 $C ： \frac{x^{2}}{16} - \frac{y^{2}}{48} = 1$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ， $P$ 为 $C$ 上一点， $\overset{⇀}{F_{1} Q} = \overset{⇀}{Q P}$ ， $O$ 为坐标原点，若 $| P F_{1} | = 10$ ，则 $| O Q | =$ （）

A、10 B、9 C、1 D、1或9

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10. 如图，△ABC和△DEF均为等边三角形，AF＝BD＝CE ， DF＝2AF＝20 cm，若在△ABC中随机投入260粒芝麻，则落在△DEF外的芝麻粒数约为（）

A、100 B、130 C、150 D、180

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11. 设0＜m≤2，已知函数 $f (x) = \frac{x^{3} - 12 x + 50}{16 m}$ ，对于任意x₁ ， x₂∈[m-2，m]，都有|f(x₁)-f(x₂)|≤1，则实数m的取值范围为（）

A、 $[\frac{5}{3}, 2]$ B、 $[\frac{4}{3}, 2]$ C、 $[\frac{1}{3}, 1]$ D、 $[\frac{2}{3}, 1]$

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二、填空题

12. 已知函数 $f (x) = {\begin{matrix} x + 2, x \leq 0 \\ {log}_{2} x, x > 0 \end{matrix}$ ，则 $f (f (- \frac{3}{2})) =$ ．

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13. 已知 $sin α + cos α = - \frac{7}{5}$ ， $2 sin α - cos α = - \frac{2}{5}$ ，则cos 2α＝．

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14. 如图，在直四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，已知四边形ABCD是直角梯形，∠BAD＝90°，AB∥CD ， AB＝AD＝AA₁＝1，CD＝2，E为BB₁的中点，则直线AD与直线CE所成角的正切值为．

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15. 点 $P$ 在椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{3} = 1$ 上， $C_{1}$ 的右焦点为 $F$ ，点 $Q$ 在圆 $C_{2} ： x^{2} + y^{2} + 6 x - 8 y + 21 = 0$ 上，则 $| P Q | - | P F |$ 的最小值为．

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三、解答题

16. 已知数列{a_n}的前n项和为S_n ， a₁＝3，a_n₊₁＝2S_n+3(n∈N^*)．

(1)、求数列{a_n}的通项公式；

(2)、设b_n＝log₃a_n ，若数列 ${\frac{1}{b_{n} b_{n + 1}}}$ 的前n项和为T_n ，证明：T_n＜1．

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17. 2018年4月全国青少年足球超级联赛火爆开启，这是体育与教育的强强联手，这是培养足球运动员的黄金摇篮，也是全国青少年足球的盛宴．组委会在某场联赛结束后，随机抽取了300名观众进行对足球“喜爱度”的调查评分，将得到的分数分成6段：[64，70)，[70，76)，[76，82)，[82，88)，[88，94)，[94，100]后得到如图所示的频率分布直方图．

(1)、求a的值并估计这300名观众评分的中位数；

(2)、若评分在“88分及以上”确定为“足球迷”，现从“足球迷”中按区间[88，94)与[94，100]两部分按分层抽样抽取5人，然后再从中任意选取两人作进一步的访谈，求这两人中至少有1人的评分在区间[94，100]的概率．

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18. 如图，在五面体ABCDFE中，底面ABCD为矩形，EF∥AB ， BC⊥FD ，过BC的平面交棱FD于P ，交棱FA于Q ．

(1)、证明：PQ∥平面ABCD；

(2)、若CD⊥BE ， EF＝EC＝1， $C D = 2 F F = \frac{2}{3} B C$ ，求五面体ABCDFE的体积．

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19. 已知抛物线y²＝2px(p＞0)的焦点为F ，过F且与x轴垂直的直线交该抛物线于A ， B两点，|AB|＝4．

(1)、求抛物线的方程；

(2)、过点F的直线l交抛物线于P ， Q两点，若△OPQ的面积为4，求直线l的斜率（其中O为坐标原点）．

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20. 设函数 $f (x) = e^{x} + \frac{x^{2}}{m^{2}} - x$ ．

(1)、求 $f (x)$ 的单调区间；

(2)、若对于任意 $x_{1} ， x_{2} \in [- m ， m] (m > 0)$ ，都有 $| f (x_{1}) - f (x_{2}) | \leq e - 1$ ，求 $m$ 的取值范围．

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21. 在直角坐标系 $x O y$ 中，曲线 $C_{1}$ 的参数方程为 ${\begin{matrix} x = 5 c o s α \\ y = 5 + 5 s i n α \end{matrix}$ （ $α$ 为参数）．M是曲线 $C_{1}$ 上的动点，将线段OM绕O点顺时针旋转 $90^{\circ}$ 得到线段ON，设点N的轨迹为曲线 $C_{2}$ ．以坐标原点O为极点， $x$ 轴正半轴为极轴建立极坐标系．

(1)、求曲线 $C_{1}, C_{2}$ 的极坐标方程；

(2)、在（1）的条件下，若射线 $θ = \frac{π}{3} (ρ \geq 0)$ 与曲线 $C_{1}, C_{2}$ 分别交于A, B两点（除极点外），且有定点 $T (4, 0)$ ，求 $Δ T A B$ 的面积．

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22. 已知函数 $f (x) = | x + m | - | 2 x - 2 m | (x > 0)$

(1)、当 $m = \frac{1}{2}$ 时，求不等式 $f (x) \geq \frac{1}{2}$ 的解集；

(2)、对于任意的实数 $x$ ，存在实数 $t$ ，使得不等式 $f (x) + | t - 3 | < | t + 4 |$ 成立，求实数 $m$ 的取值范围。

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