重庆市九校联盟2019届高三理数12月联合考试试卷

试卷更新日期：2019-08-22 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 若集合A＝{x|3-2x＜1}，B＝{x|4x-3x²≥0}，则A∩B＝（）

A、(1，2] B、 $(1 ， \frac{4}{3}]$ C、[0，1) D、(1，+∞)

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2. 若复数z满足(2+i)z＝3-i，则z的虚部为（）

A、i B、-i C、1 D、-1

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3. 已知 $sin α + cos α = - \frac{7}{5}$ ， $sin α - cos α = \frac{1}{5}$ ，则 $cos 2 α =$ （）

A、 $\frac{7}{25}$ B、 $- \frac{7}{25}$ C、 $\frac{16}{25}$ D、 $- \frac{16}{25}$

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4. 函数 $f (x) = \frac{{log}_{2} (x^{2} - 1)}{x}$ 的图象大致是（）

A、 B、 C、 D、

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5. 已知单位向量 $e_{1} ， e_{2}$ 的夹角为 $θ$ ，且 $tan θ = 2 \sqrt{2}$ ，若向量m＝2 $e_{1}$ -3 $e_{2}$ ，则|m|＝（）

A、9 B、10 C、3 D、 $\sqrt{10}$

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6. 已知函数f(x)为R上的奇函数，当x＜0时， $f (x) = 2^{x} - \frac{1}{2}$ ，则xf(x)≥0的解集为（）

A、[-1，0)∪[1，+∞) B、(-∞，-1]∪[1，+∞) C、[-1，0]∪[1，+∞) D、(-∞，-1]∪{0}∪[1，+∞)

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7. 设x ， y满足约束条件 ${\begin{matrix} y \geq - \frac{1}{3} x + \frac{2}{3} ， \\ y \leq - 2 x - 1 ， \\ y \leq \frac{1}{2} x + 4 ， \end{matrix}$ 则z＝4x+y的最小值为（）

A、-3 B、-5 C、-14 D、-16

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8. 为了得到y＝−2cos 2x的图象，只需把函数 $y = \sqrt{3} sin 2 x - cos 2 x$ 的图象（）

A、向左平移 $\frac{π}{3}$ 个单位长度 B、向右平移 $\frac{π}{3}$ 个单位长度 C、向左平移 $\frac{π}{6}$ 个单位长度 D、向右平移 $\frac{π}{6}$ 个单位长度

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9. 已知双曲线C： $\frac{x^{2}}{16} - \frac{y^{2}}{48} = 1$ 的左、右焦点分别为F₁ ， F₂ ， P为C上一点， $\overset{⇀}{F_{1} Q} = \overset{⇀}{Q P}$ ，O为坐标原点，若|PF₁|＝10，则|OQ|＝（）

A、9 B、10 C、1 D、1或9

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10. $Δ A B C$ 的内角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$ ，若 ${(sin B + sin C)}^{2} - {sin}^{2} (B + C) = 3 sin B sin C$ ，且 $a = 2$ ，则 $Δ A B C$ 的面积的最大值是（）

A、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ B、 $\sqrt{3}$ C、 $2 \sqrt{3}$ D、4

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11. 已知命题p：若x²+y²＞2，则|x|＞1或|y|＞1；命题q：直线mx-2y-m-2＝0与圆x²+y²-3x+3y+2＝0必有两个不同交点，则下列说法正确的是（）

A、¬p为真命题 B、p∧(¬q)为真命题 C、(¬p)∨q为假命题 D、(¬p)∨(¬q)为假命题

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12. 已知函数f(x)＝e^2x+e^x⁺²-2e⁴ ， g(x)＝x²-3ae^x ，集合A＝{x|f(x)＝0}，B＝{x|g(x)＝0}，若存在x₁∈A ， x₂∈B ，使得|x₁-x₂|＜1，则实数a的取值范围为（）

A、 $(\frac{1}{e} ， \frac{4}{e^{2}}]$ B、 $(\frac{1}{3e} ， \frac{4}{{3e}^{2}}]$ C、 $[\frac{1}{3e} ， \frac{8}{{3e}^{2}})$ D、 $[\frac{1}{3e} ， \frac{8}{e^{2}})$

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二、填空题

13. 设命题p： $\forall x \in (- \frac{π}{2}, \frac{π}{2})$ ，tan x＞0，则¬p为．

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14. 已知函数 $f (x) = {\begin{matrix} x + 2, x \leq 0 \\ {log}_{2} x, x > 0 \end{matrix}$ ，则 $f (f (- \frac{3}{2})) =$ ．

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15. 已知正数a ， b满足3a+2b＝1，则 $\frac{2}{a} + \frac{3}{b}$ 的最小值为．

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16. 已知F是抛物线y²＝-16x的焦点，O为坐标原点，点P是抛物线准线上的一动点，点A在抛物线上，且|AF|＝8，则|PA|+|PO|的最小值为．

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三、解答题

17. 已知数列{a_n}的前n项和为S_n ， a₁＝3，a_n₊₁＝2S_n+3(n∈N^*)．

(1)、求数列{a_n}的通项公式；

(2)、设b_n＝log₃a_n ，若数列 ${\frac{1}{b_{n} b_{n + 1}}}$ 的前n项和为T_n ，证明：T_n＜1．

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18. 已知p：x²-(3+a)x+3a＜0，其中a＜3；q：x²+4x-5＞0．

(1)、若p是¬q的必要不充分条件，求实数a的取值范围；

(2)、若p是q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．

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19. 在△ABC中，内角A ， B ， C的对边分别是a ， b ， c ，且 $\frac{sin A - \sqrt{2} sin C}{sin B + sin C} = \frac{b - c}{a}$ ．

(1)、求角B的大小；

(2)、求 $\sqrt{2} cos A + cos C$ 的取值范围．

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20. 已知椭圆C： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ ，且经过点 $Q (2, \sqrt{2})$ ．

(1)、求椭圆C的方程；

(2)、直线l：y＝kx+m(k＞0，m²≠4)与椭圆C相交于A ， B两点，若|AB|＝4，试用m表示k ．

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21. 设函数 $f (x) = x e^{x} + a (1 - e^{x}) + 1$ .

(1)、求函数 $f (x)$ 的单调区间；

(2)、若函数 $f (x)$ 在 $(0 ， + \infty)$ 零点，证明： $a > 2$ .

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22. 在直角坐标系 $x O y$ 中，曲线 $C_{1}$ 的参数方程为 ${\begin{matrix} x = 5 c o s α \\ y = 5 + 5 s i n α \end{matrix}$ （ $α$ 为参数）．M是曲线 $C_{1}$ 上的动点，将线段OM绕O点顺时针旋转 $90^{\circ}$ 得到线段ON，设点N的轨迹为曲线 $C_{2}$ ．以坐标原点O为极点， $x$ 轴正半轴为极轴建立极坐标系．

(1)、求曲线 $C_{1}, C_{2}$ 的极坐标方程；

(2)、在（1）的条件下，若射线 $θ = \frac{π}{3} (ρ \geq 0)$ 与曲线 $C_{1}, C_{2}$ 分别交于A, B两点（除极点外），且有定点 $T (4, 0)$ ，求 $Δ T A B$ 的面积．

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23. 已知函数 $f (x) = | x + m | - | 2 x - 2 m | (x > 0)$

(1)、当 $m = \frac{1}{2}$ 时，求不等式 $f (x) \geq \frac{1}{2}$ 的解集；

(2)、对于任意的实数 $x$ ，存在实数 $t$ ，使得不等式 $f (x) + | t - 3 | < | t + 4 |$ 成立，求实数 $m$ 的取值范围。

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