湖南省湘西自治州四校2018-2019学年高二上学期文数12月联考试卷

试卷更新日期：2019-08-21 类型：月考试卷

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一、单选题

1. 已知a，b，c∈R，下列说法正确的是（）

A、a＞b⇒ac²＞bc² B、 $\frac{a}{c} > \frac{b}{c}$ ⇒a＞b C、a＞b＞0⇒ $\frac{1}{a} < \frac{1}{b}$ D、a＞b⇒a²＞b²

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2. 在△ABC中， $∠ A, ∠ B, ∠ C$ 所对的边为a，b，c，a=8，B=60°，A=45°，则b=（）

A、 $4 \sqrt{2}$ B、 $4 \sqrt{6}$ C、 $4 \sqrt{3}$ D、 $\frac{32}{3}$

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3. 椭圆 $\frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{3} = 1$ 的右焦点到双曲线 $x^{2} - {\frac{y}{3}}^{2} = 1$ 的渐近线的距离是（）

A、 $1$ B、 $\sqrt{3}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$

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4. 已知 ${a_{n}}$ 是公差为1的等差数列， $S_{n}$ 为 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和，则 $S_{8} = 4 S_{4}$ ，则 $a_{10} =$ （）

A、 $\frac{17}{2}$ B、12 C、 $\frac{19}{2}$ D、10

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5. 函数 $f (x)$ 的定义域为开区间 $(a ， b)$ ，其导函数 $f' (x)$ 在 $(a ， b)$ 内的图象如图所示，则函数 $f (x)$ 在开区间 $(a ，$ $b)$ 内极小值点的个数为（）

A、1个 B、2个 C、3个 D、4个

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6. 下列说法正确的是（）

A、命题“若 $x^{2} = 1$ ，则 $x = 1$ ”的否命题为“若 $x^{2} = 1$ ，则 $x \neq 1$ ”； B、命题“ $\forall x \geq 0, x^{2} + x - 1 < 0$ ”的否定是“ $\exists x < 0, x^{2} + x - 1 < 0$ ”； C、命题“若x=y，则 $sin x = sin y$ ”的逆否命题为真命题； D、“ $x = - 1$ ” 是“ $x^{2} - 5 x - 6 = 0$ ”的必要不充分条件.

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7. 已知变量 $x ， y$ 满足 ${\begin{matrix} x \geq 1 \\ y \geq 1 \\ x + y - 3 < 0 \end{matrix}$ ，则目标函数 $z = 2 x + y$ 有（）

A、 $z_{max} = 5 ， z_{min} = 3$ B、 $z_{max} = 5$ ， $z$ 无最小值 C、 $z_{min} = 3 ， z$ 无最大值 D、 $z$ 既无最大值，也无最小值

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8. 函数y＝ $\frac{1}{2}$ x²－ln x的单调递减区间为（）

A、(0，1] B、(－1，1] C、[1，＋∞) D、(0，＋∞)

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9. 如图所示， $C$ ， $D$ ， $B$ 三点在地面上的同一直线上， $D C = a$ ，从 $C ， D$ 两点测得 $A$ 点的仰角分别为 $β$ ， $α (α > β)$ ，则 $A$ 点离地面的高为（）

A、 $\frac{a sin α sin β}{cos (α - β)}$ B、 $\frac{a sin α sin β}{sin (α - β)}$ C、 $\frac{a cos α cos β}{sin (α - β)}$ D、 $\frac{a sin α cos β}{cos (α - β)}$

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10. 大衍数列，来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论．主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理．数列中的每一项，都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两仪数量总和．是中华传统文化中隐藏着的世界数学史上第一道数列题．其前10项依次是0、2、4、8、12、18、24、32、40、50…，则此数列第20项为（）

A、128 B、162 C、180 D、200

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11. 点 $P$ 是双曲线 $C_{1}$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 与圆 $C_{2}$ ： $x^{2} + y^{2} = a^{2} + b^{2}$ 的一个交点，且 $2 ∠ P F_{1} F_{2} = ∠ P F_{2} F_{1}$ ，其中 $F_{1}$ 、 $F_{2}$ 分别为 $C_{1}$ 的左右焦点，则 $C_{1}$ 的离心率为（）

A、 $\frac{\sqrt{3} + 1}{2}$ B、 $\sqrt{3} + 1$ C、 $\frac{\sqrt{5} + 1}{2}$ D、 $\sqrt{5} - 1$

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12. 如图，修建一条公路需要一段环湖弯曲路段与两条直道平滑连接（相切）.已知环湖弯曲路段为某三次函数图象的一部分，则该函数的解析式为（）

A、 $y = \frac{1}{4} x^{3} - x$ B、 $y = \frac{1}{2} x^{3} + \frac{1}{2} x^{2} - 3 x$ C、 $y = \frac{1}{2} x^{3} - \frac{1}{2} x^{2} - x$ D、 $y = \frac{1}{4} x^{3} + \frac{1}{2} x^{2} - 2 x$

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二、填空题

13. 已知 $x > 0$ ，则 $x + \frac{1}{x}$ 取最小值是．

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14. 如图，函数f(x)的图象是折线段ABC，其中A，B，C的坐标分别为(0，4)，(2，0)，(6，4)，则 $lim_{Δ x \to 0} \frac{f (1 + Δ x) - f (1)}{Δ x} =$ ．

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15. 已知O为坐标原点，F为抛物线C： $y^{2} = 4 \sqrt{2} x$ 的焦点，P为C上一点，若|PF|＝ $3 \sqrt{2}$ ，则△POF的面积为．

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16. 已知 $f (x) = x^{3} - 3 x$ ， $g (x) = m^{2} x - 1$ .对 $\forall x_{1} \in [- 1, 1]$ ， $\exists x_{0} \in [0, 2]$ ，使 $g (x_{1}) = f (x_{0})$ ，则 $m$ 的取值范围．

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三、解答题

17. 已知命题p：方程 $\frac{x^{2}}{m + 1} + \frac{y^{2}}{2 - m} = 1$ 表示焦点在 $x$ 轴上的椭圆，命题q：函数 $f (x) = m x^{3} - x$ 在 $R$ 上单调递减。若 $p \lor q$ 为真， $p \land q$ 为假，求m的取值范围.

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18. 已知不等式 $x^{2} - 5 a x + b > 0$ 的解集为 ${x | x 〉 4$ 或 $x < 1}$ ．
（I）求实数 $a, b$ 的值；

（II）若正实数 $x$ 、 $y$ 满足 $x + y = 2$ ， $t = \frac{a}{x} + \frac{b}{y}$ ，求 $t$ 的最小值．

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19. $Δ A B C$ 的内角A，B，C的对边分别别为a，b，c，已知 $2 cos C (a cos B + b cos A) = c .$
（I）求 $C$ ；

（II）若 $c = \sqrt{13}, Δ A B C$ 的面积为 $3 \sqrt{3}$ ，求 $Δ A B C$ 的周长．

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20. 在数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{1} = 3$ ， $a_{n + 1} = 2 a_{n} + 3$ $（ n \in N^{*})$
（I）证明：数列 ${a_{n} + 3}$ 是等比数列；并求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

（II）设 $b_{n} = \frac{n}{3} (a_{n} + 3)$ ，求数列 ${b_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $B_{n}$ .

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21. 已知椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 （ a > b > 0 ）$ 的焦点与双曲线 $\frac{x^{2}}{2} - y^{2} = 1$ 的焦点重合，并且经过点 $M (\sqrt{3}, \frac{1}{2})$ .
（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；

（II）设椭圆C短轴的上顶点为P，直线 $l$ 不经过P点且与 $C$ 相交于 $A$ 、 $B$ 两点，若直线PA与直线PB的斜率的和为 $- 1$ ，判断直线 $l$ 是否过定点，若是，求出这个定点，否则说明理由.

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22. 已知数列 ${a_{n}}$ ， ${b_{n}}$ ， $S_{n}$ 为数列 ${a_{n}}$ 的前n项和， $a_{1} = 2 b_{1}, S_{n} = 2 a_{n} - 2$ ， $n b_{n + 1} - (n + 1) b_{n} = n^{2} + n$ .
（Ⅰ）求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

（Ⅱ）证明：数列 ${\frac{b_{n}}{n}}$ 为等差数列；

（Ⅲ）若 $c_{n} = {\begin{matrix} - \frac{a_{n} b_{n}}{2}, n 为奇数， \\ \frac{a_{n} b_{n}}{4}, n 为偶数， \end{matrix}$ ，求数列 ${c_{n}}$ 的前 $2 n$ 项之和.

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