湖北省“荆、荆、襄、宜四地七校考试联盟” 2019年高二理数期中联考试卷

试卷更新日期：2019-08-19 类型：期中考试

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一、单选题

1. 命题：“若 $x^{2} = 1$ ，则 $x = 1$ ”的逆否命题为（）

A、若 $x \neq 1$ ，则 $x \neq 1$ 或 $x \neq - 1$ B、若 $x = 1$ ，则 $x = 1$ 或 $x = - 1$ C、若 $x \neq 1$ ，则 $x \neq 1$ 且 $x \neq - 1$ D、若 $x = 1$ ，则 $x = 1$ 且 $x = - 1$

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2. 已知参加某次考试的10万名理科考生的数学成绩 $ξ$ 近似地服从正态分布 $N (70, 25)$ ，估算这些考生中数学成绩落在 $(75, 80]$ 内的人数为（）
（附： $Z ~ N (μ, σ^{2})$ ，则 $P (μ - σ < Z \leq μ + σ) = 0.6826, P (μ - 2 σ < Z \leq μ + 2 σ) = 0.9544$ ）

A、4560 B、13590 C、27180 D、311740

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3. 对任意的实数 $x$ ，若 $[x]$ 表示不超过 $x$ 的最大整数，则 $" | x - y | < 1 "$ 是 $" [x] = [y] "$ 的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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4. ${(\sqrt[3]{x} - \frac{2}{x})}^{29}$ 展开式中含 $\frac{1}{x}$ 的项是（）

A、第8项 B、第9项 C、第10项 D、第11项

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5. CPI是居民消费价格指数(consumer price index)的简称．居民消费价格指数，是一个反映居民家庭一般所购买的消费品价格水平变动情况的宏观经济指标．右图是根据统计局发布的2018年1月—7月的CPI 同比增长与环比增长涨跌幅数据绘制的折线图．(注：2018 年2月与2017年2月相比较，叫同比；2018年2 月与2018年1月相比较，叫环比)根据该折线图，则下列结论错误的是（）

A、2018年1月—7月CPI 有涨有跌 B、2018年2月—7月CPI 涨跌波动不大，变化比较平稳 C、2018年1月—7月分别与2017年1月一7月相比较，1月CPI 涨幅最大 D、2018年1月—7月分别与2017年1月一7月相比较，CPI 有涨有跌

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6. 已知双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = - 1$ 的离心率为 $\frac{13}{5}$ ，则它的渐近线为（）

A、 $y = \pm \frac{5}{13} x$ B、 $y = \pm \frac{13}{5} x$ C、 $y = \pm \frac{12}{5} x$ D、 $y = \pm \frac{5}{12} x$

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7. 为了了解奥运五环及其内部所占面积与单独五个圆环及其内部面积之和的比值P ，某同学设计了如右图所示的数学模型，通过随机模拟的方法，在长为8，宽为5的矩形内随机取了 $N$ 个点，经统计落入五环及其内部的点的个数为 $n$ ，若圆环的半径为1，则比值 $P$ 的近似值为（）

A、 $\frac{32 n}{5 π N}$ B、 $\frac{32 n}{π N}$ C、 $\frac{8 n}{π N}$ D、 $\frac{5 n}{32 π N}$

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8. 假设有两个分类变量

X

和

Y

的

2 \times 2

列联表如下：

$Y$ $X$	$y_{1}$	$y_{2}$	总计
$x_{1}$	$a$	$10$	$a + 10$
$x_{2}$	$c$	$30$	$c + 30$
总计	$60$	$40$	$100$

注： $K^{2}$ 的观测值 $k = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)} = n (\frac{a}{a + c} - \frac{b}{b + d}) (\frac{a}{a + b} - \frac{c}{c + d})$ .

对于同一样本，以下数据能说明 $X$ 和 $Y$ 有关系的可能性最大的一组是（）

A、

a = 45, c = 15

B、

a = 40, c = 20

C、

a = 35, c = 25

D、

a = 30, c = 30

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9. 如图，在平行六面体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，底面是边长为1的正方形，若 $∠ A_{1} A B = ∠ A_{1} A D = 60^{0}$ ，且 $A_{1} A = 3$ ，则 $A_{1} C$ 的长为（）

A、 $\sqrt{5}$ B、 $2 \sqrt{2}$ C、 $\sqrt{14}$ D、 $\sqrt{17}$

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10. 已知点 $A$ $(1, 2)$ 在抛物线 $C : y^{2} = 2 p x$ ，过焦点 $F$ 且斜率为 $\sqrt{3}$ 的直线与 $C$ 相交于 $P, Q$ 两点,且 $P, Q$ 两点在准线上的投影分别为 $M, N$ 两点,则三角形 $M F N$ 的面积 $S_{Δ M F N} =$ （）

A、 $\frac{8}{3}$ B、 $\frac{16}{3}$ C、 $\frac{8 \sqrt{3}}{3}$ D、 $\frac{16 \sqrt{3}}{3}$

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11. 用五种不同颜色（颜色可以不全用完）给三棱柱 $A B C - D E F$ 的六个顶点涂色，要求每个点涂一种颜色，且每条棱的两个端点涂不同颜色，则不同的涂色种数有（）

A、 $840$ B、 $1200$ C、 $1800$ D、 $1920$

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12. 历史上，许多人研究过圆锥的截口曲线．如图，在圆锥中，母线与旋转轴夹角为 $30^{\circ}$ ，现有一截面与圆锥的一条母线垂直，与旋转轴的交点 $O$ 到圆锥顶点 $M$ 的距离为 $1$ ，对于所得截口曲线给出如下命题：
①曲线形状为椭圆；②点 $O$ 为该曲线上任意两点最长距离的三等分点；③该曲线上任意两点间的最长距离为 $\frac{3}{2}$ ，最短距离为 $\frac{2}{3} \sqrt{3}$ ；④该曲线的离心率为 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ ．其中正确命题的序号为（）

A、①②④ B、①②③④ C、①②③ D、①④

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二、填空题

13. 总体由编号为 $01 ， 02 ， \dots ， 19 ， 20$ 的 $20$ 个个体组成，利用下面的随机数表选取 $5$ 个个体，选取方法是从随机数表第 $1$ 行的第 $5$ 列和第 $6$ 列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第 $5$ 个个体的编号为．

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14. 已知向量 $\overset{⇀}{a} = (- 1, 2, 1)$ ， $\overset{⇀}{b} = (2, - 2, 0)$ ，则 $\overset{⇀}{a}$ 在 $\overset{⇀}{b}$ 方向上的投影为．

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15. 右图中的茎叶图记录了甲、乙两组各五名学生在一次英语听力测试中的成绩（单位：分），已知甲组数据的平均数为17，乙组数据的中位数为17，则 $x + y$ 的值为．

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16. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，点 $A (1 ， 0)$ ，动点 $M$ 满足以 $M A$ 为直径的圆与 $y$ 轴相切.过 $A$ 作直线 $x + (m - 1) y + 2 m - 5 = 0$ 的垂线，垂足为 $B$ ，则 $| M A | + | M B |$ 的最小值为．

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三、解答题

17. 已知命题 $P$ :实数 $p$ 使得二项分布 $ξ$ ～ $B (5, p)$ 满足 $P (ξ = 3) > P (ξ = 4)$ 成立；命题 $Q$ ：实数 $p$ 使得方程 $\frac{x^{2}}{3 p} + \frac{y^{2}}{2 - p} = 1$ 表示焦点在 $x$ 轴上的椭圆．若 $P \land Q$ 为假命题， $P \lor Q$ 为真命题，求实数 $p$ 的取值范围．

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18. 在 $Δ A B C$ 中，内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 所对的边分别是 $a$ ， $b$ ， $c$ .已知 $A = \frac{π}{4}$ ， $b^{2} - a^{2} = \frac{1}{2} c^{2}$ .

(1)、求 $tan C$ 的值；

(2)、若 $Δ A B C$ 的面积为3，求 $b$ 的值.

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19. 已知等差数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{2} = 8$ ，前 $10$ 项和 $S_{10} = 185$ .

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式 $a_{n}$ ；

(2)、若从数列 ${a_{n}}$ 中依次取出第 $2 ， 4 ， 8 ， \dots ， 2^{n} ， \dots$ 项，按原来的顺序排列成一个新的数列，试求新数列的前 $n$ 项和 $A_{n}$ .

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20. 某农科所发现，一种作物的年收获量 $s$ （单位： $k g$ ）与它“相近”作物的株数 $n$ 具有相关关系（所谓两株作物“相近”是指它们的直线距离不超过 $1 m$ ），并分别记录了相近作物的株数为 $1 ， 2 ， 3 ， 5 ， 6 ， 7$ 时，该作物的年收获量的相关数据如下：

参考公式：线性回归方程为 $\hat{y} = \hat{b} x + \hat{a}$ ，其中 $\hat{b} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - \bar{x}) (y_{i} - \bar{y})}{\sum_{i = 1}^{n} {(x_{i} - \bar{x})}^{2}}$ ， $\hat{a} = \bar{y} - \hat{b} \bar{x}$ ，

相关系数 $r = \frac{\sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - \bar{x}) (y_{i} - \bar{y})}{\sqrt{\sum_{i = 1}^{n} {(x_{i} - \bar{x})}^{2} \sum_{i = 1}^{n} {(y_{i} - \bar{y})}^{2}}}$ ；

参考数值： $\sqrt{7} \approx 2.65$ ， $\sum_{i = 1}^{6} (w_{i} - \bar{w}) (s_{i} - \bar{s}) = - 664$ ， $\sqrt{\sum_{i = 1}^{6} {(w_{i} - \bar{w})}^{2}} \approx 43$ ，其中 $w_{i} = n_{i}^{2}$ .

(1)、根据研究发现，该作物的年收获量 $s$ 可能和它“相近”作物的株数 $n$ 有以下两种回归方程： $① \hat{s} = \hat{b} n + \hat{a} ； ② \hat{s} = \hat{b} n^{2} + \hat{a}$ ，利用统计知识，结合相关系数 $r$ 比较使用哪种回归方程更合适；

(2)、农科所在如下图所示的正方形地块的每个格点（指纵、横直线的交叉点）处都种了一株该作物，其中每个小正方形的面积为 $1$ ，若在所种作物中随机选取一株，求它的年收获量的分布列与数学期望.（注：年收获量以（1）中选择的回归方程计算所得数据为依据）

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21. 如图，四棱锥 $P - A B C D$ 中，平面 $P A C ⊥$ 底面 $A B C D$ ，且 $P$ 在底面正投影点在线段 $A C$ 上， $B C = C D = \frac{1}{2} A C = 2$ ， $∠ A C B = ∠ A C D = \frac{π}{3}$ .

(1)、证明： $A P ⊥ B D$ ；

(2)、若 $A P = \sqrt{5}$ ， $A P$ 与 $B C$ 所成角的余弦值为 $\frac{\sqrt{5}}{5}$ ，求钝二面角 $A - B P - C$ 的余弦值．

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22. 已知椭圆 $M : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左焦点为 $F_{1} (- 1, 0)$ ，过点 $F_{1}$ 的直线 $l$ 交椭圆于 $A 、 B$ 两点， $O$ 为坐标原点.

(1)、若 $l$ 的斜率为 $1$ ， $P$ 为 $A B$ 的中点，且 $O P$ 的斜率为 $- \frac{3}{4}$ ，求椭圆 $M$ 的方程；

(2)、连结 $A O$ 并延长，交椭圆于点 $C$ ，若椭圆的长半轴长 $a$ 是大于 $1$ 的给定常数，求 $Δ A B C$ 的面积的最大值 $S (a)$ ．

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