山西省晋城市2019届高三理数第二次模拟考试试卷

试卷更新日期：2019-08-19 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 若集合 $A = {x | x ⩾ 3 - 2 a}$ ， $B = {x | (x - a + 1) (x - a) ⩾ 0}$ ， $A \cup^{} B = R$ ，则 $a$ 的取值范围为（）

A、 $[2, + \infty)$ B、 $(- \infty, 2]$ C、 $(- \infty, \frac{4}{3}]$ D、 $[\frac{4}{3}, + \infty)$

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2. 已知 $m \in R$ ，复数 $z_{1} = 1 + 3 i$ ， $z_{2} = m + 2 i$ ，且 $z_{1} \cdot {\bar{z}}_{2}$ 为实数，则 $m =$ （）

A、 $- \frac{2}{3}$ B、 $\frac{2}{3}$ C、3 D、-3

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3. 设等比数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，若 $S_{2} = 3$ ， $S_{4} = 15$ ，则 $S_{6} =$ （）

A、63 B、62 C、61 D、60

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4. 《九章算术》是我国古代第一部数学专著，它有如下问题：“今有圆堡瑽（cōng），周四丈八尺，高一丈一尺。问积几何？”意思是“今有圆柱体形的土筑小城堡，底面周长为4丈8尺，高1丈1尺。问它的体积是（）？”（注：1丈=10尺，取 $π = 3$ ）

A、704立方尺 B、2112立方尺 C、2115立方尺 D、2118立方尺

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5. 已知向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 满足 $2 \vec{a} + \vec{b} = (1, 2 m)$ ， $\vec{b} = (1, m)$ ，且 $\vec{a}$ 在 $\vec{b}$ 方向上的投影是 $\frac{2 \sqrt{5}}{5}$ ，则实数 $m =$ （）

A、士2 B、2 C、 $\pm \sqrt{5}$ D、 $\sqrt{5}$

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6. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）

A、264 B、270 C、274 D、282

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7. 函数 $f (x) = A sin (ω x + φ)$ （其中 $A > 0$ ， $ω > 0$ ）的部分图象如图所示、将函数 $f (x)$ 的图象向左平移 $\frac{π}{3}$ 个单位长度，得到 $y = g (x)$ 的图象，则下列说法正确的是（）

A、函数 $g (x)$ 为奇函数 B、函数 $g (x)$ 的单调递增区间为 $[- \frac{5 π}{12} + k π ， \frac{π}{12} + k π]$ $(k \in Z)$ C、函数 $g (x)$ 为偶函数 D、函数 $g (x)$ 的图象的对称轴为直线 $x = k π + \frac{π}{6}$ $(k \in Z)$

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8. 某学校对100间学生公寓的卫生情况进行综合评比，依考核分数分为 $A$ ， $B$ 、 $C$ 、 $D$ 四个等级，其中分数在 $[60 ， 70)$ 为 $D$ 等级；分数在 $[70 ， 80)$ 为 $C$ 等级；分数在 $[80 ， 90)$ 为 $B$ 等级；分数在 $[90 ， 100]$ 为 $A$ 等级.考核评估后，得其频率分布折线图如图所示，估计这100间学生公寓评估得分的平均数是（）

A、80.25 B、80.45 C、80.5 D、80.65

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9. 定义 $min {a ， b} = {\begin{matrix} a ， a ⩽ b \\ b ， a > b \end{matrix}$ ，由集合 ${(x ， y) | 0 ⩽ x ⩽ 2 ， 0 ⩽ y ⩽ 1}$ 确定的区域记作 $Ω$ ，由曲线 $C ： y = min {x ， - 2 x + 3}$ 和 $x$ 轴围成的封闭区域记作 $M$ ，向区域 $Ω$ 内投掷12000个点，则落入区域 $M$ 的点的个数为（）

A、3000 B、3500 C、4000 D、4500

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10. 已知 $f (x)$ 是定义在R上的偶函数，且 $f (x + 5) = f (x - 3)$ ，如果当 $x \in [0, 4)$ 时， $f (x) = {log}_{2} (x + 2)$ ，则 $f (766) =$ （）

A、3 B、-3 C、2 D、-2

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11. 已知双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ （ $a > 0$ ， $b > 0$ ）的右焦点为 $F$ ，直线 $l$ 经过点 $F$ 且与双曲线的一条渐近线垂直，直线 $l$ 与双曲线的右支交于不同两点 $A$ ， $B$ ，若 $\vec{A F} = 3 \vec{F B}$ ，则该双曲线的离心率为（）

A、 $\frac{\sqrt{5}}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{6}}{2}$ C、 $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ D、 $\sqrt{3}$

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12. 已知函数 $f (x) = x^{2} - 3 x + 5 ， g (x) = a x - ln x$ ，若对 $\forall x \in (0 ， e)$ ， $\exists x_{1}$ ， $x_{2} \in (0 ， e)$ 且 $x_{1} \neq x_{2}$ ，使得 $f (x) = g (x_{i}) (i = 1 ， 2)$ ，则实数 $a$ 的取值范围是（）

A、 $(\frac{1}{e} ， \frac{6}{e})$ B、 $[\frac{1}{e} ， e^{\frac{2}{4}})$ C、 $(0 ， \frac{1}{e}] \cup^{} [\frac{6}{e} ， e^{\frac{2}{4}})$ D、 $[\frac{6}{e} ， e^{\frac{7}{4}})$

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二、填空题

13. 已知 $m \in Z$ ，二项式 ${(m + x)}^{4}$ 的展开式中 $x^{2}$ 的系数比 $x^{3}$ 的系数大16，则 $m =$ ．

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14. 已知实数 $x$ ， $y$ 满足 ${\begin{matrix} y \leq x \\ x - 4 y - 3 \leq 0 \\ 2 x + y - 6 \leq 0 \end{matrix}$ ，则目标函数 $z = x + 2 y$ 的最大值为．

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15. 已知抛物线 $y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 经过点 $M (1, 2)$ ，直线 $l$ 与抛物线交于相异两点 $A$ ， $B$ ，若 $Δ M A B$ 的内切圆圆心为 $(1, t)$ ，则直线 $l$ 的斜率为．

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16. 数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{1} = 3$ ，且对于任意的 $n \in N^{*}$ 都有 $a_{n + 1} = a_{1} + a_{n} + n - 1$ ，则 $\frac{1}{a_{1}} + \frac{1}{a_{2}} + ... + \frac{1}{a_{985}} =$ ．

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三、解答题

17. 在 $△ ABC$ 中，角 $A$ ， $B$ ， $C$ 所对的边分别是 $a$ ， $b$ , $c$ ，且 $2 {sin}^{2} (B + C) - 3 cos A = 0$ .

(1)、求角 $A$ 的大小；

(2)、若 $B = \frac{π}{4}$ ， $a = 2 \sqrt{3}$ ，求边长 $c$ .

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18. 一年之计在于春，一日之计在于晨，春天是播种的季节，是希望的开端.某种植户对一块地的 $n (n \in N^{*})$ 个坑进行播种，每个坑播3粒种子，每粒种子发芽的概率均为 $\frac{1}{2}$ ，且每粒种子是否发芽相互独立.对每一个坑而言，如果至少有两粒种子发芽，则不需要进行补播种，否则要补播种.

(1)、当 $n$ 取何值时，有3个坑要补播种的概率最大？最大概率为多少？

(2)、当 $n = 4$ 时，用 $X$ 表示要补播种的坑的个数，求 $X$ 的分布列与数学期望.

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19. 在四棱柱 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $∠ B A D = ∠ B C D = 90 °$ ， $∠ A D C = 60 °$ 且 $A D = C D$ ， $B B_{1} ⊥$ 平面 $A B C D$ ， $B B_{1} = 2 A B = 2$ .

(1)、证明： $A C ⊥ B_{1} D$ .

(2)、求 $B C_{1}$ 与平面 $B_{1} C_{1} D$ 所成角的正弦值.

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20. 已知椭圆 $C_{1}$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{6}}{3}$ ，椭圆 $C_{2}$ ： $\frac{x^{2}}{3 a^{2}} + \frac{y^{2}}{3 b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 经过点 $(\frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2})$ .

(1)、求椭圆 $C_{1}$ 的标准方程；

(2)、设点 $M$ 是椭圆 $C_{1}$ 上的任意一点，射线 $M O$ 与椭圆 $C_{2}$ 交于点 $N$ ，过点 $M$ 的直线 $l$ 与椭圆 $C_{1}$ 有且只有一个公共点，直线 $l$ 与椭圆 $C_{2}$ 交于 $A$ ， $B$ 两个相异点，证明： $Δ N A B$ 面积为定值.

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21. 已知函数 $f (x) = ln x ， g (x) = \frac{2 a}{3} x^{3} + 2 (1 - a) x^{2} - 8 x + 8 a + 7$ .

(1)、若曲线 $y = g (x)$ 在点 $(2 ， g (2))$ 处的切线方程是 $y = a x - 1$ ，求函数 $g (x)$ 在 $[0 ， 3]$ 上的值域；

(2)、当 $x > 0$ 时，记函数 $h (x) = {\begin{matrix} f (x) ， f (x) < g (x) \\ g (x) ， f (x) ⩾ g (x) \end{matrix}$ ，若函数 $y = h (x)$ 有三个零点，求实数 $a$ 的取值范围.

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22. 在直角坐标系 $x O y$ 中，圆 $C$ 的参数方程为 ${\begin{matrix} x = \sqrt{3} + 2 c o s α \\ y = 1 + 2 s i n α \end{matrix}$ （ $α$ 为参数），以直角坐标系的原点 $O$ 为极点， $x$ 轴正半轴为极轴建立极坐标系.

(1)、求圆 $C$ 的极坐标方程；

(2)、设曲线 $l_{1}$ 的极坐标方程为 $θ = \frac{π}{6} (ρ \geq 0)$ ，曲线 $l_{2}$ 的极坐标方程为 $θ = \frac{π}{3} (ρ \geq 0)$ ，求三条曲线 $C$ ， $l_{1}$ ， $l_{2}$ 所围成图形的面积.

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23. 已知函数 $f (x) = | x + a | + | 2 x - 5 | (a > 0)$ .

(1)、当 $a = 2$ 时，解不等式 $f (x) \geq 5$ ；

(2)、当 $x \in [a, 2 a - 2]$ 时，不等式 $f (x) \leq | x + 4 |$ 恒成立，求实数 $a$ 的取值范围.

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