内蒙古呼和浩特市2019年高三理数第二次质量普查调研考试试卷

试卷更新日期：2019-08-19 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 设集合 $A = {- 3 ， 0 ， 1 ， 2}$ ，集合 $B = {y | y = 2^{x}}$ ，则 $A \cap^{} B =$ （）

A、 $(0，-3]$ B、 ${1 ， 2}$ C、 ${0 ， 2}$ D、 $(0 ， + \infty)$

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2. 瑞士著名数学家欧拉发现公式 $e^{i x} = cos x + i sin x$ （ $i$ 为虚数单位），它将指数函数的定义域扩大到复数集，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里占有非常重要的地位.特别是当 $x = π$ 时， $e^{i π} + 1 = 0$ 被认为是数学上最优美的公式，数学家们评价它是“上帝创造的公式”.根据欧拉公式可知， $e^{i}$ 表示的复数在复平面中位于（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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3. 函数 $f (cos x) = cos 2 x$ ，那么 $f (\frac{1}{2})$ 的值为（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ C、 $- \frac{1}{2}$ D、 $- \frac{\sqrt{3}}{2}$

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4. 6个人分乘两辆不同的汽车，每辆车最多坐4人，则不同的乘车方法数为（）

A、40 B、50 C、60 D、70

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5. 已知椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ $(a > b > 0)$ 的左、右顶点分别为 $A_{1}$ ， $A_{2}$ ，点 $P$ 是椭圆上的动点，若 $∠ A_{1} P A_{2}$ 的最大可以取到120°，则椭圆 $C$ 的离心率为（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{6}}{3}$

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6. 已知某种品牌的节能灯使用寿命超过 $10000 h$ 的概率为 $\frac{19}{20}$ ，而使用寿命超过 $12000 h$ 的概率为 $\frac{9}{10}$ ，某家庭的该品牌节能灯已经使用了 $10000 h$ ，则其寿命超过 $12000 h$ 的概率为（）

A、 $\frac{2}{19}$ B、 $\frac{18}{19}$ C、 $\frac{171}{200}$ D、 $\frac{1}{20}$

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7. 执行如图所示的程序框图，如果输出S＝3，那么判断框内应填入的条件是（）

A、 $k \leq 5 ?$ B、 $k \leq 6 ?$ C、 $k \leq 7 ?$ D、 $k \leq 8 ?$

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8. 设 $θ$ 为两个非零向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 的夹角，已知对任意实数 $t$ . $| \vec{b} + t \vec{a} |$ 的最小值为1.则（）

A、若 $θ$ 确定，则| $\vec{b}$ |唯一确定 B、若| $\vec{b}$ |确定，则 $θ$ 唯一确定 C、若 $θ$ 确定，则| $\vec{a}$ |唯一确定 D、若| $\vec{a}$ |确定，则 $θ$ 唯一确定

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9. 我国古代数学名著《九章算术》中有这样一些数学用语，“堑堵”意指底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱.现有一如图所示的堑堵， $A C ⊥ B C$ ，若 $A_{1} A = A B = 2$ ，则堑堵 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 的外接球的体积为（）

A、 $\frac{16 \sqrt{2} π}{3}$ B、 $8 π$ C、 $\frac{8 \sqrt{2} π}{3}$ D、 $\frac{4 π}{3}$

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10. 已知函数 $f (x) = sin x + \sqrt{3} cos x$ ，把函数 $f (x)$ 的图象向右平移 $\frac{π}{6}$ 个单位，再把图象上各点的横坐标缩小到原来的一半，纵坐标不变，得到函数 $g (x)$ 的图象，当 $x \in [0 ， \frac{π}{2}]$ 时，方程 $g (x) - k = 0$ 恰有两个不同的实根，则实数 $k$ 的取值范围为（）

A、 $[1 ， \sqrt{3}]$ B、 $[1 ， 2)$ C、 $(- 2 ， 0) \cup^{} (0 ， 2)$ D、 $[\sqrt{3} ， 2)$

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11. 过坐标轴上一点 $M (x_{0} ， 0)$ 作圆 $C ： x^{2} + {(y - \frac{1}{2})}^{2} = 1$ 的两条切线，切点分别为 $A$ 、 $B$ .若 $| A B | \geq \sqrt{2}$ ，则 $x_{0}$ 的取值范围是（）

A、 $(- \infty ， - \frac{\sqrt{5}}{2}] \cup^{} [\frac{\sqrt{5}}{2} ， + \infty)$ B、 $(- \infty ， - \sqrt{3}] \cup^{} [\sqrt{3} ， + \infty)$ C、 $(- \infty ， - \frac{\sqrt{7}}{2}] \cup^{} [\frac{\sqrt{7}}{2} ， + \infty)$ D、 $(- \infty ， - 2] \cup^{} [2 ， + \infty)$

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12. 设函数 $f (x)$ 是定义在 $R$ 上的函数，且对任意的实数 $x$ ，恒有 $f (- x) = - f (x)$ ， $f (2 - x) = f (x)$ ，当 $x \in [- 1 ， 0]$ 时， $f (x) = x^{2}$ .若 $g (x) = f (x) - {log}_{a} x$ 在 $x \in (0 ， + \infty)$ 在上有且仅有三个零点，则 $a$ 的取值范围为（）

A、 $(\frac{1}{8} ， \frac{1}{6}) \cup^{} (3 ， 7)$ B、 $(\frac{1}{8} ， \frac{1}{6}) \cup^{} (4 ， 6)$ C、 $(\frac{1}{9} ， \frac{1}{5}) \cup^{} (3 ， 7)$ D、 $(\frac{1}{9} ， \frac{1}{6}) \cup^{} (4 ， 6)$

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二、填空题

13. 已知 $x$ ， $y$ 满足不等式 ${\begin{matrix} x \geq 1 ， \\ y \geq 4 ， \\ x + y - 6 ⩽ 0 ， \end{matrix}$ ，则 $z = x + 2 y$ 最大值为.

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14. 用半径为 $2 cm$ ，圆心角为 $\frac{2 π}{3}$ 的扇形纸片卷成一个圆锥，则这个圆锥的高为 $cm$ .

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15. 已知 $a$ ， $b$ ， $c$ 分别为 $△ A B C$ 三个内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边，若 $cos B = - \frac{1}{4}$ ， $a = 6$ ， $△ ABC$ 的面积为 $3 \sqrt{15}$ ，则 $sin A$ 的值等于.

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16. 以下四个命题：①设 $a ， b \in R^{*}$ ，则 $a > b > 1$ 是 ${log}_{2} a > {log}_{2} b > 0$ 的充要条件；②已知命题 $p$ 、 $q$ 、 $r$ 满足“ $p$ 或 $q$ ”真，“ $\neg p$ 或 $r$ ”也真，则“ $q$ 或 $r$ ”假；③若 $a \in [- 1 ， 1]$ ，则使得 $x^{2} + (a - 4) x + 4 - 2 a > 0$ 恒成立的 $x$ 的取值范围为{ $x | x 〉 3$ 或 $x < 1$ }；④将边长为 $a$ 的正方形 $A B C D$ 沿对角线 $AC$ 折起，使得 $BD = a$ ，则三棱锥 $D - ABC$ 的体积为 $\frac{\sqrt{2}}{12} a^{3}$ .其中真命题的序号为.

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三、解答题

17. 设 $S_{n}$ 是等比数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和.已知 $a_{1}$ ， $a_{2}$ ， $S_{2}$ 成等差数列， $S_{3} = 42$ .

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式 $a_{n}$ ；

(2)、设 $b_{n} = \frac{{na}_{n}}{2^{n}}$ .若 $c_{n} = \frac{1}{b_{n} b_{n + 1}}$ ，求数列 ${c_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ .

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18. 随着科技的发展，网购已经逐渐融入了人们的生活，在家里不用出门就可以买到自己想要的东西，在网上付款即可，两三天就会送到自己的家门口，所以选择网购的人数在逐年增加.某网店统计了2014年一2018年五年来在该网店的购买人数

y_{i}

（单位：人）各年份的数据如下表：

年份（ $t$ ）	1	2	3	4	5
$y_{i}$	24	27	41	64	79

(1)、依据表中给出的数据，是否可用线性回归模型拟合

y

与时间

t

（单位：年）的关系，请通过计算相关系数

r

加以说明，（若

| r | > 0.75

，则该线性相关程度很高，可用线性回归模型拟合）

附：相关系数公式 $r = \frac{\sum_{i = 1}^{m} (t_{_{i}} - \bar{t}) (y_{_{i}} - \bar{y})}{\sqrt{\sum_{i = 1}^{m} {(t_{_{i}} - \bar{t})}^{2}} \sqrt{\sum_{i = 1}^{m} {(y_{_{i}}_{-} \bar{y})}^{2}}} = \frac{\sum_{i = 1}^{m} t_{_{i}} y_{_{i}} - n \bar{t} \cdot \bar{y}}{\sqrt{\sum_{i = 1}^{m} {(t_{_{i}} - \bar{t})}^{2}} \sqrt{\sum_{i = 1}^{m} {(y_{i} - \bar{y})}^{2}}}$

参考数据 $\sqrt{5695} \approx 75.47$ $\sqrt{\sum_{i = 1}^{5} {(y - \bar{y})}^{2}} = \sqrt{2278}$ $\sum_{i = 1}^{s} 1 y_{i} = 852$ $\sqrt{\sum_{i = 1}^{3} {(t_{i} - \bar{t})}^{2}} = \sqrt{10}$

(2)、该网店为了更好的设计2019年的“双十一”网购活动安排，统计了2018年“双十一”期间8个不同地区的网购顾客用于网购的时间x（单位：小时）作为样本，得到下表

地区	$A$	$B$	$C$	$D$	$E$	$F$	$G$	$H$
时间	0.9	1.6	1.4	2.5	2.6	2.4	3.1	1.5

①求该样本数据的平均数 $\bar{x}$ ；

②通过大量数据统计发现，该活动期间网购时间 $x$ 近似服从正态分布 $N (\bar{x} ， 0.49)$ ，如果预计2019年“双十一”期间的网购人数大约为50000人，估计网购时间 $x > 1.3$ 的人数.

（附：若随机变量 $Z$ 服从正态分布 $N (μ σ^{2})$ 则 $P (μ - σ < Z < μ + σ) = 0.6826$ ， $P (μ - 2 σ < Z < μ + 2 σ) = 0.9544$

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19. 在如图所示的几何体中，四边形 $ABCD$ 是菱形， $ADNM$ 是矩形， $∠ DAB = 60^{°}$ ， $AD = 2$ ， $AM = 1$ ， $ME = \sqrt{2}$ ， $E$ 为 $AB$ 的中点.

(1)、平面 $ADNM ⊥$ 平面 $ABCD$

(2)、在线段 $AM$ 上是否存在点 $P$ ，使二面角 $P - EC - D$ 的大小为 $\frac{π}{6}$ ？若存在，求出 $AP$ 的长度；若不存在，请说明理由.

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20. 抛物线有光学性质，即由其焦点射出的光线经抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出，反之亦然.如图所示，今有抛物线 $C ： y^{2} = 2 x$ ，一光源在点 $M$ 处，由其发出的光线沿平行于抛物线的对称轴的方向射向抛物线上的点 $P$ ，反射后，又射向抛物线上的点 $Q$ ，再反射后又沿平行于抛物线的对称轴方向射出，途中遇到直线 $l$ 上的 $N$ 点，再反射后又射回点 $M$ .设 $P$ ， $Q$ 两点的坐标分别是 $(x_{1} ， y_{1})$ ， $(x_{2} ， y_{2})$ .

(1)、证明： $y_{1} y_{2} = - 1$ ；

(2)、若四边形 $MPQN$ 是平行四边形，且点 $M$ 的坐标为 $(4 ， 2)$ .求直线 $l$ 的方程.

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21. 已知函数 $f (x) = x ln x - ln x$ ， $g (x) = x - k$ .
（Ⅰ）令 $h (x) = f (x) - g (x)$

①当 $k = 1$ 时，求函数 $h (x)$ 在点 $(1 ， h (1))$ 处的切线方程；

②若 $x \in A = {x | x 〉 1}$ 时， $h (x) ⩾ 0$ 恒成立，求 $k$ 的所有取值集合与 $A$ 的关系；

（Ⅱ）记 $w (x) = (f (x) - \frac{k}{x}) (g (x) - \frac{k}{2 x})$ ，是否存在 $m \in N_{+}$ ，使得对任意的实数 $k \in (m ， + \infty)$ ，函数 $w (x)$ 在 $(1 ， + \infty)$ 上有且仅有两个零点？若存在，求出满足条件的最小正整数 $m$ ，若不存在，请说明理由.

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22. 在直角坐标系中，以原点为极点， $x$ 轴的正半轴为极轴，以相同的长度单位建立极坐标系，已知直线 $l$ 的极坐标方程为 $\sqrt{2} ρ cos (θ + \frac{π}{4}) = 1$ ，曲线 $C$ 的极坐标方程为 $ρ = 2 a c o s θ$ ， $a > 0$

(1)、设 $t$ 为参数，若 $y = \frac{\sqrt{2}}{2} t - 1$ ，求直线 $l$ 的参数方程；

(2)、已知直线 $l$ 与曲线 $C$ 交于 $P$ ， $Q$ 设 $M (0 ， - 1)$ ，且 $| PQ |^{2} = 4 | MP | \cdot | MQ |$ ，求实数 $a$ 的值.

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23. 设函数 $f (x) = | x - 2 | - | x - a |$ .

(1)、当 $a = l$ 时，求不等式 $f (x) < - \frac{1}{2}$ 的解集；.

(2)、对 $\forall x_{1}$ ， $x_{2} \in R$ ， $- 2 + f (x_{2}) \leq f (x_{1}) \leq 2 + f (x_{2})$ ，恒成立，求实数 $a$ 的取值范围.

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