江西省南昌市2019届高三文数二模考试试卷

试卷更新日期：2019-08-19 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {x | x^{2} - x - 2 〉 0}$ ， $B = {x | 0 < x < 3}$ ，则 $A \cap^{} B$ 等于（）

A、 $(- 1, 3)$ B、 $(0, 3)$ C、 $(1, 3)$ D、 $(2, 3)$

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2. 已知 $a, b \in R$ ，复数 $z = a - b i$ ，则 $| z |^{2} =$ （）

A、 $a^{2} + b^{2} - 2 a b i$ B、 $a^{2} - b^{2} - 2 a b i$ C、 $a^{2} - b^{2}$ D、 $a^{2} + b^{2}$

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3. 已知函数 $f (x) = a x^{2} + x + a$ ，命题 $p$ ： $\exists x_{0} \in R$ ， $f (x_{0}) = 0$ ，若 $p$ 为假命题，则实数 $a$ 的取值范围是（）

A、 $[- \frac{1}{2}, \frac{1}{2}]$ B、 $(- \frac{1}{2}, \frac{1}{2})$ C、 $(- \infty, - \frac{1}{2}) \cup^{} (\frac{1}{2}, + \infty)$ D、 $(- \infty, - \frac{1}{2}] \cup^{} [\frac{1}{2}, + \infty)$

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4. 已知角 $α$ 的顶点在坐标原点，始边为 $x$ 轴非负半轴，终边过点 $P (2, - 1)$ ，则 $cos 2 α$ 等于（）

A、 $- \frac{3}{5}$ B、 $- \frac{4}{5}$ C、 $\frac{3}{5}$ D、 $\frac{4}{5}$

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5. 已知抛物线 $y^{2} = 8 x$ 的焦点为 $F$ ，点 $P$ 在该抛物线上，且 $P$ 在 $y$ 轴上的投影为点 $E$ ，则 $| P F | - | P E |$ 的值为（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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6. 已知圆锥的侧面展开图为四分之三个圆面，设圆锥的底面半径为 $r$ ，母线长为 $l$ ，有以下结论：① $l : r = 4 : 3$ ；②圆锥的侧面积与底面面积之比为 $4 : 3$ ；③圆锥的轴截面是锐角三角形.其中所有正确结论的序号是（）

A、①② B、②③ C、①③ D、①②③

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7. 某市教育局卫生健康所对全市高三年级的学生身高进行抽样调查，随机抽取了100名学生，他们身高都处于 $A ， B ， C ， D ， E$ 五个层次，根据抽样结果得到如下统计图表，则从图表中不能得出的信息是（）

A、样本中男生人数少于女生人数 B、样本中 $B$ 层次身高人数最多 C、样本中 $D$ 层次身高的男生多于女生 D、样本中 $E$ 层次身高的女生有3人

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8. 已知函数 $f (x) = A sin (ω x + φ)$ （ $A > 0$ ， $ω > 0$ ， $| φ | < \frac{π}{2}$ ）的部分图像如图所示，若将 $f (x)$ 图像上的所有点向左平移 $\frac{π}{4}$ 个单位得到函数 $g (x)$ 的图像，则函数 $g (x)$ 的单调递增区间是（）

A、 $[k π - \frac{7 π}{12} ， k π - \frac{π}{12}] (k \in Z)$ B、 $[k π - \frac{π}{12} ， k π + \frac{5 π}{12}] (k \in Z)$ C、 $[k π - \frac{5 π}{24} ， k π + \frac{7 π}{24}] (k \in Z)$ D、 $[k π - \frac{11 π}{24} ， k π + \frac{π}{24}] (k \in Z)$

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9. 已知正实数 $a, b, c$ 满足 ${log}_{a} 2 = 2$ ， ${log}_{3} b = \frac{1}{3}$ ， $c^{6} = \frac{17}{2}$ ，则 $a, b, c$ 的大小关系是（）

A、 $a < b < c$ B、 $a < c < b$ C、 $c < b < a$ D、 $b < a < c$

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10. 唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河.”诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在区域为 $x^{2} + y^{2} \leq 1$ ，若将军从点 $A (2 ， 0)$ 处出发，河岸线所在直线方程为 $x + y = 3$ ，并假定将军只要到达军营所在区域即回到军营，则“将军饮马”的最短总路程为（）

A、 $\sqrt{10} - 1$ B、 $2 \sqrt{2} - 1$ C、 $2 \sqrt{2}$ D、 $\sqrt{10}$

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11. 已知一个四棱锥的三视图如图（网络中的小正方形边长为1），则该四棱锥的侧面中直角三角形的个数为（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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12. 已知双曲线 $E$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 焦距为 $2 c$ ，圆 $C_{1}$ ： ${(x - c)}^{2} + y^{2} = r^{2} (r > 0)$ 与圆 $C_{2}$ ： $x^{2} + {(y - m)}^{2} = 4 r^{2} (m \in R)$ 外切，且 $E$ 的两条渐近线恰为两圆的公切线，则 $E$ 的离心率为（）

A、 $\sqrt{2}$ B、 $\sqrt{5}$ C、 $\frac{\sqrt{6}}{2}$ D、 $\frac{3}{2}$

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二、填空题

13. 已知平面向量 $\overset{⇀}{a}$ 与 $\overset{⇀}{b}$ 的夹角为 $\frac{π}{3}$ ， $| \vec{a} | = 2$ ， $| \vec{b} | = 1$ ，则 $\vec{a} \cdot (\vec{a} - \vec{b}) =$ ．

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14. 已知实数 $x ， y$ 满足 ${\begin{matrix} 2 x - y - 1 \leq 0 \\ x - 3 y + 2 \geq 0 \\ x + 2 y + 2 \geq 0 \end{matrix}$ ，则 $2 x + y$ 的最小值是．

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15. 已知函数 $f (x)$ 对于任意实数 $x$ 都有 $f (- x) = f (x)$ ，且当 $x \geq 0$ 时， $f (x) = e^{x} - sin x$ ，若实数 $a$ 满足 $f ({log}_{2} a) < f (1)$ ，则 $a$ 的取值范围是．

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16. 已知平行四边形 $A B C D$ 中， $A B = A C$ ， $B D = 6$ ，则此平行四边形面积的最大值为．

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三、解答题

17. 已知数列 ${a_{n}}$ 是公差不为零的等差数列， $a_{1} = 1$ ，且存在实数 $λ$ 满足 $2 a_{n + 1} = λ a_{n} + 4$ ， $n \in N_{+}$ .

(1)、求 $λ$ 的值及通项 $a_{n}$ ；

(2)、求数列 ${a_{2^{n} - n}}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n}$ .

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18. 如图，矩形 $A B C D$ 中， $A B = 3$ ， $B C = 1$ ， $E$ 、 $F$ 是边 $D C$ 的三等分点.现将 $Δ D A E$ 、 $Δ C B F$ 分别沿 $A E$ 、 $B F$ 折起，使得平面 $D A E$ 、平面 $C B F$ 均与平面 $A B F E$ 垂直.

(1)、若 $G$ 为线段 $A B$ 上一点，且 $A G = 1$ ，求证： $D G ∥$ 平面 $C B F$ ；

(2)、求多面体 $C D A B F E$ 的体积.

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19. 已知椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ ，点 $M$ 是 $C$ 长轴上的一个动点，过点 $M$ 的直线 $l$ 与 $C$ 交于 $P ， Q$ 两点，与 $y$ 轴交于点 $N$ ，弦 $P Q$ 的中点为 $R$ .当 $M$ 为 $C$ 的右焦点且 $l$ 的倾斜角为 $\frac{5 π}{6}$ 时， $N ， P$ 重合， $| P M | = 2$ .

(1)、求椭圆 $C$ 的方程；

(2)、当 $M ， N$ 均与原点 $O$ 不重合时，过点 $N$ 且垂直于 $O R$ 的直线 $l^{'}$ 与 $x$ 轴交于点 $H$ .求证： $\frac{| O M |}{| O H |}$ 为定值.

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20. 某品牌餐饮公司准备在10个规模相当的地区开设加盟店，为合理安排各地区加盟店的个数，先在其中5个地区试点，得到试点地区加盟店个数分别为1，2，3，4，5时，单店日平均营业额

y

（万元）的数据如下：

加盟店个数 $x$ （个）	1	2	3	4	5
单店日平均营业额 $y$ （万元）	10.9	10.2	9	7.8	7.1

（参考数据及公式： $\sum_{i = 1}^{5} x_{i} y_{i} = 125$ ， $\sum_{i = 1}^{5} x_{i}^{2} = 55$ ，线性回归方程 $\hat{y} = b x + a$ ，其中 $b = \frac{\sum_{i = 1}^{n} x_{i} y_{i} - n \bar{x y}}{\sum_{i = 1}^{n} x_{i}^{2} - n {\bar{x}}^{2}}$ ， $a = \bar{y} - b \bar{x}$ .）

(1)、求单店日平均营业额

y

（万元）与所在地区加盟店个数

x

（个）的线性回归方程；

(2)、根据试点调研结果，为保证规模和效益，在其他5个地区，该公司要求同一地区所有加盟店的日平均营业额预计值总和不低于35万元，求一个地区开设加盟店个数

m

的所有可能取值；

(3)、小赵与小王都准备加入该公司的加盟店，根据公司规定，他们只能分别从其他五个地区（加盟店都不少于2个）中随机选一个地区加入，求他们选取的地区相同的概率.

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21. 已知函数 $f (x) = ln x + a x$ ， $a \in R$ .

(1)、讨论函数 $f (x)$ 的单调区间；

(2)、当 $a = \frac{3}{4}$ 时，证明： $x^{3} > f (x)$ .

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22. 已知在平面直角坐标系 $x O y$ 中，直线 $l$ 的参数方程为 ${\begin{matrix} x = \frac{1}{2} t \\ y = \frac{\sqrt{3}}{2} t \end{matrix}$ （ $t$ 为参数），以坐标原点为极点， $x$ 轴非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线 $C$ 的极坐标方程为 $ρ^{2} - 2 ρ cos θ - 2 = 0$ ，点 $P$ 的极坐标是 $(\frac{2 \sqrt{15}}{3}, \frac{2 π}{3})$ .

(1)、求直线 $l$ 的极坐标方程及点 $P$ 到直线 $l$ 的距离；

(2)、若直线 $l$ 与曲线 $C$ 交于 $M, N$ 两点，求 $Δ P M N$ 的面积.

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23. 已知 $a, b$ 为正实数，函数 $f (x) = | x - a | - | x + 2 b |$ .

(1)、求函数 $f (x)$ 的最大值；

(2)、若函数 $f (x)$ 的最大值为1，求 $a^{2} + 4 b^{2}$ 的最小值.

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