江西省南昌市2019届高三理数二模考试试卷

试卷更新日期：2019-08-19 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {x | x^{2} - x - 2 〉 0}$ ， $B = {x | 0 < x < 3}$ ，则 $A \cap^{} B$ 等于（）

A、 $(- 1, 3)$ B、 $(0, 3)$ C、 $(1, 3)$ D、 $(2, 3)$

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2. 已知 $a, b \in R$ ，复数 $z = a - b i$ ，则 $| z |^{2} =$ （）

A、 $a^{2} + b^{2} - 2 a b i$ B、 $a^{2} - b^{2} - 2 a b i$ C、 $a^{2} - b^{2}$ D、 $a^{2} + b^{2}$

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3. 已知函数 $f (x) = a x^{2} + x + a$ ，命题 $p$ ： $\exists x_{0} \in R$ ， $f (x_{0}) = 0$ ，若 $p$ 为假命题，则实数 $a$ 的取值范围是（）

A、 $[- \frac{1}{2}, \frac{1}{2}]$ B、 $(- \frac{1}{2}, \frac{1}{2})$ C、 $(- \infty, - \frac{1}{2}) \cup^{} (\frac{1}{2}, + \infty)$ D、 $(- \infty, - \frac{1}{2}] \cup^{} [\frac{1}{2}, + \infty)$

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4. 已知抛物线 $y^{2} = 8 x$ 的焦点为 $F$ ，点 $P$ 在该抛物线上，且 $P$ 在 $y$ 轴上的投影为点 $E$ ，则 $| P F | - | P E |$ 的值为（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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5. 一个组合体的三视图如图所示（图中网格小正方形的边长为1），则该几何体的体积是（）

A、 $2 π - \frac{1}{2}$ B、 $2 π - 1$ C、 $2 π - 2$ D、 $2 π - 4$

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6. 已知函数 $f (x) = A sin (ω x + φ)$ （ $A > 0$ ， $ω > 0$ ， $| φ | < \frac{π}{2}$ ）的部分图像如图所示，若将 $f (x)$ 图像上的所有点向左平移 $\frac{π}{4}$ 个单位得到函数 $g (x)$ 的图像，则函数 $g (x)$ 的单调递增区间是（）

A、 $[k π - \frac{7 π}{12} ， k π - \frac{π}{12}] (k \in Z)$ B、 $[k π - \frac{π}{12} ， k π + \frac{5 π}{12}] (k \in Z)$ C、 $[k π - \frac{5 π}{24} ， k π + \frac{7 π}{24}] (k \in Z)$ D、 $[k π - \frac{11 π}{24} ， k π + \frac{π}{24}] (k \in Z)$

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7. 已知 ${log}_{x} 3 = 3$ ， ${log}_{y} 7 = 6$ ， $z = 7^{\frac{1}{7}}$ ，则实数 $x, y, z$ 的大小关系是（）

A、 $x < z < y$ B、 $z < x < y$ C、 $x < y < z$ D、 $z < y < x$

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8. 唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河.”诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在区域为 $x^{2} + y^{2} \leq 1$ ，若将军从点 $A (2 ， 0)$ 处出发，河岸线所在直线方程为 $x + y = 3$ ，并假定将军只要到达军营所在区域即回到军营，则“将军饮马”的最短总路程为（）

A、 $\sqrt{10} - 1$ B、 $2 \sqrt{2} - 1$ C、 $2 \sqrt{2}$ D、 $\sqrt{10}$

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9. 已知 $Δ A B C$ 中， $A B = 2$ ， $B = \frac{π}{4}$ ， $C = \frac{π}{6}$ ，点 $P$ 是边 $B C$ 的中点，则 $\overset{⇀}{A P} \cdot \overset{⇀}{B C}$ 等于（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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10. 已知双曲线 $E$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 焦距为 $2 c$ ，圆 $C_{1}$ ： ${(x - c)}^{2} + y^{2} = r^{2} (r > 0)$ 与圆 $C_{2}$ ： $x^{2} + {(y - m)}^{2} = 4 r^{2} (m \in R)$ 外切，且 $E$ 的两条渐近线恰为两圆的公切线，则 $E$ 的离心率为（）

A、 $\sqrt{2}$ B、 $\sqrt{5}$ C、 $\frac{\sqrt{6}}{2}$ D、 $\frac{3}{2}$

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11. 已知 $f (x)$ 是定义在 $R$ 上的函数，且对任意的 $x \in R$ 都有 $f (x) + f (- x) = 2 cos x$ ， $f^{'} (x) + sin x < 0$ ，若角 $α$ 满足不等式 $f (π + α) + f (α) \geq 0$ ，则 $α$ 的取值范围是（）

A、 $(- \infty ， - \frac{π}{2}]$ B、 $(- \infty ， π]$ C、 $[- \frac{π}{2} ， \frac{π}{2}]$ D、 $[0 ， \frac{π}{2}]$

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12. 平行六面体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的底面是边长为4的菱形，且 $∠ B A D = 60^{°}$ ，点 $A_{1}$ 在底面的投影 $O$ 是 $A C$ 的中点，且 $A_{1} O = 4$ ，点 $C$ 关于平面 $C_{1} B D$ 的对称点为 $P$ ，则三棱锥 $P - A B D$ 的体积是（）

A、4 B、 $3 \sqrt{3}$ C、 $4 \sqrt{3}$ D、8

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二、填空题

13. 已知 ${(x^{2} - 2)}^{6} = a_{0} + a_{1} x + a_{2} x^{2} + \dots + a_{12} x^{12}$ ，则 $a_{3} + a_{4}$ 等于．

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14. 已知实数 $x ， y$ 满足 ${\begin{matrix} | x | - y \leq 0 \\ x - 2 y + 2 \geq 0 \end{matrix}$ ，则 $z = - 2 x + y$ 的最小值是．

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15. 已知 $sin (\frac{α}{2} - \frac{π}{4}) cos (\frac{α}{2} + \frac{π}{4}) = - \frac{3}{4}$ ，则 $sin α =$ ．

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16. 江先生朝九晚五上班，上班通常乘坐公交加步行或乘坐地铁加步行.江先生从家到公交站或地铁站都要步行5分钟.公交车多且路程近一些，但乘坐公交路上经常拥堵，所需时间（单位：分钟）服从正态分布 $N (33, 4^{2})$ ，下车后从公交站步行到单位要12分钟；乘坐地铁畅通，但路线长且乘客多，所需时间（单位：分钟）服从正态分布 $N (44, 2^{2})$ ，下地铁后从地铁站步行到单位要5分钟.下列说法：①若8：00出门，则乘坐公交不会迟到；②若8：02出门，则乘坐地铁上班不迟到的可能性更大；③若8：06出门，则乘坐公交上班不迟到的可能性更大；④若8：12出门，则乘坐地铁几乎不可能上班不迟到.从统计的角度认为以上说法中所有合理的序号是．
参考数据：若 $Z ~ N (μ, σ^{2})$ ，则 $P (μ - σ < Z < μ + σ) = 0.6826$ ， $P (μ - 2 σ < Z < μ + 2 σ) = 0.9544$ ， $P (μ - 3 σ < Z < μ + 3 σ) = 0.9974$ .

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三、解答题

17. 已知数列 ${a_{n}}$ 是公差不为零的等差数列， $a_{1} = 1$ ，且存在实数 $λ$ 满足 $2 a_{n + 1} = λ a_{n} + 4$ ， $n \in N_{+}$ .

(1)、求 $λ$ 的值及通项 $a_{n}$ ；

(2)、求数列 ${a_{2^{n} - n}}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n}$ .

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18. 如图，矩形 $A B C D$ 中， $A B = 3$ ， $B C = 1$ ， $E$ 、 $F$ 是边 $D C$ 的三等分点.现将 $Δ D A E$ 、 $Δ C B F$ 分别沿 $A E$ 、 $B F$ 折起，使得平面 $D A E$ 、平面 $C B F$ 均与平面 $A B F E$ 垂直.

(1)、若 $G$ 为线段 $A B$ 上一点，且 $A G = 1$ ，求证： $D G / /$ 平面 $C B F$ ；

(2)、求二面角 $A - C F - B$ 的正弦值.

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19. 已知椭圆 $C$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ ，点 $M$ 在 $C$ 的长轴上运动，过点 $M$ 且斜率大于0的直线 $l$ 与 $C$ 交于 $P, Q$ 两点，与 $y$ 轴交于 $N$ 点.当 $M$ 为 $C$ 的右焦点且 $l$ 的倾斜角为 $\frac{π}{6}$ 时， $N, P$ 重合， $| P M | = 2$ .

(1)、求椭圆 $C$ 的方程；

(2)、当 $N, P, Q, M$ 均不重合时，记 $\overset{⇀}{N P} = λ \overset{⇀}{N Q}$ ， $\overset{⇀}{M P} = μ \overset{⇀}{M Q}$ ，若 $λ μ = 1$ ，求证：直线 $l$ 的斜率为定值.

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20. 某品牌餐饮公司准备在10个规模相当的地区开设加盟店，为合理安排各地区加盟店的个数，先在其中5个地区试点，得到试点地区加盟店个数分别为1，2，3，4，5时，单店日平均营业额

y

（万元）的数据如下：

加盟店个数 $x$ （个）	1	2	3	4	5
单店日平均营业额 $y$ （万元）	10.9	10.2	9	7.8	7.1

（参考数据及公式： $\sum_{i = 1}^{5} x_{i} y_{i} = 125$ ， $\sum_{i = 1}^{5} x_{i}^{2} = 55$ ，线性回归方程 $\hat{y} = b x + a$ ，其中 $b = \frac{\sum_{i = 1}^{n} x_{i} y_{i} - n \bar{x y}}{\sum_{i = 1}^{n} x_{i}^{2} - n {\bar{x}}^{2}}$ ， $a = \bar{y} - b \bar{x}$ .）

(1)、求单店日平均营业额

y

（万元）与所在地区加盟店个数

x

（个）的线性回归方程；

(2)、该公司根据回归方程，决定在其他5个地区中，开设加盟店个数为5，6，7的地区数分别是2，1，2.小赵与小王都准备加入该公司的加盟店，但根据公司规定，他们只能分别从这5个地区的30个加盟店中随机抽取一个加入.记事件

A

：小赵与小王抽取到的加盟店在同一个地区，事件

B

：小赵与小王抽取到的加盟店预计日平均营业额之和不低于12万元，求在事件

A

发生的前提下事件

B

发生的概率.

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21. 已知在平面直角坐标系 $x O y$ 中，直线 $l$ 的参数方程为 ${\begin{matrix} x = \frac{1}{2} t \\ y = \frac{\sqrt{3}}{2} t \end{matrix}$ （ $t$ 为参数），以坐标原点为极点， $x$ 轴非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线 $C$ 的极坐标方程为 $ρ^{2} - 2 ρ cos θ - 2 = 0$ ，点 $P$ 的极坐标是 $(\frac{2 \sqrt{15}}{3}, \frac{2 π}{3})$ .

(1)、求直线 $l$ 的极坐标方程及点 $P$ 到直线 $l$ 的距离；

(2)、若直线 $l$ 与曲线 $C$ 交于 $M, N$ 两点，求 $Δ P M N$ 的面积.

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22. 已知 $a, b$ 为正实数，函数 $f (x) = | x - a | - | x + 2 b |$ .

(1)、求函数 $f (x)$ 的最大值；

(2)、若函数 $f (x)$ 的最大值为1，求 $a^{2} + 4 b^{2}$ 的最小值.

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