2016-2017学年湖南省五市十校联考高一下学期期中数学试卷

试卷更新日期：2017-06-22 类型：期中考试

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一、选择题．（本题共12个小题）

1. sin330°的值为（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、﹣ $\frac{1}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ D、﹣ $\frac{\sqrt{3}}{2}$

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2. 在1000个有机会中奖的号码（编号为000～999）中，按照随机抽取的方法确定后两位数为88的号码为中奖号码，该抽样运用的抽样方法是（）

A、简单随机抽样 B、系统抽样 C、分层抽样 D、抽签法

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3. 已知sin110°=a，则cos20°等于（）

A、 $\sqrt{1 - a^{2}}$ B、﹣ $\sqrt{1 - a^{2}}$ C、﹣a D、a

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4. 若l、m、n是互不相同的空间直线，α、β是不重合的平面，则下列命题中为真命题的是（）

A、若α∥β，l⊂α，n⊂β，则l∥n B、若α⊥β，l⊂α，则l⊥β C、若l⊥n，m⊥n，则l∥m D、若l⊥α，l∥β，则α⊥β

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5. 设f（x）= ${\begin{cases} 2 e^{x - 1}, x < 2 \\ \log_{3} (x^{2} - 1), x \geq 2 \end{cases}$ ，则f（f（2））的值为（）

A、0 B、1 C、2 D、3

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6. 已知a= $\sqrt{0.3}$ ， b=2^0.3 ， c=0.3^0.2 ，则a，b，c三者的大小关系是（　　）

A、b＞c＞a B、b＞a＞c C、a＞b＞c D、c＞b＞a

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7. 如图，在正方体ABCD﹣A₁B₁C₁D₁中，E，F，G，H分别为AA₁ ， AB，BB₁ ， B₁C₁的中点，则异面直线EF与GH所成的角等于（）

A、45° B、60° C、90° D、120°

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8. 下图是把二进制的数11111_（₂_）化成十进制数的﹣个程序框图，则判断框内应填入的条件是（）

A、i≤4 B、i≤5 C、i＞4 D、i＞5

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9. 上面图给出的是计算1+2+4+…+2²⁰¹⁷的值的一个程序框图，则其中判断框内应填入的是（）

A、i=2017？ B、i≥2017？ C、i≥2018？ D、i≤2018？

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10. 在长为12cm的线段AB上任取一点C．现作一矩形，邻边长分别等于线段AC，CB的长，则该矩形面积大于20cm²的概率为（）

A、 $\frac{1}{6}$ B、 $\frac{1}{3}$ C、 $\frac{2}{3}$ D、 $\frac{4}{5}$

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11. 将函数y=sinx的图象经过下列哪种变换可以得到函数y=cos2x的图象（）

A、先向左平移 $\frac{π}{2}$ 个单位，然后再沿x轴将横坐标压缩到原来的 $\frac{1}{2}$ 倍（纵坐标不变） B、先向左平移 $\frac{π}{2}$ 个单位，然后再沿x轴将横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变） C、先向左平移 $\frac{π}{4}$ 个单位，然后再沿x轴将横坐标压缩到原来的 $\frac{1}{2}$ 倍（纵坐标不变） D、先向左平移 $\frac{π}{4}$ 个单位，然后再沿x轴将横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）

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12. 在三棱锥的六条棱中任意选择两条，则这两条棱是一对异面直线的概率为（）

A、 $\frac{1}{20}$ B、 $\frac{1}{15}$ C、 $\frac{1}{5}$ D、 $\frac{1}{6}$

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二、填空题．

13. 187，253的最大公约数是．

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14. 若sin（α﹣ $\frac{π}{3}$ ）= $\frac{4}{5}$ ，则cos（α+ $\frac{π}{6}$ ）= ．

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15. 某服装商场为了了解毛衣的月销售量y（件）与月平均气温x（℃）之间的关系，随机统计了某4个月的月销售量与当月平均气温，其数据如下表：
月平均气温x（℃）
17
13
8
2
月销售量y（件）
24
33
40
55
由表中数据算出线性回归方程 $\hat{y} = b x + a$ 中的b≈﹣2．气象部门预测下个月的平均气温约为6℃，据此估计，该商场下个月毛衣的销售量约为件．
（参考公式：b= $\frac{\sum_{i = 1}^{n} x_{i} y_{i} - n \bar{x} \bar{y}}{\sum_{i = 1}^{n} x_{i}^{2} - n {\bar{x}}^{2}}$ $， a = \bar{y} - b \bar{x}$ ）

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16. 为了了解学生遵守《中华人民共和国交通安全法》的情况，调查部门在某学校进行了如下的随机调查：向被调查者提出两个问题：（1）你的学号是奇数吗？（2）在过路口的时候你是否闯过红灯？要求被调查者背对调查人抛掷一枚硬币，如果出现正面，就回答第（1）个问题；否则就回答第（2）个问题．被调查者不必告诉调查人员自己回答的是哪一个问题，只需要回答“是”或“不是”，因为只有被调查本人知道回答了哪个问题，所以都如实做了回答．如果被调查的600人（学号从1到600）中有180人回答了“是”，由此可以估计在这600人中闯过红灯的人数是．

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三、解答题．

17. 已知3sinα﹣2cosα=0，求下列式子的值：

(1)、 $\frac{\cos α - \sin α}{\cos α + \sin α}$ + $\frac{\cos α + \sin α}{\cos α - \sin α}$ ；

(2)、sin²α﹣2sinαcosα+4cos²α．

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18. 某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销，得到如下数据：
单价x（元）
8
8.2
8.4
8.6
8.8
9
销量y（件）
90
84
83
80
75
68

(1)、求回归直线方程 $\hat{y}$ = $\hat{b}$ x+ $\hat{a}$ ，其中 $\hat{b}$ =﹣20， $\hat{a}$ = $\bar{y}$ ﹣ $\hat{b}$ $\bar{x}$

(2)、预计在今后的销售中，销量与单价仍然服从（1）中的关系，且该产品的成本是4元/件，为使工厂获得最大利润，该产品的单价应定为多少元？（利润=销售收入﹣成本）

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19. 直线l经过两点（2，1），（6，3）．

(1)、求直线l的方程；

(2)、圆C的圆心在直线l上，并且与x轴相切于（2，0）点，求圆C的方程．

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20. 已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜ $\frac{π}{2}$ ）的部分图象如图．

(1)、求f（x）的解析式；

(2)、将函数y=f（x）的图象上所有点的纵坐标不变，横坐标缩短为原来的 $\frac{1}{2}$ 倍，再将所得函数图象向右平移 $\frac{π}{6}$ 个单位，得到函数y=g（x）的图象，求g（x）的单调递增区间．

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21. 高一（1）班参加校生物竞赛学生成绩的茎叶图和频率分布直方图都受到不同程度的破坏，但可见部分如图，据此解答如下问题：

(1)、求高一（1）班参加校生物竞赛人数及分数在[80，90）之间的频数，并计算频率分布直方图中[80，90）间的矩形的高；

(2)、若要从分数在[80，100]之间的学生中任选两人进行某项研究，求至少有一人分数在[90，100]之间的概率．

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22. 已知函数f（x）= ${\begin{cases} \frac{1}{x} - 1 ， 0 < x < 1 \\ 1 - \frac{1}{x} ， x \geq 1 \end{cases}$ ．

(1)、判断函数f（x）在区间（0，1）和[1，+∞）上的单调性（不必证明）；

(2)、当0＜a＜b，且f（a）=f（b）时，求 $\frac{1}{a} + \frac{1}{b}$ 的值；

(3)、若存在实数a，b（1＜a＜b）使得x∈[a，b]时，f（x）的取值范围是[ma，mb]（m≠0），求实数m的取值范围．

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月平均气温x（℃）	17	13	8	2
月销售量y（件）	24	33	40	55

单价x（元）	8	8.2	8.4	8.6	8.8	9
销量y（件）	90	84	83	80	75	68