2016-2017学年湖北省宜昌市部分示范高中教学协作体高一下学期期中数学试卷

试卷更新日期：2017-06-22 类型：期中考试

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一、选择题

1. 若数列{a_n}的通项公式为a_n=2n+5，则此数列是（　　）

A、公差为2的等差数列 B、公差为5的等差数列 C、首项为5的等差数列 D、公差为n的等差数列

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2. △ABC中，a=1，b= $\sqrt{3}$ ， A=30°，则B等于（　　）

A、60° B、60°或120° C、30°或150° D、120°

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3. 2005是数列7，13，19，25，31，…，中的第（）项．

A、332 B、333 C、334 D、335

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4. 已知向量 $\vec{a} = (2 ， m)$ ， $\vec{b} = (m ， 2)$ ，若 $\vec{a} ∥ \vec{b}$ ，则实数m等于（）

A、﹣2 B、2 C、﹣2或2 D、0

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5. cos（﹣ $\frac{17}{4}$ π）﹣sin（﹣ $\frac{17 π}{4}$ ）的值是（）

A、 $\sqrt{2}$ B、﹣ $\sqrt{2}$ C、0 D、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$

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6. 已知 $| a | = 1$ ， $| b | = 2$ ， $a (a - b) = 3$ 则 $a$ 与 $b$ 的夹角为（）

A、 $\frac{π}{3}$ B、 $\frac{π}{6}$ C、 $\frac{π}{2}$ D、π

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7. 已知数列{a_n}中，a₁=1，a₂=3，a_n=a_n_﹣₁+ $\frac{1}{a_{n - 2}}$ （n≥3），则a₅等于（）

A、 $\frac{55}{12}$ B、 $\frac{13}{3}$ C、4 D、5

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8. 如果等差数列{a_n}中，a₅+a₆+a₇=15，那么a₃+a₄+…+a₉等于（）

A、21 B、30 C、35 D、40

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9. 函数f（x）=sin（ $\frac{π}{4}$ +x）sin（ $\frac{π}{4}$ ﹣x）是（）

A、周期为2π的奇函数 B、周期为2π的偶函数 C、周期为π的奇函数 D、周期为π的偶函数

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10. 下列函数中，图象的一部分如图所示的是（）

A、 $y = \sin (x + \frac{π}{6})$ B、 $y = \sin (2 x - \frac{π}{6})$ C、 $y = \cos (4 x - \frac{π}{3})$ D、 $y = \cos (2 x - \frac{π}{6})$

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11. （1+tan21°）（1+tan22°）（1+tan23°）（1+tan24°）的值是（）

A、16 B、8 C、4 D、2

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12. 已知P为△ABC内一点，且满足 $\vec{P A} + 2 \vec{P B} + 3 \vec{P C} = \vec{0}$ ，记△ABP，△BCP，△ACP的面积依次为S₁ ， S₂ ， S₃ ，则S₁：S₂：S₃等于（）

A、1：2：3 B、1：4：9 C、2：3：1 D、3：1：2

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二、填空题．

13. 已知向量 $\vec{a} 、 \vec{b}$ 满足 $| \vec{a} | = 1$ ， $| \vec{b} | = 2$ ， $\vec{a} \cdot \vec{b} = - \sqrt{3}$ ，则 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为．

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14. 已知 $\sin θ + \cos θ = \frac{1}{5}$ ，且 $\frac{π}{2}$ ≤θ≤ $\frac{3 π}{4}$ ，则cos2θ的值是．

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15. 化简：2 $\sqrt{1 + \sin 4}$ + $\sqrt{2 + 2 \cos 4}$ 的结果是．

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16. △ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若cosA= $\frac{4}{5}$ ，cosC= $\frac{5}{13}$ ，a=1，则b= ．

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三、解答题．

17. 已知向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 的夹角为120°，| $\vec{a}$ |=1，| $\vec{b}$ |=5．

(1)、求 $\vec{a}$ • $\vec{b}$ ；

(2)、求|3 $\vec{a}$ ﹣ $\vec{b}$ |．

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18. 已知函数f（x）=2sinxcosx+2 $\sqrt{3} \cos^{2}$ x．

(1)、求函数f（x）的最小正周期；

(2)、当 $x \in [- \frac{π}{3} ， \frac{π}{3}]$ 时，求函数f（x）的最大值和最小值．

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19. 如图所示，我艇在A处发现一走私船在方位角45°且距离为12海里的B处正以每小时10海里的速度向方位角105°的方向逃窜，我艇立即以14海里/小时的速度追击，求我艇追上走私船所需要的最短时间．

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20. 已知a，b，c分别是△ABC的三个内角A，B，C所对的边，且满足（2b﹣a）•cosC=c•cosA．
（Ⅰ）求角C的大小；
（Ⅱ）设y=﹣4 $\sqrt{3}$ sin² $\frac{A}{2}$ +2sin（C﹣B），求y的最大值并判断当y取得最大值时△ABC的形状．

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21. 已知 $\vec{a}$ =（2cosx，sinx﹣cosx）， $\vec{b}$ =（ $\sqrt{3}$ sinx，sinx+cosx），记函数f（x）= $\vec{a}$ • $\vec{b}$ ．
（Ⅰ）求f（x）的表达式，以及f（x）取最大值时x的取值集合；
（Ⅱ）设△ABC三内角A，B，C的对应边分别为a，b，c，若a+b=2 $\sqrt{3}$ ，c= $\sqrt{6}$ ，f（C）=2，求△ABC的面积．

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22. 已知△ABC中，AB=2，AC=1，∠BAC=120°，AD为角平分线．

(1)、求AD的长度；

(2)、过点D作直线交AB，AC于不同两点E、F，且满足 $\vec{A E}$ =x $\vec{A B}$ ， $\vec{A F}$ =y $\vec{A C}$ ，求证： $\frac{1}{x}$ + $\frac{2}{y}$ =3．

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