辽宁省大连市2019年中考数学试卷

试卷更新日期：2019-08-14 类型：中考真卷

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一、单选题

1. ﹣2的绝对值是（）

A、2 B、 $\frac{1}{2}$ C、 $- \frac{1}{2}$ D、 $- 2$

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2. 如图是一个由4个相同的正方体组成的立体图形，它的主视图是（）

A、 B、 C、 D、

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3. 2019年6月5日，长征十一号运载火箭成功完成了”一箭七星”海上发射技术试验，该火箭重58000kg，将数58000用科学记数法表示为（）

A、 $58 \times 10^{3}$ B、 $5.8 \times 10^{3}$ C、 $0.58 \times 10^{5}$ D、 $5.8 \times 10^{4}$

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4. 在平面直角坐标系中，将点 $P (3 ， 1)$ 向下平移2个单位长度，得到的点 $P^{'}$ 的坐标为（）

A、 $(3 ， - 1)$ B、 $(3 ， 3)$ C、 $(1 ， 1)$ D、 $(5 ， 1)$

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5. 不等式 $5 x + 1 \geq 3 x - 1$ 的解集在数轴上表示正确的是（）

A、 B、 C、 D、

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6. 下列所述图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）

A、等腰三角形 B、等边三角形 C、菱形 D、平行四边形

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7. 计算 ${(- 2 a)}^{3}$ 的结果是（）

A、 $- 8 a^{3}$ B、 $- 6 a^{3}$ C、 $6 a^{3}$ D、 $8 a^{3}$

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8. 不透明袋子中装有红、绿小球各一个，除颜色外无其他差别，随机摸出一个小球后，放回并摇匀，再随机摸出一个，两次都摸到红球的概率为（）

A、 $\frac{2}{3}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $\frac{1}{3}$ D、 $\frac{1}{4}$

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9. 如图，将矩形纸片ABCD折叠，使点C与点A重合，折痕为EF，若AB=4，BC=8.则D′F的长为（）

A、2 $\sqrt{5}$ B、4 C、3 D、2

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二、填空题

10. 如图，抛物线 $y = - \frac{1}{4} x^{2} + \frac{1}{2} x + 2$ 与x轴相交于 $A ， B$ 两点，与 $y$ 轴相交于点 $C$ ，点 $D$ 在抛物线上，且 $C D / / A B$ . $A D$ 与 $y$ 轴相交于点 $E$ ，过点 $E$ 的直线 $P Q$ 平行于 $x$ 轴，与拋物线相交于 $P ， Q$ 两点，则线段 $P Q$ 的长为.

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11. 如图 $A B / / C D$ ， $C B / / D E$ ， $∠ B = 50^{\circ}$ ，则 $∠ D =$ °.

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12. 某男子足球队队员的年龄分布如图所示，这些队员年齡的众数是.

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13. 如图， $Δ A B C$ 是等边三角形，延长 $B C$ 到点 $D$ ，使 $C D = A C$ ，连接 $A D$ .若 $A B = 2$ ，则 $A D$ 的长为.

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14. 我国古代数学著作《九章算术》中记载：“今有大器五小器一容三斛，大器一小器五容二斛.问大小器各容几何.”其大意为：有大小两种盛酒的桶，已知5个大桶加上1个小桶可以盛酒3斛（斛，音hu ，是古代的一种容量单位）.1个大桶加上5个小桶可以盛酒2斛，问1个大桶、一个小桶分别可以盛酒多少斛？若设1个大桶可以盛酒x斛，1个小桶可以盛酒y斛，根据题意，可列方程组为.

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15. 如图，建筑物 $C$ 上有一杆 $A B$ .从与 $B C$ 相距10 $m$ 的 $D$ 处观测旗杆顶部 $A$ 的仰角为 $53^{\circ}$ ，观测旗杆底部 $B$ 的仰角为 $45^{\circ}$ ，则旗杆 $A B$ 的高度约为 $m$ （结果取整数，参考数据： $\sin 53^{\circ} \approx 0.80$ ， $\cos 53^{\circ} \approx 0.60$ ， $\tan 53^{\circ} \approx 1.33$ ）.

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16. 甲、乙两人沿同一条直路走步，如果两人分别从这条路上的 $A ， B$ 两处同时出发，都以不变的速度相向而行，图1是甲离开 $A$ 处后行走的路程 $y$ （单位： $m$ ）与行走时 $x$ （单位： $\min$ ）的函数图象，图2是甲、乙两人之间的距离（单位： $m$ ）与甲行走时间x（单位： $\min$ ）的函数图象，则 $a - b =$ .

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三、解答题

17. 计算： ${(\sqrt{3} - 2)}^{2} + \sqrt{12} + 6 \sqrt{\frac{1}{3}}$

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18. 计算： $\frac{2}{a - 1} \div \frac{2 a - 4}{a^{2} - 1} + \frac{1}{2 - a}$

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19. 如图，点 $E$ ， $F$ 在 $B C$ 上， $B E = C F$ ， $A B = D C$ ， $∠ B = ∠ C$ ，求证： $A F = D E$ .

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20. 某校为了解八年级男生“立定跳远”成绩的情况，随机选取该年级部分男生进行测试，以下是根据测试成绩绘制的统计图表的一部分.

成绩等级	频数（人）	频率
优秀	15	0.3
良好
及格
不及格	5

根据以上信息，解答下列问题

(1)、被测试男生中，成绩等级为“优秀”的男生人数为人，成绩等级为“及格”的男生人数占被测试男生总人数的百分比为%；

(2)、被测试男生的总人数为人，成绩等级为“不及格”的男生人数占被测试男生总人数的百分比为%；

(3)、若该校八年级共有180名男生，根据调查结果，估计该校八年级男生成绩等级为“良好”的学生人数.

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21. 某村2016年的人均收入为20000元，2018年的人均收入为24200元

(1)、求2016年到2018年该村人均收入的年平均增长率；

(2)、假设2019年该村人均收入的增长率与前两年的年平均增长率相同，请你预测2019年该村的人均收入是多少元？

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22. 如图，在平面直角坐标系 $x O y$ 中，点 $A (3 ， 2)$ 在反比例函数 $y = \frac{k}{x} (x > 0)$ 的图象上，点 $B$ 在 $O A$ 的延长线上， $B C ⊥ x$ 轴，垂足为 $C$ ， $B C$ 与反比例函数的图象相交于点 $D$ ，连接 $A C$ ， $A D$ .

(1)、求该反比例函数的解析式；

(2)、若 $S_{Δ A C D} = \frac{3}{2}$ ，设点 $C$ 的坐标为 $(a ， 0)$ ，求线段 $B D$ 的长.

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23. 如图1，四边形 $A B C D$ 内接于圆 $O$ ， $A C$ 是圆 $O$ 的直径，过点 $A$ 的切线与 $C D$ 的延长线相交于点 $P$ .且 $∠ A P C = ∠ B C P$

(1)、求证： $∠ B A C = 2 ∠ A C D$ ；

(2)、过图1中的点 $D$ 作 $D E ⊥ A C$ ，垂足为 $E$ （如图2），当 $B C = 6$ ， $A E = 2$ 时，求圆 $O$ 的半径.

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24. 如图，在平面直角坐标系 $x O y$ 中，直线 $y = - \frac{3}{4} x + 3$ 与 $x$ 轴， $y$ 轴分别相交于点 $A ， B$ ，点 $C$ 在射线 $B O$ 上，点 $D$ 在射线 $B A$ 上，且 $B D = \frac{5}{3} O C$ ，以 $C O ， C D$ 为邻边作平行四边形 $C O E D$ .设点 $C$ 的坐标为 $(0 ， m)$ ，平行四边形 $C O E D$ 在 $x$ 轴下方部分的面积为 $S$ .求：

(1)、线段 $A B$ 的长；

(2)、 $S$ 关于 $m$ 的函数解析式，并直接写出自变量 $m$ 的取值范围.

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25. 阅读下面材料，完成（1）﹣（3）题
数学课上，老师出示了这样一道题：如图1， $Δ A B C$ 中， $∠ B A C = 90^{\circ}$ ，点 $D ， E$ 在 $B C$ 上， $A D = A B$ ， $A B = k B D$ （其中 $\frac{\sqrt{2}}{2} < k < 1$ ） $∠ A B C = ∠ A C B + ∠ B A E$ ， $∠ E A C$ 的平分线与 $B C$ 相交于点 $F$ ， $B G ⊥ A F$ 垂足为 $G$ ，探究线段 $B G$ 与 $A C$ 的数量关系，并证明.同学们经过思考后，交流了自己的想法：

小明：“通过观察和度量，发现 $∠ B A E$ 与 $∠ D A C$ 相等.”

小伟：“通过构造全等三角形，经过进一步推理，可以得到线段 $B G$ 与 $A C$ 的数量关系.”

……

老师：“保留原题条件，延长图1中的 $B G$ ，与 $A C$ 相交于点 $H$ （如图2），可以求出 $\frac{A H}{H C}$ 的值.”

(1)、求证： $∠ B A E = ∠ D A C$ ；

(2)、探究线段 $B G$ 与 $A C$ 的数量关系（用含 $k$ 的代数式表示），并证明；

(3)、直接写出 $\frac{A H}{H C}$ 的值（用含 $k$ 的代数式表示）.

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26. 把函数 $C_{1} ： y = a x^{2} - 2 a x - 3 a (a \neq 0)$ 的图象绕点 $P (m ， 0)$ 旋转 $180^{\circ}$ ，得到新函数 $C_{2}$ 的图象，我们称 $C_{2}$ 是 $C_{1}$ 关于点 $P$ 的相关函数. $C_{2}$ 的图象的对称轴与 $x$ 轴交点坐标为 $(t ， 0)$ .

(1)、填空： $t$ 的值为（用含 $m$ 的代数式表示）

(2)、若 $a = - 1$ ，当 $\frac{1}{2} \leq x \leq t$ 时，函数 $C_{1}$ 的最大值为 $y_{1}$ ，最小值为 $y_{2}$ ，且 $y_{1} - y_{2} = 1$ ，求 $C_{2}$ 的解析式；

(3)、当 $m = 0$ 时， $C_{2}$ 的图象与 $x$ 轴相交于 $A ， B$ 两点（点 $A$ 在点 $B$ 的右侧）.与 $y$ 轴相交于点 $D$ .把线段 $A D$ 原点 $O$ 逆时针旋转 $90^{\circ}$ ，得到它的对应线段 $A^{'} D^{'}$ ，若线 $A^{'} D^{'}$ 与 $C_{2}$ 的图象有公共点，结合函数图象，求 $a$ 的取值范围.

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