辽宁省本溪市2019年中考数学试卷

试卷更新日期：2019-08-14 类型：中考真卷

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一、单选题

1. 下列各数是正数的是（）

A、 $0$ B、 $5$ C、 $- \frac{1}{2}$ D、 $- \sqrt{2}$

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2. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）

A、 B、 C、 D、

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3. 下列计算正确的是（）

A、 $x^{7} \div x ＝ x^{7}$ B、 ${(- 3 x^{2})}^{2} = - 9 x^{4}$ C、 $x^{3} • x^{3} ＝ 2 x^{6}$ D、 $（ x^{3} ）^{2} ＝ x^{6}$

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4. 2019年6月8日，全国铁路发送旅客约 $9560000$ 次，将数据 $9560000$ 科学记数法表示为（）

A、 $9.56 \times 10^{6}$ B、 $95.6 \times 10^{5}$ C、 $0.956 \times 10^{7}$ D、 $956 \times 10^{4}$

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5. 下表是我市七个县（区）今年某日最高气温（℃）的统计结果：
县（区）
平山区
明山区
溪湖区
南芬区
高新区
本溪县
桓仁县
气温（℃）
26
26
25
25
25
23
22
则该日最高气温（℃）的众数和中位数分别是（）

A、 $25, 25$ B、 $25, 26$ C、 $25, 23$ D、 $24, 25$

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6. 不等式组 ${\begin{array}{l} x - 3 > 0 \\ 2 x - 8 \leq 0 \end{array}$ 的解集是（）

A、 $x > 3$ B、 $x \leq 4$ C、 $x < 3$ D、 $3 < x \leq 4$

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7. 如图所示，该几何体的左视图是（）

A、 B、 C、 D、

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8. 下列事件属于必然事件的是（）

A、打开电视，正在播出系列专题片“航拍中国” B、若原命题成立，则它的逆命题一定成立 C、一组数据的方差越小，则这组数据的波动越小 D、在数轴上任取一点，则该点表示的数一定是有理数

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9. 为推进垃圾分类，推动绿色发展.某化工厂要购进甲、乙两种型号机器人用来进行垃圾分类.用 $360$ 万元购买甲型机器人和用 $480$ 万元购买乙型机器人的台数相同，两型号机器人的单价和为 $140$ 万元.若设甲型机器人每台 $x$ 万元，根据题意，所列方程正确的是（）

A、 $\frac{360}{x} = \frac{480}{140 - x}$ B、 $\frac{360}{140 - x} = \frac{480}{x}$ C、 $\frac{360}{x} + \frac{480}{x} = 140$ D、 $\frac{360}{x} - 140 = \frac{480}{x}$

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10. 如图，点 $P$ 是以 $A B$ 为直径的半圆上的动点， $C A ⊥ A B ， P D ⊥ A C$ 于点 $D$ ，连接 $A P$ ，设 $A P ＝ x ， P A ﹣ P D ＝ y$ ，则下列函数图象能反映 $y$ 与 $x$ 之间关系的是（）

A、 B、 C、 D、

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二、填空题

11. 若式子 $\sqrt{x - 2}$ 在实数范围内有意义，则x的取值范围是．

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12. 函数 $y = 5 x$ 的图象经过的象限是.

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13. 如果关于x的一元二次方程x²﹣4x+k=0有实数根，那么k的取值范围是.

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14. 在平面直角坐标系中，点 $A, B$ 的坐标分别是 $A (4, 2), B (5, 0)$ ，以点 $O$ 为位似中心，相们比为 $\frac{1}{2}$ ，把 $△ A B O$ 缩小，得到 $△ A_{1} B_{1} O$ ，则点 $A$ 的对应点 $A_{1}$ 的坐标为.

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15. 如图， $B D$ 是矩形 $A B C D$ 的对角线，在 $B A$ 和 $B D$ 上分别截取 $B E ， B F$ ，使 $B E ＝ B F$ ；分别以 $E ， F$ 为圆心，以大于 $\frac{1}{2} E F$ 的长为半径作弧，两弧在 $∠ A B D$ 内交于点 $G$ ，作射线 $B G$ 交 $A D$ 于点 $P$ ，若 $A P = 3$ ，则点 $P$ 到 $B D$ 的距离为.

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16. 如图所示的点阵中，相邻的四个点构成正方形，小球只在点阵中的小正方形 $A B C D$ 内自由滚动时，则小球停留在阴影区域的概率为.

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17. 如图，在平面直角坐标系中，等边 $△ O A B$ 和菱形 $O C D E$ 的边 $O A ， O E$ 都在 $x$ 轴上，点 $C$ 在 $O B$ 边上， $S_{△ A B D} = \sqrt{3}$ ，反比例函数 $y = \frac{k}{x} (x > 0)$ 的图象经过点 $B$ ，则 $k$ 的值为.

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18. 如图，点 $B_{1}$ 在直线 $l ： y = \frac{1}{2} x$ 上，点 $B_{1}$ 的横坐标为 $2$ ，过 $B_{1}$ 作 $B_{1} A_{1} ⊥ l$ ，交 $x$ 轴于点 $A_{1}$ ，以 $A_{1} B_{1}$ 为边，向右作正方形 $A_{1} B_{1} B_{2} C_{1}$ ，延长 $B_{2} C_{1}$ 交 $x$ 轴于点 $A_{2}$ ；以 $A_{2} B_{2}$ 为边，向右作正方形 $A_{2} B_{2} B_{3} C_{2}$ ，延长 $B_{3} C_{2}$ 交 $x$ 轴于点 $A_{3}$ ；以 $A_{3} B_{3}$ 为边，向右作正方形 $A_{3} B_{3} B_{4} C_{3}$ 延长 $B_{4} C_{3}$ 交 $x$ 轴于点 $A_{4} ； \dots$ ；按照这个规律进行下去，点 $C_{n}$ 的横坐标为（结果用含正整数 $n$ 的代数式表示）

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三、解答题

19. 先化简，再求值 $(\frac{a^{2} - 4}{a^{2} - 4 a + 4} - \frac{1}{2 - a}) \div \frac{2}{a^{2} - 2 a}$ ，其中 $a$ 满足 $a^{2} + 3 a ﹣ 2 ＝ 0 ．$

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20. 某中学为了提高学生的综合素质，成立了以下社团： $A$ .机器人， $B$ .围棋， $C$ .羽毛球， $D$ .电影配音.每人只能加入一个社团.为了解学生参加社团的情况，从加社团的学生中随机抽取了部分学生进行调查，并将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图，其中图 $(1)$ 中 $A$ 所占扇形的圆心角为 $36^{°}$ .

根据以上信息，解答下列问题：

(1)、这次被调查的学生共有人；

(2)、请你将条形统计图补充完整；

(3)、若该校共有 $1000$ 学生加入了社团，请你估计这 $1000$ 名学生中有多少人参加了羽毛球社团；

(4)、在机器人社团活动中，由于甲、乙、丙、丁四人平时的表现优秀，现决定从这四人中任选两名参加机器人大赛.用树状图或列表法求恰好选中甲、乙两位同学的概率.

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21. 如图，在四边形 $A B C D$ 中， $A B / / C D ， A D ⊥ C D ， ∠ B ＝ 45 °$ ，延长 $C D$ 到点 $E$ ，使 $D E ＝ D A$ ，连接 $A E$ .

(1)、求证： $A E = B C$ ；

(2)、若 $A B ＝ 3 ， C D ＝ 1 ，$ 求四边形 $A B C E$ 的面积.

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22. 小李要外出参加“建国70周年”庆祝活动，需网购一个拉杆箱，图①，②分别是她上网时看到的某种型号拉杆箱的实物图与示意图，并获得了如下信息：滑杆 $D E$ ，箱长 $B C$ ，拉杆 $A B$ 的长度都相等， $B ， F$ 在 $A C$ 上， $C$ 在 $D E$ 上，支杆 $D F ＝ 30 c m ， C E ： C D ＝ 1 ： 3 ，$ $∠ D C F ＝ 45 ° ， ∠ C D F ＝ 30 °$ ，请根据以上信息，解决下列向题.

(1)、求 $A C$ 的长度（结果保留根号）；

(2)、求拉杆端点 $A$ 到水平滑杆 $E D$ 的距离（结果保留根号）.

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23. 一种火爆的网红电子产品，每件产品成本 $16$ 元、工厂将该产品进行网络批发，批发单价 $y$ （元）与一次性批发量 $x$ （件）（ $x$ 为正整数）之间满足如图所示的函数关系.

(1)、直接写出 $y$ 与 $x$ 之间所满足的函数关系式，并写出自变量 $x$ 的取值范围；

(2)、若一次性批发量不超过 $60$ 件，当批发量为多少件时，工厂获利最大？最大利润是多少？

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24. 如图，点 $P$ 为正方形 $A B C D$ 的对角线 $A C$ 上的一点，连接 $B P$ 并延长交 $C D$ 于点 $E$ ，交 $A D$ 的延长线于点 $F$ ， $⊙ O$ 是 $△ D E F$ 的外接圆，连接 $D P$ .

(1)、求证： $D P$ 是 $⊙ O$ 的切线；

(2)、若 $\tan ∠ P D C ＝ \frac{1}{2}$ ，正方形 $A B C D$ 的边长为 $4$ ，求 $⊙ O$ 的半径和线段 $O P$ 的长.

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25. 抛物线 $y = - \frac{2}{9} x^{2} + b x + c$ 与 $x$ 轴交于 $A （ - 1 ， 0 ）， B （ 5 ， 0 ）$ 两点，顶点为 $C$ ，对称轴交 $x$ 轴于点 $D$ ，点 $P$ 为抛物线对称轴 $C D$ 上的一动点（点 $P$ 不与 $C ， D$ 重合）.过点 $C$ 作直线 $P B$ 的垂线交 $P B$ 于点 $E$ ，交 $x$ 轴于点 $F$ .

(1)、求抛物线的解析式；

(2)、当 $△ P C F$ 的面积为 $5$ 时，求点 $P$ 的坐标；

(3)、当△PCF为等腰三角形时，请直接写出点 $P$ 的坐标.

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县（区）	平山区	明山区	溪湖区	南芬区	高新区	本溪县	桓仁县
气温（℃）	26	26	25	25	25	23	22