江苏省常州市2019年中考数学试卷

试卷更新日期：2019-08-14 类型：中考真卷

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一、单选题

1. $- 3$ 的相反数是（）

A、 $\frac{1}{3}$ B、 $- \frac{1}{3}$ C、 $3$ D、 $- 3$

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2. 若代数式 $\frac{x + 1}{x - 3}$ 有意义，则实数 $x$ 的取值范围是（）

A、 $x = - 1$ B、 $x = 3$ C、 $x \neq - 1$ D、 $x \neq 3$

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3. 如图是某几何体的三视图，该几何体是（）

A、圆柱 B、正方体 C、圆锥 D、球

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4. 如图，在线段 $P A$ 、 $P B$ 、 $P C$ 、 $P D$ 中，长度最小的是（）

A、线段 $P A$ B、线段 $P B$ C、线段 $P C$ D、线段 $P D$

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5. 若 $Δ A B C ～ Δ A^{'} B^{'} C^{'}$ ，相似比为 $1 ： 2$ ，则 $Δ A B C$ 与 $Δ A^{'} B^{'} C^{'}$ 的周长的比为（）

A、 $2 ： 1$ B、 $1 ： 2$ C、 $4 ： 1$ D、 $1 ： 4$

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6. 下列各数中与 $2 + \sqrt{3}$ 的积是有理数的是（）

A、 $2 + \sqrt{3}$ B、 $2$ C、 $\sqrt{3}$ D、 $2 - \sqrt{3}$

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7. 判断命题“如果n＜1，那么n²﹣1＜0”是假命题，只需举出一个反例.反例中的n可以为（）

A、﹣2 B、﹣ $\frac{1}{2}$ C、0 D、 $\frac{1}{2}$

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8. 随着时代的进步，人们对 $P M 2.5$ （空气中直径小于等于 $2.5$ 微米的颗粒）的关注日益密切.某市一天中 $P M 2.5$ 的值 $y_{1}$ （ $u g / m^{3}$ ）随时间 $t$ （ $h$ ）的变化如图所示，设 $y_{2}$ 表示 $0$ 时到 $t$ 时 $P M 2.5$ 的值的极差（即 $0$ 时到 $t$ 时 $P M 2.5$ 的最大值与最小值的差），则 $y_{2}$ 与 $t$ 的函数关系大致是（）

A、 B、 C、 D、

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二、填空题

9. 计算： $a^{3} \div a =$ .

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10. 4的算术平方根是， 9的平方根是， ﹣27的立方根是．

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11. 分解因式： $a x^{2} - 4 a =$ .

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12. 如果∠α＝35°，那么∠α的余角为.

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13. 如果 $a - b - 2 = 0$ ，那么代数式 $1 + 2 a - 2 b$ 的值是.

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14. 平面直角坐标系中，点 $P (- 3 ， 4)$ 到原点的距离是.

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15. 若 ${\begin{array}{l} x = 1 \\ y = 2 \end{array}$ ，是关于 $x$ 、 $y$ 的二元一次方程 $a x + y = 3$ 的解，则 $a =$ .

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16. 如图， $A B$ 是⊙ $O$ 的直径， $C$ 、 $D$ 是⊙ $O$ 上的两点， $∠ A O C = 120 °$ ，则 $∠ C D B =$ $°$ .

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17. 如图，半径为 $\sqrt{3}$ 的⊙ $O$ 与边长为 $8$ 的等边三角形 $A B C$ 的两边 $A B$ 、 $B C$ 都相切，连接 $O C$ ，则 $\tan ∠ O C B =$ .

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18. 如图，在矩形 $A B C D$ 中， $A D = 3 A B = 3 \sqrt{10}$ ，点 $P$ 是 $A D$ 的中点，点 $E$ 在 $B C$ 上， $C E = 2 B E$ ，点 $M$ 、 $N$ 在线段 $B D$ 上.若 $Δ P M N$ 是等腰三角形且底角与 $∠ D E C$ 相等，则 $M N =$ .

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三、解答题

19. 计算：

(1)、 $π^{0} + {(\frac{1}{2})}^{- 1} - {(\sqrt{3})}^{2}$

(2)、 $(x - 1) (x + 1) - x (x - 1)$ .

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20. 解不等式组 ${\begin{array}{l} x + 1 > 0 ， \\ 3 x - 8 \leq - x \end{array}$ 并把解集在数轴上表示出来.

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21. 如图，把平行四边形纸片 $A B C D$ 沿 $B D$ 折叠，点 $C$ 落在点 $C^{'}$ 处， $B C^{'}$ 与 $A D$ 相交于点 $E$ .

(1)、连接 $A C^{'}$ ，则 $A C^{'}$ 与 $B D$ 的位置关系是；

(2)、 $E B$ 与 $E D$ 相等吗？证明你的结论.

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22. 在“慈善一日捐”活动中，为了解某校学生的捐款情况，抽样调查了该校部分学生的捐款数（单位：元），并绘制成下面的统计图.

(1)、本次调查的样本容量是，这组数据的众数为元；

(2)、求这组数据的平均数；

(3)、该校共有 $600$ 学生参与捐款，请你估计该校学生的捐款总数.

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23. 将图中的 $A$ 型（正方形）、 $B$ 型（菱形）、 $C$ 型（等腰直角三角形）纸片分别放在 $3$ 个盒子中，盒子的形状、大小、质地都相同，再将这 $3$ 个盒子装入一只不透明的袋子中.

(1)、搅匀后从中摸出 $1$ 个盒子，盒中的纸片既是轴对称图形又是中心对称图形的概率是；

(2)、搅匀后先从中摸出 $1$ 个盒子（不放回），再从余下的 $2$ 个盒子中摸出 $1$ 个盒子，把摸出的 $2$ 个盒中的纸片长度相等的边拼在一起，求拼成的图形是轴对称图形的概率.（不重叠无缝隙拼接）

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24. 甲、乙两人每小时共做 $30$ 个零件，甲做 $180$ 个零件所用的时间与乙做 $120$ 个零件所用的时间相等.甲、乙两人每小时各做多少个零件？

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25. 如图，在 $▱ O A B C$ 中， $O A = 2 \sqrt{2}$ ， $∠ A O C = 45 °$ ，点 $C$ 在 $y$ 轴上，点 $D$ 是 $B C$ 的中点，反比例函数 $y = \frac{k}{x} (x > 0)$ 的图象经过点 $A$ 、 $D$

(1)、求 $k$ 的值；

(2)、求点 $D$ 的坐标.

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26. 【阅读】数学中，常对同一个量（图形的面积、点的个数、三角形的内角和等）用两种不同的方法计算，从而建立相等关系，我们把这一思想称为“算两次”.“算两次”也称做富比尼原理，是一种重要的数学思想.

(1)、【理解】
如图，两个边长分别为 $a$ 、 $b$ 、 $c$ 的直角三角形和一个两条直角边都是 $c$ 的直角三角形拼成一个梯形.用两种不同的方法计算梯形的面积，并写出你发现的结论；

(2)、如图2， $n$ 行 $n$ 列的棋子排成一个正方形，用两种不同的方法计算棋子的个数，可得等式： $n^{2} =$ ；

(3)、【运用】
$n$ 边形有 $n$ 个顶点，在它的内部再画 $m$ 个点，以（ $m + n$ ）个点为顶点，把 $n$ 边形剪成若干个三角形，设最多可以剪得 $y$ 个这样的三角形.当 $n = 3$ ， $m = 3$ 时，如图，最多可以剪得 $7$ 个这样的三角形，所以 $y = 7$ .

①当 $n = 4$ ， $m = 2$ 时，如图， $y =$ ；当 $n = 5$ ， $m =$ 时， $y = 9$ ；

②对于一般的情形，在 $n$ 边形内画 $m$ 个点，通过归纳猜想，可得 $y =$ （用含 $m$ 、 $n$ 的代数式表示）.请对同一个量用算两次的方法说明你的猜想成立.

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27. 已知平面图形 $S$ ，点 $P$ 、 $Q$ 是 $S$ 上任意两点，我们把线段 $P Q$ 的长度的最大值称为平面图形 $S$ 的“宽距”.例如，正方形的宽距等于它的对角线的长度.

(1)、写出下列图形的宽距：
①半径为 $1$ 的圆：；

②如图，上方是半径为 $1$ 的半圆，下方是正方形的三条边的“窗户形“：；

(2)、如图，在平面直角坐标系中，已知点 $A (- 1 ， 0)$ 、 $B (1 ， 0)$ ， $C$ 是坐标平面内的点，连接 $A B$ 、 $B C$ 、 $C A$ 所形成的图形为 $S$ ，记 $S$ 的宽距为 $d$ .

①若 $d = 2$ ，用直尺和圆规画出点 $C$ 所在的区域并求它的面积（所在区域用阴影表示）；

②若点 $C$ 在⊙ $M$ 上运动，⊙ $M$ 的半径为 $1$ ，圆心 $M$ 在过点 $(0 ， 2)$ 且与 $y$ 轴垂直的直线上.对于⊙ $M$ 上任意点 $C$ ，都有 $5 \leq d \leq 8$ ，直接写出圆心 $M$ 的横坐标 $x$ 的取值范围.

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