湖北省孝感市2019年中考数学试卷

试卷更新日期：2019-08-14 类型：中考真卷

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一、单选题

1. 计算 $- 19 + 20$ 等于（）

A、 $- 39$ B、 $- 1$ C、1 D、39

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2. 如图，直线 $l_{1} ∥ l_{2}$ ，直线 $l_{3}$ 与 $l_{1}$ ， $l_{2}$ 分别交于点 $A$ ， $C$ ， $B C ⊥ l_{3}$ 交 $l_{1}$ 于点 $B$ ，若 $∠ 1 = 70 °$ ，则 $∠ 2$ 的度数为（）

A、10° B、20° C、30° D、40°

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3. 下列立体图形在，左视图是圆的是（）

A、 B、 C、 D、

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4. 下列说法错误的是（）

A、在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件称为随机事件 B、一组数据中出现次数最多的数据称为这组数据的众数 C、方差可以刻画数据的波动程度，方差越大，波动越小；方差越小，波动越大 D、全面调查和抽样调查是收集数据的两种方式

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5. 下列计算正确的是（）

A、 $x^{7} \div x^{5} = x^{2}$ B、 ${(x y^{2})}^{2} = x y^{4}$ C、 $x^{2} \cdot x^{5} = x^{10}$ D、 $(\sqrt{a} + \sqrt{b}) (\sqrt{a} - \sqrt{b}) = b - a$

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6. 公元前3世纪，古希腊科学家阿基米德发现了杠杆平衡，后来人们把它归纳为“杠杆原理”，即：阻力×阻力臂=动力×动力臂.小伟欲用撬根撬动一块石头，已知阻力和阻力臂分别是 $1200 N$ 和 $0.5 m$ ，则动力 $F$ （单位： $N$ ）关于动力臂l（单位： $m$ ）的函数解析式正确的是（）

A、 $F = \frac{1200}{l}$ B、 $F = \frac{600}{l}$ C、 $F = \frac{500}{l}$ D、 $F = \frac{0.5}{l}$

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7. 已知二元一次方程组 ${\begin{array}{l} x + y = 1 \\ 2 x + 4 y = 9 \end{array}$ ，则 $\frac{x^{2} - 2 x y + y^{2}}{x^{2} - y^{2}}$ 的值是（）

A、 $- 5$ B、5 C、 $- 6$ D、6

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8. 如图，在平面直角坐标系中，将点 $P (2 ， 3)$ 绕原点 $O$ 顺时针旋转90°得到点 $P^{'}$ ，则 $P^{'}$ 的坐标为（）

A、 $(3 ， 2)$ B、 $(3 ， - 1)$ C、 $(2 ， - 3)$ D、 $(3 ， - 2)$

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9. 一个装有进水管和出水管的空容器，从某时刻开始 $4 min$ 内只进水不出水，容器内存水 $8 L$ ，在随后的 $8 min$ 内既进水又出水，容器内存水 $12 L$ ，接着关闭进水管直到容器内的水放完.若每分钟进水和出水量是两个常数，容器内的水量 $y$ （单位： $L$ ）与时间 $x$ （单位： $min$ ）之间的函数关系的图象大致的是（）

A、 B、 C、 D、

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10. 如图，正方形 $A B C D$ 中，点 $E$ 、 $F$ 分别在边 $C D$ ， $A D$ 上， $B E$ 与 $C F$ 交于点 $G$ .若 $B C = 4$ ， $D E = A F = 1$ ，则 $G F$ 的长为（）

A、 $\frac{13}{5}$ B、 $\frac{12}{5}$ C、 $\frac{19}{5}$ D、 $\frac{16}{5}$

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二、填空题

11. 中国“神威·太湖之光”计算机最高运行速度为1250000000亿次/秒，将数1250000000用科学记数法可表示为.

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12. 方程 $\frac{1}{2 x} = \frac{2}{x + 3}$ 的解为.

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13. 如图，在 $P$ 处利用测角仪测得某建筑物 $A B$ 的顶端 $B$ 点的仰角为60°，点 $C$ 的仰角为45°，点 $P$ 到建筑物的距离为 $P D = 20$ 米，则 $B C =$ 米.

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14. 董永社区在创建全国卫生城市的活动中，随机检查了本社区部分住户五月份某周内“垃圾分类”的实施情况，将他们绘制了两幅不完整的统计图（ $A$ .小于5天； $B$ .5天； $C$ .6天； $D$ .7天），则扇形统计图 $B$ 部分所对应的圆心角的度数是.

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15. 刘徽是我国魏晋时期卓越的数学家，他在《九章算术》中提出了“割圆术”，利用圆的内接正多边形逐步逼近圆来近似计算圆的面积，如图，若用圆的内接正十二边形的面积 $S_{1}$ 来近似估计 $⊙ O$ 的面积 $S$ ，设 $⊙ O$ 的半径为1，则 $S - S_{1} =$ .

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16. 如图，双曲线 $y = \frac{9}{x} (x > 0)$ 经过矩形OABC的顶点 $B$ ，双曲线 $y = \frac{k}{x} (x > 0)$ 交 $A B$ ， $B C$ 于点 $E$ ， $F$ ，且与矩形的对角线 $O B$ 交于点 $D$ ，连接 $E F$ .若 $O D ： O B = 2 ： 3$ ，则 $Δ B E F$ 的面积为.

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三、解答题

17. 计算： $| \sqrt{3} - 1 | - 2 \sin 60 ° + {(\frac{1}{6})}^{- 1} + \sqrt[3]{- 27}$ .

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18. 如图，已知 $∠ C = ∠ D = 90 °$ ， $B C$ 与 $A D$ 交于点 $E$ ， $A C = B D$ ，求证： $A E = B E$ .

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19. 一个不透明的袋子中装有四个小球，上面分别标有数字-2，-1，0，1，它们除了数字不一样外，其它完全相同.

(1)、随机从袋子中摸出一个小球，摸出的球上面标的数字为正数的概率是.

(2)、小聪先从袋子中随机摸出一个小球，记下数字作为点 $M$ 的纵坐标，如图，已知四边形 $A B C D$ 的四个顶点的坐标分别为 $A (- 2 ， 0)$ ， $B (0 ， - 2)$ ， $C (1 ， 0)$ ， $D (0 ， 1)$ ，请用画树状图或列表法，求点 $M$ 落在四边形 $A B C D$ 所围成的部分内（含边界）的概率.

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20. 如图， $Rt Δ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ，一同学利用直尺和圆规完成如下操作：
①以点 $C$ 为圆心，以 $C B$ 为半径画弧，角 $A B$ 于点 $G$ ；分别以点 $G$ 、 $B$ 为圆心，以大于 $\frac{1}{2} G B$ 的长为半径画弧，两弧交点 $K$ ，作射线 $C K$ ；

②以点 $B$ 为圆心，以适当的长为半径画弧，交 $B C$ 于点 $M$ ，交 $A B$ 的延长线于点 $N$ ；分别以点 $M$ 、 $N$ 为圆心，以大于 $\frac{1}{2} M N$ 的长为半径画弧，两弧交于点 $P$ ，作直线 $B P$ 交 $A C$ 的延长线于点 $D$ ，交射线 $C K$ 于点 $E$ .

请你观察图形，根据操作结果解答下列问题；

(1)、线段 $C D$ 与 $C E$ 的大小关系是.

(2)、过点 $D$ 作 $D F ⊥ A B$ 交 $A B$ 的延长线于点 $F$ ，若 $A C = 12$ ， $B C = 5$ ，求 $\tan ∠ D B F$ 的值.

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21. 已知关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2} - 2 (a - 1) x + a^{2} - a - 2 = 0$ 有两个不相等的实数根 $x_{1}$ ， $x_{2}$ .

(1)、若 $a$ 为正数，求 $a$ 的值；

(2)、若 $x_{1}$ ， $x_{2}$ 满足 $x_{1}^{2} + x_{2}^{2} - x_{1} x_{2} = 16$ ，求 $a$ 的值.

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22. 为了加快“智慧校园”建设，某市准备为试点学校采购一批 $A$ 、 $B$ 两种型号的一体机，经过市场调查发现，今年每套 $B$ 型一体机的价格比每套 $A$ 型一体机的价格多0.6万元，且用960万元恰好能购买500套 $A$ 型一体机和200套 $B$ 型一体机.

(1)、求今年每套 $A$ 型、 $B$ 型一体机的价格各是多少万元

(2)、该市明年计划采购 $A$ 型、 $B$ 型一体机1100套，考虑物价因素，预计明年每套 $A$ 型一体机的价格比今年上涨25%，每套 $B$ 型一体机的价格不变，若购买 $B$ 型一体机的总费用不低于购买 $A$ 型一体机的总费用，那么该市明年至少需要投入多少万元才能完成采购计划？

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23. 如图，点 $I$ 是 $Δ A B C$ 的内心， $B I$ 的延长线与 $Δ A B C$ 的外接圆 $⊙ O$ 交于点 $D$ ，与 $A C$ 交于点 $E$ ，延长 $C D$ 、 $B A$ 相交于点 $F$ ， $∠ A D F$ 的平分线交 $A F$ 于点 $G$ .

(1)、求证： $D G ∥ C A$ ；

(2)、求证： $A D = I D$ ；

(3)、若 $D E = 4$ ， $B E = 5$ ，求 $B I$ 的长.

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24. 如图1，在平面直角坐标系 $x O y$ 中，已知抛物线 $y = a x^{2} - 2 a x - 8 a$ 与 $x$ 轴相交于 $A$ 、 $B$ 两点（点 $A$ 在点 $B$ 的左侧），与 $y$ 轴交于点 $C (0 ， - 4)$ .

(1)、点 $A$ 的坐标为，点 $B$ 的坐标为，线段 $A C$ 的长为，抛物线的解析式为.

(2)、点 $P$ 是线段 $B C$ 下方抛物线上的一个动点.
①如果在 $x$ 轴上存在点 $Q$ ，使得以点 $B$ 、 $C$ 、 $P$ 、 $Q$ 为顶点的四边形是平行四边形.求点 $Q$ 的坐标.

②如图2，过点 $P$ 作 $P E ∥ C A$ 交线段 $B C$ 于点 $E$ ，过点 $P$ 作直线 $x = t$ 交 $B C$ 于点 $F$ ，交 $x$ 轴于点 $G$ ，记 $P E = f$ ，求 $f$ 关于 $t$ 的函数解析式；当 $t$ 取 $m$ 和 $4 - \frac{1}{2} m (0 < m < 2)$ 时，试比较 $f$ 的对应函数值 $f_{1}$ 和 $f_{2}$ 的大小.

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