湖北省襄阳市2019年中考数学试卷

试卷更新日期：2019-08-14 类型：中考真卷

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一、单选题

1. 计算 $| -3 |$ 的结果是（）

A、3 B、 $\frac{1}{3}$ C、﹣3 D、 $\pm 3$

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2. 下列运算正确的是（）

A、 $a^{3} - a^{2} = a$ B、 $a^{2} \cdot a^{3} = a^{6}$ C、 $a^{6} \div a^{2} = a^{3}$ D、 ${(a^{2})}^{- 3} = a^{- 6}$

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3. 如图，直线 $B C / / A E$ ， $C D ⊥ A B$ 于点 $D$ ，若 $∠ B C D = 40^{\circ}$ ，则 $∠ 1$ 的度数是（）

A、 $60^{\circ}$ B、 $50^{\circ}$ C、 $40^{\circ}$ D、 $30^{\circ}$

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4. 某正方体的平面展开图如图所示，则原正方体中与“春”字所在的面相对的面上的字是（）

A、青 B、来 C、斗 D、奋

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5. 下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）

A、 B、 C、 D、

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6. 不等式组 ${\begin{array}{l} 2 x < x + 4 \\ 3 + x \geq 3 x + 9 \end{array}$ 的解集在数轴上用阴影表示正确的是（）

A、 B、 C、 D、

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7. 如图，分别以线段 $A B$ 的两个端点为圆心，大于 $A B$ 的一半的长为半径画弧，两弧分别交于 $C$ ， $D$ 两点，连接 $A C$ ， $B C$ ， $A D$ ， $B D$ ，则四边形 $A D B C$ 一定是（）

A、正方形 B、矩形 C、梯形 D、菱形

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8. 下列说法错误的是（）

A、必然事件发生的概率是1 B、通过大量重复试验，可以用频率估计概率 C、概率很小的事件不可能发生 D、投一枚图钉，“钉尖朝上”的概率不能用列举法求得

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9. 《九章算术》是我国古代数学名著，卷七“盈不足”中有题译文如下：今有人合伙买羊，每人出5钱，会差45钱；每人出7钱，会差3钱.问合伙人数、羊价各是多少？设合伙人数为 $x$ 人，所列方程正确的是（）

A、 $5 x - 45 = 7 x - 3$ B、 $5 x + 45 = 7 x + 3$ C、 $\frac{x + 45}{5} = \frac{x + 3}{7}$ D、 $\frac{x - 45}{5} = \frac{x - 3}{7}$

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10. 如图， $A D$ 是圆 $O$ 的直径， $B C$ 是弦，四边形 $O B C D$ 是平行四边形， $A C$ 与 $O B$ 相交于点 $P$ ，下列结论错误的是（）

A、 $A P = 2 O P$ B、 $C D = 2 O P$ C、 $O B ⊥ A C$ D、 $A C$ 平分 $O B$

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二、填空题

11. 习总书记指出，善于学习，就是善于进步.“学习强国”平台上线后的某天，全国大约有1.2亿人在平台上学习.1.2亿这个数用科学记数法表示为.

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12. 定义： $a \times b = \frac{a}{b}$ ，则方程 $2 \times (x + 3) = 1 \times (2 x)$ 的解为.

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13. 从2，3，4，6中随机选取两个数记作 $a$ 和 $b$ $(a < b)$ ，那么点 $(a ， b)$ 在直线 $y = 2 x$ 上的概率是.

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14. 如图，已知 $∠ A B C = ∠ D C B$ ，添加下列条件中的一个：① $∠ A = ∠ D$ ，② $A C = D B$ ，③ $A B = D C$ ，其中不能确定 $Δ A B C$ ≌△ $Δ D C B$ 的是（只填序号）.

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15. 如图，若被击打的小球飞行高度 $h$ （单位： $m$ ）与飞行时间 $t$ （单位： $s$ ）之间具有的关系为 $h = 20 t - 5 t^{2}$ ，则小球从飞出到落地所用的时间为 $s$ .

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16. 如图，两个大小不同的三角板放在同一平面内，直角顶点重合于点 $C$ ，点 $D$ 在 $A B$ 上， $∠ B A C =$ $∠ D E C = 30^{°}$ ， $A C$ 与 $D E$ 交于点 $F$ ，连接 $A E$ ，若 $B D = 1$ ， $A D = 5$ ，则 $\frac{C F}{E F} =$ .

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三、解答题

17. 先化简，再求值： $(\frac{1}{x - 1} - 1)$ ÷ $\frac{x^{2} + 2 x + 1}{x^{2} - 1}$ ，其中 $x = \sqrt{2} - 1$ ．

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18. 今年是中华人民共和国建国70周年，襄阳市某学校开展了“我和我的祖国”主题学习竞赛活动.学校3000名学生全部参加了竞赛，结果所有学生成绩都不低于60分（满分100分）.为了了解成绩分布情况，学校随机抽取了部分学生的成绩进行统计，得到如下不完整的统计表.根据表中所给信息，解答下列问题：

成绩 $x$ （分）分组	频数	频率
$60 \leq x < 70$	15	0.30
$70 \leq x < 80$	$a$	0.40
$80 \leq x < 90$	10	$b$
$90 \leq x \leq 100$	5	0.10

(1)、表中

a =

，

b =

；

(2)、这组数据的中位数落在范围内；

(3)、判断：这组数据的众数一定落在

70 \leq x < 80

范围内，这个说法（填“正确”或“错误”）；

(4)、这组数据用扇形统计图表示，成绩在

80 \leq x < 90

范围内的扇形圆心角的大小为；

(5)、若成绩不小于80分为优秀，则全校大约有名学生获得优秀成绩.

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19. 改善小区环境，争创文明家园.如图所示，某社区决定在一块长（ $A D$ ）16 $m$ ，宽（ $A B$ ）9 $m$ 的矩形场地 $A B C D$ 上修建三条同样宽的小路，其中两条与 $A B$ 平行，另一条与 $A D$ 平行，其余部分种草.要使草坪部分的总面积为112 $m^{2}$ ，则小路的宽应为多少？

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20. 襄阳卧龙大桥横跨汉江，是我市标志性建筑之一.某校数学兴趣小组在假日对竖立的索塔在桥面以上的部分（上塔柱 $B C$ 和塔冠 $B E$ ）进行了测量.如图所示，最外端的拉索 $A B$ 的底端 $A$ 到塔柱底端 $C$ 的距离为121 $m$ ，拉索 $A B$ 与桥面 $A C$ 的夹角为 $37^{\circ}$ ，从点 $A$ 出发沿 $A C$ 方向前进23.5 $m$ ，在 $D$ 处测得塔冠顶端 $E$ 的仰角为 $45^{\circ}$ .请你求出塔冠 $B E$ 的高度（结果精确到0.1 $m$ .参考数据 $\sin 37^{\circ} \approx 0.60$ ， $\cos 37^{\circ} \approx 0.80$ ， $\tan 37^{\circ} \approx 0.75$ ， $\sqrt{2} \approx 1.41$ ）.

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21. 如图，已知一次函数 $y_{1} = k x + b$ 与反比例函数 $y_{2} = \frac{m}{x}$ 的图象在第一、第三象限分别交于 $A (3 ， 4)$ ， $B (a ， - 2)$ 两点，直线 $A B$ 与 $y$ 轴， $x$ 轴分别交于 $C ， D$ 两点.

(1)、求一次函数和反比例函数的解析式；

(2)、比较大小： $A D$ $B C$ （填“＞”或“＜”或“＝”）；

(3)、直接写出 $y_{1} < y_{2}$ 时 $x$ 的取值范围.

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22. 如图，点 $E$ 是 $Δ A B C$ 的内心， $A E$ 的延长线和 $Δ A B C$ 的外接圆圆 $O$ 相交于点 $D$ ，过 $D$ 作直线 $D G / / B C$ .

(1)、求证： $D G$ 是圆 $O$ 的切线；

(2)、若 $D E = 6$ ， $B C = 6 \sqrt{3}$ ，求优弧 $\overset{⌢}{B A C}$ 的长.

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23. 襄阳市某农谷生态园响应国家发展有机农业政策，大力种植有机蔬菜.某超市看好甲、乙两种有机蔬菜的市场价值，经调查，这两种蔬菜的进价和售价如下表所示：

有机蔬菜种类

进价（元/ $k g$ ）

售价（元/ $k g$ ）

甲

$m$

16

乙

$n$

18

(1)、该超市购进甲种蔬菜10 $k g$ 和乙种蔬菜5 $k g$ 需要170元；购进甲种蔬菜6 $k g$ 和乙种蔬菜10 $k g$ 需要200元.求 $m$ ， $n$ 的值；

(2)、该超市决定每天购进甲、乙两种蔬菜共100 $k g$ 进行销售，其中甲种蔬菜的数量不少于20 $k g$ ，且不大于70 $k g$ .实际销售时，由于多种因素的影响，甲种蔬菜超过60 $k g$ 的部分，当天需要打5折才能售完，乙种蔬菜能按售价卖完.求超市当天售完这两种蔬菜获得的利润额 $y$ （元）与购进甲种蔬菜的数量 $x$ （ $k g$ ）之间的函数关系式，并写出 $x$ 的取值范围；

(3)、在（2）的条件下，超市在获得的利润额 $y$ （元）取得最大值时，决定售出的甲种蔬菜每千克捐出 $2 a$ 元，乙种蔬菜每千克捐出 $a$ 元给当地福利院，若要保证捐款后的盈利率不低于20%，求 $a$ 的最大值.

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24.

(1)、证明推断：如图（1），在正方形 $A B C D$ 中，点 $E$ ， $Q$ 分别在边 $B C$ ， $A B$ 上， $D Q ⊥ A E$ 于点 $O$ ，点 $G$ ， $F$ 分别在边 $C D$ ， $A B$ 上， $G F ⊥ A E$ .

①求证： $D Q = A E$ ；

②推断： $\frac{G F}{A E}$ 的值为；

(2)、类比探究：如图（2），在矩形 $A B C D$ 中， $\frac{B C}{A B} = k$ （ $k$ 为常数）.将矩形 $A B C D$ 沿 $G F$ 折叠，使点 $A$ 落在 $B C$ 边上的点 $E$ 处，得到四边形 $F E P G$ ， $E P$ 交 $C D$ 于点 $H$ ，连接 $A E$ 交 $G F$ 于点 $O$ . 试探究 GF与AE之间的数量关系，并说明理由并说明理由；

(3)、拓展应用：在（2）的条件下，连接 $C P$ ，当 $k = \frac{2}{3}$ 时，若 $\tan ∠ C G P = \frac{3}{4}$ ， $G F = 2 \sqrt{10}$ ，求 $C P$ 的长.

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25. 如图，在直角坐标系中，直线 y=- $\frac{1}{2}$ x+3 与 $x$ 轴， $y$ 轴分别交于点 $B$ ，点 $C$ ，对称轴为 $x = 1$ 的抛物线过 $B ， C$ 两点，且交 $x$ 轴于另一点 $A$ ，连接 $A C$ .

(1)、直接写出点 $A$ ，点 $B$ ，点 $C$ 的坐标和抛物线的解析式；

(2)、已知点 $P$ 为第一象限内抛物线上一点，当点 $P$ 到直线 $B C$ 的距离最大时，求点 $P$ 的坐标；

(3)、抛物线上是否存在一点 $Q$ （点 $C$ 除外），使以点 $Q$ ， $A$ ， $B$ 为顶点的三角形与 $Δ A B C$ 相似？若存在，求出点 $Q$ 的坐标；若不存在，请说明理由.

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有机蔬菜种类	进价（元/ $k g$ ）	售价（元/ $k g$ ）
甲	$m$	16
乙	$n$	18