云南省陆良县2019届高三文数第二次适应性考试试卷

试卷更新日期：2019-08-13 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 设集合 $A = {1, 3, 5, 7, 9, 11}, B = {5, 9}$ ,则 $∁_{A} B =$ （）

A、 ${5, 9}$ B、 ${1, 3, 7, 11}$ C、 ${1, 3, 7, 9, 11}$ D、 ${1, 3, 5, 7, 9, 11}$

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2. 已知复数 $z$ 满足 $(2 - i) Z = | 3 + 4 i |$ ,则 $Z =$ （）

A、 $- 2 - i$ B、 $2 - i$ C、 $- 2 + i$ D、 $2 + i$

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3. 已知命题 $p ： \forall x > 0 ， x^{3} \leq 0$ ，那么 $\neg p$ 是（）

A、 $\forall x > 0 ， x^{3} > 0$ B、 $\forall x < 0 ， x^{3} > 0$ C、 $\exists x_{0} \leq 0 ， x_{0}^{3} > 0$ D、 $\exists x_{0} > 0 ， x_{0}^{3} > 0$

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4. 图1是某学习小组学生数学考试成绩的茎叶图，1号到16号的同学的成绩依次为 $A_{1} ， A_{2} ... A_{16}$ ，图2是统计茎叶图中成绩在一定范围内的学生情况的程序框图，那么该程序框图输出的结果是（）

A、6 B、7 C、10 D、16

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5. 已知 $α \in (\frac{π}{2}, π)$ ，且 $\sin α + \cos α = - \frac{\sqrt{3}}{3}$ ，则 $\cos 2 α =$ （）

A、 $\frac{\sqrt{5}}{3}$ B、 $- \frac{\sqrt{5}}{3}$ C、 $\frac{2 \sqrt{5}}{3}$ D、 $- \frac{2 \sqrt{5}}{3}$

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6. 设 $a = 2^{0.5}, b = {0.5}^{2}, c = \log_{2} 0.5$ ，则 $a, b, c$ 的大小关系为（）

A、 $c > a > b$ B、 $c > b > a$ C、 $a > b > c$ D、 $b > a > c$

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7. 设函数 $f (x) ＝ sin (ω x ＋ φ) ＋ cos (ω x ＋ φ) ， (ω > 0 ， | φ | < \frac{π}{2})$ 的最小正周期为 $π$ ，且 $f (- x) = f (x)$ ，则（）

A、 $f (x)$ 在 $(0 ， \frac{π}{2})$ 上单调递减 B、 $f (x)$ 在 $(\frac{π}{4} ， \frac{3 π}{4})$ 上单调递减 C、 $f (x)$ 在 $(0 ， \frac{π}{2})$ 上单调递增 D、 $f (x)$ 在 $(\frac{π}{4} ， \frac{3 π}{4})$ 上单调递增

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8. 已知双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的左右焦点为 $F_{1}, F_{2}$ ,过左焦点 $F_{1}$ 作垂直于 $x$ 轴的直线交双曲线的两条渐近线于 $M, N$ 两点，若 $∠ M F_{2} N$ 是直角，则双曲线的离心率是（）．

A、 $\sqrt{2}$ B、 $\sqrt{5}$ C、 $3$ D、 $4$

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9. 已知正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的棱长为1， $E$ 是棱 $D_{1} C_{1}$ 的中点，点 $F$ 在正方体内部或正方体的表面上，且 $E F / /$ 平面 $A_{1} B C_{1}$ ，则动点 $F$ 的轨迹所形成的区域面积是（）

A、 $\frac{9}{8}$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ C、 $\frac{3 \sqrt{3}}{4}$ D、 $\sqrt{2}$

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10. 已知三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥外接球的表面积为（）

A、 $4 π$ B、 $16 π$ C、 $18 π$ D、 $36 π$

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11. 已知点 $A (3 ， 0)$ ，过抛物线 $y^{2} = 8 x$ 上一点 $P$ 的直线与直线 $x = - 2$ 垂直相交于点 $B$ ，若 $| P B | = | P A |$ ，则 $P$ 的横坐标为（）

A、 $\frac{5}{2}$ B、2 C、 $\frac{3}{2}$ D、1

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12. 已知关于 $x$ 的方程 $e^{x} - 2 x - k = 0$ 有2个不相等的实数根，则 $k$ 的取值范围是（）.

A、 $(- \infty ，^{} 2 - 2 \ln 2]$ B、 $(- \infty ，^{} 2 - 2 \ln 2)$ C、 $[2 - 2 \ln 2 ，^{} + \infty)$ D、 $(2 - 2 \ln 2 ，^{} + \infty)$

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二、填空题

13. 已知向量 $\vec{a} = (1, 2)$ ， $\vec{b} = (- 1, m)$ ，若 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ ，则 $m$ 的值为

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14. 如图，点 $D$ 是 $Δ A B C$ 的边 $B C$ 上一点， $A B = \sqrt{7}$ ， $A D = 2$ ， $B D = 1$ ， $∠ A C B = 45^{\circ}$ ， $A C =$ 。

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15. 若点 $M (x ， y)$ （其中 $x ， y \in Z$ ）为平面区域 ${\begin{array}{l} x + 2 y - 5 \geq 0 \\ 2 x + y - 7 \geq 0 \\ x \geq 0 \\ y \geq 0 \end{array}$ 内的一个动点，已知点 $A (3 ， 4)$ ， $O$ 为坐标原点，则 $\vec{O A} \cdot \vec{O M}$ 的最小值为。

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16. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} \frac{1}{2} x^{2}, x \leq a \\ \log_{3} (x + 2), x > a \end{array}$ 在区间 $(- \infty, a]$ 上单调递减，在 $(a, + \infty)$ 上单调递增，则实数 $a$ 的取值范围是．

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三、解答题

17. 已知数列 ${a_{n}}$ 的前n项和 $S_{n}$ 满足 $4 a_{n} - 3 S_{n} = 2$ ，其中 $n \in N^{*}$ .
（Ⅰ）证明：数列 ${a_{n}}$ 为等比数列；

（Ⅱ）设 $b_{n} = \frac{1}{2} a_{n} - 4 n$ ，求数列 ${b_{n}}$ 的前n项和 $T_{n}$ .

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18. 某中学有初中学生1800人，高中学生1200人. 为了解学生本学期课外阅读时间，现采用分层抽样的方法，从中抽取了100名学生，先统计了他们课外阅读时间，然后按“初中学生”和“高中学生”分为两组，再将每组学生的阅读时间（单位：小时）分为5组： $[0 ， 10)$ ， $[10 ， 20)$ ， $[20 ， 30)$ ， $[30 ， 40)$ ， $[40 ， 50]$ ，并分别加以统计，得到如图所示的频率分布直方图.

（Ⅰ）写出 $a$ 的值；试估计该校所有学生中，阅读时间不小于30个小时的学生人数；

（Ⅱ）从阅读时间不足10个小时的样本学生中随机抽取2人，求至少抽到1名高中生的概率.

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19. 如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是菱形，点O是对角线AC与BD的交点，AB=2，∠BAD=60°，M是PD的中点．

（Ⅰ）求证：OM∥平面PAB；

（Ⅱ）平面PBD⊥平面PAC；

（Ⅲ）当三棱锥C﹣PBD的体积等于 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ 时，求PA的长．

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20. 已知椭圆C $： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ ，点 $(\sqrt{3} ， \frac{1}{2})$ 在椭圆C上．直线l过点（1，1），且与椭圆C交于A，B两点，线段AB的中点为M．
（I）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）点O为坐标原点，延长线段OM与椭圆C交于点P，四边形OAPB能否为平行四边形？若能，求出此时直线l的方程，若不能，说明理由．

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21. 已知函数 $f (x) = \frac{a e^{x}}{x} + x$ .
（Ⅰ）若曲线 $y = f (x)$ 在点 $(1, f (1))$ 处的切线经过点（0,1），求实数 $a$ 的值；

（Ⅱ）求证：当 $a < 0$ 时，函数 $f (x)$ 至多有一个极值点；

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22. 坐标系与参数方程：在平面直角坐标系中，以原点 $O$ 为极点， $x$ 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，已知点 $A$ 的极坐标为 $(\sqrt{2}, \frac{π}{4})$ ，直线 $l$ 的极坐标方程为 $ρ \cos (θ - \frac{π}{4}) = a$ ，且点 $A$ 在直线 $l$ 上
（Ⅰ）求 $a$ 的值和直线 $l$ 的直角坐标方程及 $l$ 的参数方程；

（Ⅱ）已知曲线 $C$ 的参数方程为 ${\begin{array}{l} x = 4 + 5 \cos α \\ y = 3 + 5 \sin α \end{array}$ ，（ $α$ 为参数），直线 $l$ 与 $C$ 交于 $M, N$ 两点，求 $\frac{1}{| A M |} + \frac{1}{| A N |}$ 的值

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23. 设函数 $f (x) = | x - a | + | 2 x - a | (a < 0)$ .

(1)、证明： $f (x) + f (- \frac{1}{x}) \geq 6$ ；

(2)、若不等式 $f (x) < \frac{1}{2}$ 的解集为非空集，求 $a$ 的取值范围.

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