辽宁省葫芦岛协作校2018-2019学年高二下学期理数第二次月考试卷

试卷更新日期：2019-08-12 类型：月考试卷

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一、单选题

1. 复数 $z = \frac{2 + i}{i}$ 在复平面内对应的点位于（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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2. ${(2 x - 3 y)}^{9}$ 的展开式中各项的二项式系数之和为（）

A、 $- 1$ B、 $1$ C、 $- 512$ D、 $512$

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3. 正切函数是奇函数， $f (x) = \tan (x^{2} + 2)$ 是正切函数，因此 $f (x) = \tan (x^{2} + 2)$ 是奇函数，以上推理（）

A、结论正确 B、大前提不正确 C、小前提不正确 D、以上均不正确

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4. 甲、乙同时参加某次法语考试，甲、乙考试达到优秀的概率分别为 $0.6$ ， $0.7$ ，两人考试相互独立，则甲、乙两人都未达到优秀的概率为（）

A、 $0.42$ B、 $0.28$ C、 $0.18$ D、 $0.12$

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5. 随机变量 $X$ 的分布列如下表，其中 $a, b, c$ 成等差数列,且 $c = \frac{1}{2} a b$ ，则 $P (X = 2) =$ （）

$X$

$2$

$4$

$6$

$P$

$a$

$b$

$c$

A、 $\frac{1}{4}$ B、 $\frac{4}{5}$ C、 $\frac{4}{7}$ D、 $\frac{2}{21}$

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6. 若复数 $z = (a - i) \cdot i$ 满足 $| z | \leq 2$ ，则实数 $a$ 的取值范围是（）

A、 $[\sqrt{3}, + \infty)$ B、 $[- 1, 1]$ C、 $(- \infty, - \sqrt{3}] \cup [\sqrt{3}, + \infty)$ D、 $(- \infty, - 1] \cup [1, + \infty)$

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7. 观察下列不等式： $\sqrt{3} + 1 < 2 \sqrt{2} ， 2 + \sqrt{2} < 2 \sqrt{3} ， \sqrt{5} + \sqrt{3} < 4 ， \sqrt{6} + 2 < 2 \sqrt{5} ， \dots$ .据此你可以归纳猜想出的一般结论为（）

A、 $\sqrt{n + 3} + \sqrt{n + 1} < 2 \sqrt{n} (n \in N)$ B、 $\sqrt{n + 1} + \sqrt{n - 1} < 2 \sqrt{n} (n \in N)$ C、 $\sqrt{n + 3} + \sqrt{n + 1} < 2 \sqrt{n} (n ⩾ 2 且 n \in N^{*})$ D、 $\sqrt{n + 1} + \sqrt{n - 1} < 2 \sqrt{n} (n ⩾ 2 且 n \in N^{*})$

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8. 六位同学站成一排照相，若要求同学甲站在同学乙的左边，则不同的站法有（）

A、 $180$ 种 B、 $240$ 种 C、 $360$ 种 D、 $720$ 种

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9. 若函数 $f (x) = \ln x - k x$ 在 $(1 ， + \infty)$ 上单调递减，则 $k$ 的最小值是（）

A、 $1$ B、-1 C、 $2$ D、 $- 2$

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10. 某导弹发射的事故率为 $0. 001$ ，若发射 $10$ 次，记出事故的次数为 $ξ$ ，则 $D ξ =$ （）

A、 $0.0999$ B、 $0.00999$ C、 $0.01$ D、 $0.001$

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11. 某食堂一窗口供应 $2$ 荤 $3$ 素共 $5$ 种菜，甲、乙两人每人在该窗口打 $2$ 种菜，且每人至多打 $1$ 种荤菜，则两人打菜方法的种数为（）

A、 $36$ B、 $64$ C、 $81$ D、 $100$

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12. 已知函数 $f (x) = \frac{a}{x} + \ln x (a \in R)$ 有两个不相同的零点，则 $a$ 的取值范围为（）

A、 $(0 ， \frac{1}{e})$ B、 $(0 ， \frac{1}{e}]$ C、 $(\frac{1}{e} ， + \infty)$ D、 $(e ， + \infty)$

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二、填空题

13. 已知复数 $(a + i) (1 - i)$ 是纯虚数，则实数 $a =$ .

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14. 已知随机变量 $X$ 服从正态分布 $N (4, σ^{2})$ ， $P (X < 6) = 0.78$ ，则 $P (X \leq 2) =$ ．

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15. 函数 $f (x) = \frac{1 + \ln x}{x}$ 的图像在 $x = \frac{1}{e}$ 处的切线方程为.

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16. 一个不透明的袋子中有大小形状完全相同的 $5$ 个乒乓球，乒乓球上分别印有数字 $1, 2, 3, 4, 5$ ，小明和小芳分别从袋子中摸出一个球（不放回），看谁摸出来的球上的数字大.小明先摸出一球说：“我不能肯定我们两人的球上谁的数字大.”然后小芳摸出一球说：“我也不能肯定我们两人的球上谁的数字大.”那么小芳摸出来的球上的数字是.

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三、解答题

17. 某高中尝试进行课堂改革.现高一有

A, B

两个成绩相当的班级，其中

A

班级参与改革，

B

班级没有参与改革.经过一段时间，对学生学习效果进行检测，规定成绩提高超过

10

分的为进步明显，得到如下列联表.

	进步明显	进步不明显	合计
$A$ 班级	$15$	$30$	$45$
$B$ 班级	$10$	$45$	$55$
合计	$25$	$75$	$100$

(1)、是否有

95 %

的把握认为成绩进步是否明显与课堂是否改革有关?

(2)、按照分层抽样的方式从

A, B

班中进步明显的学生中抽取

5

人做进一步调查，然后从

5

人中抽

2

人进行座谈，求这

2

人来自不同班级的概率.

附： $k^{2} = \frac{n {(n_{11} n_{22} - n_{12} n_{21})}^{2}}{n_{11} n_{12} n_{21} n_{22}}$ ，当 $k^{2} > 3.841$ 时，有 $95 %$ 的把握说事件 $A$ 与 $B$ 有关.

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18. 已知 ${(1 - \frac{1}{2} x)}^{n} = a_{0} + a_{1} x + a_{2} x^{2} + \dots + a_{n} x^{n} (n \in N^{*})$ ，且 $a_{2} = 7$ .

(1)、求 $n$ 的值；

(2)、求 $- 2 a_{1} + 2^{2} a_{2} - 2^{3} a_{3} + \dots + {(- 2)}^{n} a_{n}$ 的值.

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19. 某中学学生会由8名同学组成，其中一年级有2人，二年级有3人，三年级有3人，现从这8人中任意选取2人参加一项活动.

(1)、求这2人来自两个不同年级的概率；

(2)、设 $X$ 表示选到三年级学生的人数，求 $X$ 的分布列和数学期望.

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20. 已知 $\frac{1}{1} ， \frac{1}{1 + 2} ， \frac{1}{1 + 2 + 3} ， \dots ， \frac{1}{1 + 2 + 3 + \dots + n} ， \dots$ ，其前 $n$ 项和为 $S_{n}$ .

(1)、计算 $S_{1} ， S_{2} ， S_{3} ， S_{4}$ ；

(2)、猜想 $S_{n}$ 的表达式，并用数学归纳法进行证明.

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21. 某工厂生产某种型号的电视机零配件，为了预测今年

7

月份该型号电视机零配件的市场需求量，以合理安排生产，工厂对本年度

1

月份至

6

月份该型号电视机零配件的销售量及销售单价进行了调查，销售单价

x

（单位：元）和销售量

y

（单位：千件）之间的

6

组数据如下表所示：

月份	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$	$6$
销售单价 $x$ （元）	$8.8$	$9.1$	$9.4$	$10.2$	$11.1$	$11.4$
销售量 $y$ （千件）	$3.2$	$3.1$	$3$	$2.8$	$2.5$	$2.4$

参考公式：回归直线方程 $\hat{y} = \hat{b} x + \hat{a}$ ，其中 $b = \frac{\sum_{i = 1}^{n} x_{i} y_{i} - n \bar{x} \bar{y}}{\sum_{i = 1}^{n} x_{i}^{2} - n {\bar{x}}^{2}}$ .

参考数据： $\sum_{i = 1}^{6} x_{i}^{2} = 605.82, \sum_{i = 1}^{6} x_{i} y_{i} = 168.24$ .

(1)、根据1至

6

月份的数据，求

y

关于

x

的线性回归方程（系数精确到

0.01

）；

(2)、结合（1）中的线性回归方程，假设该型号电视机零配件的生产成本为每件

2

元，那么工厂如何制定

7

月份的销售单价，才能使该月利润达到最大（计算结果精确到

0.1

）？

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22. 已知函数 $f (x) = \ln x + (m + 1) x ， t (x) = \frac{1}{2} x^{2} + \frac{1}{x}$ ， $m$ 为常数.

(1)、若 $m = - 3$ ，求函数 $f (x)$ 的单调区间；

(2)、若函数 $g (x) = t (x) - f (x)$ 在 $(1 ， 2)$ 上有且只有一个极值点，求 $m$ 的取值范围.

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$X$	$2$	$4$	$6$
$P$	$a$	$b$	$c$