河北省唐山市2018-2019学年高三下学期理数第三次模拟考试试卷（B卷）

试卷更新日期：2019-08-07 类型：高考模拟

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一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.

1. 已知集合M={x|x>3}，N={xlx²-7x+10≤0}，则MUN=（）

A、[2，3） B、（3，5] C、（-∞，5] D、[2，+∞）

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2. 已知复数：满足（2+i）z=i²⁰¹⁹ ，则：在复平面上对应的点位于（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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3. 中国古代数学名著《九章算术》卷“商功”篇章中有这样的问题：“今有方锥，下方二丈七尺，高二丈九尺。问积几何？”（注：一丈等于十尺）。若此方锥的三视图如图所示（其中俯视图为正方形），则方锥的体积为（）（单位：立方尺）

A、7047 B、21141 C、7569 D、22707

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4. 已知 sinα+ $\sqrt{3}$ cosα=2，则tanα=（）

A、- $\sqrt{3}$ B、 $\sqrt{3}$ C、- $\frac{\sqrt{3}}{3}$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$

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5. 设函数y=f（x）的定义域为I.则“f（x）在I上的最大为M”是“ x∈I，f（x）≤M”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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6. 设双曲线C： $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ （a>b>0）的两条渐近线的夹角为α.且cosα= $\frac{1}{3}$ ，则C的离心率为（）

A、 $\frac{\sqrt{5}}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{6}}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{7}}{2}$ D、2

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7. 函数f（x）=tanx-x³的部分图象大致为（）

A、 B、 C、 D、

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8. 一个袋子中装有大小形状完全相同的4个白球和3个黑球，从中一次摸出3个球，已知摸出球的颜色不全相同，则摸出白球个数多于黑球个数的概率为（）

A、 $\frac{18}{35}$ B、 $\frac{3}{5}$ C、 $\frac{22}{35}$ D、 $\frac{11}{15}$

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9. 将函数f（x）=sin(ωx+ $\frac{π}{3}$ )（0>0）的图象向右平移 $\frac{π}{6}$ 个单位长度，得到的图象关于y轴对称，则ω的最小值为（）

A、7 B、6 C、5 D、4

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10. 设椭圆C： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ （a>b>0）的左，右焦点分别为F₁ ， F₂ ，离心率为 $\frac{\sqrt{5}}{3}$ ，以F₁F₂为直径的圆与C在第一象限的交点为P，则直线PF₁的斜率为（）

A、 $\frac{1}{3}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$

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11. 在△ABC中，AB=AC， $\vec{B D} = 3 \vec{D C}$ ，AD=2，△ABC的面积为2 $\sqrt{3}$ ，则∠ADB=（）

A、30° B、45° C、60° D、30°或60°

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12. 已知e是自然对数的底数，不等式x[（e^x-1+1）(e^1-x+1)-（e^-1+e）²]>0的解集为（）

A、（-1，0）U（3，+∞） B、（-1，0）U（0，3） C、（-∞，-1）U（3，+∞） D、（-∞，-1）U（0，3）

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二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13. 计算定积分 $\int_{0}^{π} sinxdx$ =

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14. 已知向量 $\vec{a}$ =(m，3)， $\vec{b}$ =(m+2，1)，若 $\vec{a} \cdot \vec{b}$ =| $\vec{a}$ |² ，则 $\vec{b}$ 在 $\vec{a}$ 方向上的投影为。

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15. 在四面体ABCD中，AB=4，BC=CD=3，AC=5，且AB⊥CD，当四面体ABCD的体积最大时，其外接球的表面积为.

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16. 已知点P(-4 $\sqrt{3}$ ，0)，因x²+y²=16上两点A，B满足 $\vec{P B} = 2 \vec{P A}$ ，则|AB|=.

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三、解答题：共70分

17. 已知数列{a_n}的前n项和为S_n ，且1，a_n ， S_n成等差数列。

(1)、求a_n ， S_n；

(2)、证明： $\frac{1}{S_{1}} + \frac{1}{S_{2}} + \dots + \frac{1}{S_{n}} < 2$ .

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18. 如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AC=BC=4，AB=4 $\sqrt{3}$ ，M，N分别为AB，CC₁的中点。

(1)、求证：CM∥平面B₁AN；

(2)、若A₁M⊥B₁C，求平面B₁AN与平面B₁MC所成锐二面角的余弦值.

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19. 某城市美团外卖配送员底薪是每月1800元，设每月配送单数为X，若X∈[1，300]，每单提成3元，若X∈（300，600]，每单提成4元，若X∈（600，+∞），每单提成4.5元，饿了么外卖配送员底薪是每月2100元，设每月配送单数为Y，若Y=[1，400]，每单提成3元，若Y∈（400，+∞），每单提成4元，小王想在美团外卖和饿了么外卖之间选择一份配送员工作，他随机调查了美团外卖配送员甲和饿了么外卖配送员乙在2019年4月份（30天）的送餐量数据，如下表：
表1：美团外卖配送员甲送餐量统计

日送餐量x（单）

13

14

16

17

18

20

天数

2

6

12

6

2

2

表2：饿了么外卖配送员乙送餐量统计

日送餐量y（单）

11

13

14

15

16

18

天数

4

5

12

3

5

1

(1)、设美团外卖配送员月工资为f（X），饿了么外卖配送员月工资为g（Y），当X=Y∈（300，600时，比较f（X）与g（Y）的大小关系；

(2)、将4月份的日送餐量的频率视为日送餐量的概率。
（I）计算外卖配送员甲和乙每日送餐量的数学期望E（X）和E（Y）：

（II）请利用所学的统计学知识为小王作出选择，并说明理由.

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20. 已知抛物线Γ：x²=2py（p>0）的焦点为FR0，1），过F且斜率为的直线k₁与l₁交于才，B两点，斜率为k₂（k₂≠0）的直线l₂与Γ相切于点P，且l₂与l₁不垂直，Q为AB的中点。

(1)、若k₁= $\sqrt{3}$ ，求|AB|：

(2)、若直线PQ 过（0，2），求 $\frac{k_{1}}{k_{2}}$

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21. 已知函数f（x）=xlnx- $\frac{1}{4}$ x²-ax+l，a>0，函数g（x）=f'（x）.

(1)、若a=ln2，求g（x）的最大值；

(2)、证明：f（x）有且仅有一个零点.

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22. 在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为 ${\begin{cases} x = 2 \cos φ, \\ y = \sqrt{3} \sin φ . \end{cases}$ （φ为参数），以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线/的极坐标方程为 $\sqrt{2}$ ρcos（θ+ $\frac{π}{4}$ ）=1.

(1)、求曲线C的普通方程和直线l的直角坐标方程；

(2)、设直线l与x轴交于点A，与直线x=4交于点B，点P为曲线C上的动点，求△PAB的面积的最大值。

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23. 实数a，b，c满足a²+b²+c²=3，实数x，y满足x₂+2y²=1.

(1)、求|a+b+c|的最大值；

(2)、判断：ax+（b+c）y=2能否成立？并说明理由.

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日送餐量x（单）	13	14	16	17	18	20
天数	2	6	12	6	2	2

日送餐量y（单）	11	13	14	15	16	18
天数	4	5	12	3	5	1