山东省枣庄市2019年中考数学试卷

试卷更新日期：2019-08-06 类型：中考真卷

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一、单选题

1. 下列运算，正确的是（）

A、 $2 x + 3 y = 5 x y$ B、 ${(x - 3)}^{2} = x^{2} - 9$ C、 ${(x y^{2})}^{2} = x^{2} y^{4}$ D、x⁶÷x³=x²

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2. 下列图形，可以看作中心对称图形的是（）

A、 B、 C、 D、

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3. 将一副直角三角板按如图所示的位置放置，使含30°角的三角板的一条直角边和含45°角的三角板的一条直角边放在同一条直线上，则∠α的度数是（）。

A、45° B、60° C、75° D、85°

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4. 如图，一直线与两坐标轴的正半轴分别交于 $A$ ， $B$ 两点， $P$ 是线段 $A B$ 上任意一点（不包括端点），过点 $P$ 分别作两坐标轴的垂线与两坐标轴围成的矩形的周长为8，则该直线的函数表达式是（）

A、 $y = - x + 4$ B、 $y = x + 4$ C、 $y = x + 8$ D、 $y = - x + 8$

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5. 从﹣1、2、3、﹣6这四个数中任取两数，分别记为 $m$ 、 $n$ ，那么点 $(m ， n)$ 在函数 $y = \frac{6}{x}$ 图象的概率是（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{1}{3}$ C、 $\frac{1}{4}$ D、 $\frac{1}{8}$

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6. 如图，点 $E$ 是正方形 $A B C D$ 的边 $D C$ 上一点，把 $Δ A D E$ 绕点 $A$ 顺时针旋转 $90 °$ 到 $Δ A B F$ 的位置．若四边形AECF的面积为20，DE=2，则AE的长为（）

A、4 B、 $2 \sqrt{5}$ C、6 D、 $2 \sqrt{6}$

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7. 如图，在边长为4的正方形 $A B C D$ 中，以点 $B$ 为圆心， $A B$ 为半径画弧，交对角线 $B D$ 于点 $E$ ，则图中阴影部分的面积是（结果保留 $π$ ）（）

A、 $8 - π$ B、 $16 - 2 π$ C、 $8 - 2 π$ D、 $8 - \frac{1}{2} π$

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8. 如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形 $A B C$ 的顶点 $A$ 、 $B$ 分别在 $x$ 轴、 $y$ 轴的正半轴上， $∠ A B C = 90 °$ ， $C A ⊥ x$ 轴，点 $C$ 在函数 $y = \frac{k}{x} (x > 0)$ 的图象上，若 $A B = 1$ ，则 $k$ 的值为（）

A、1 B、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ C、 $\sqrt{2}$ D、2

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9. 如图，小正方形是按一定规律摆放的，下面四个选项中的图片，适合填补图中空白处的是（）

A、 B、 C、 D、

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10. 点 $O ， A ， B ， C$ 在数轴上的位置如图所示， $O$ 为原点， $A C = 1$ ， $O A = O B$ ．若点 $C$ 所表示的数为 $a$ ，则点 $B$ 所表示的数为（）

A、 $- (a + 1)$ B、 $- (a - 1)$ C、 $a + 1$ D、 $a - 1$

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11. 如图，将 $Δ A B C$ 沿 $B C$ 边上的中线 $A D$ 平移到 $Δ A^{'} B^{'} C^{'}$ 的位置．已知 $Δ A B C$ 的面积为16，阴影部分三角形的面积9．若 $A A^{'} = 1$ ，则 $A^{'} D$ 等于（）

A、2 B、3 C、4 D、 $\frac{3}{2}$

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二、填空题

12. 若 $m - \frac{1}{m} = 3$ ，则 $m^{2} + \frac{1}{m^{2}} =$ ．

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13. 已知关于 $x$ 的方程 $a x^{2} + 2 x - 3 = 0$ 有两个不相等的实数根，则 $a$ 的取值范围是．

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14. 如图，小明为了测量校园里旗杆AB的高度，将测角仪CD竖直放在距旗杆底部B点6m的位置，在D处测得旗杆顶端A的仰角为53°，若测角仪的高度是1.5m，则旗杆AB的高度约为m．（精确到0.1m．参考数据：sin53°≈0.80，cos53°≈0.60，tan53°≈1.33）

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15. 用一条宽度相等的足够长的纸条打一个结（如图1所示），然后轻轻拉紧、压平就可以得到如图2所示的正五边形 $A B C D E$ ．图中， $∠ B A C =$ 度．

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16. 把两个同样大小含 $45 °$ 角的三角尺按如图所示的方式放置，其中一个三角尺的锐角顶点与另一个三角尺的直角顶点重合于点 $A$ ，且另外三个锐角顶点 $B ， C ， D$ 在同一直线上．若 $A B = 2$ ，则 $C D =$ ．

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17. 观察下列各式：
$\sqrt{1 + \frac{1}{1^{2}} + \frac{1}{2^{2}}} = 1 + \frac{1}{1 \times 2} = 1 + (1 - \frac{1}{2})$ ，

$\sqrt{1 + \frac{1}{2^{2}} + \frac{1}{3^{2}}} = 1 + \frac{1}{2 \times 3} = 1 + (\frac{1}{2} - \frac{1}{3})$ ，

$\sqrt{1 + \frac{1}{3^{2}} + \frac{1}{4^{2}}} = 1 + \frac{1}{3 \times 4} = 1 + (\frac{1}{3} - \frac{1}{4})$ ，

请利用你发现的规律，计算：

$\sqrt{1 + \frac{1}{1^{2}} + \frac{1}{2^{2}}} + \sqrt{1 + \frac{1}{2^{2}} + \frac{1}{3^{2}}} + \sqrt{1 + \frac{1}{3^{2}} + \frac{1}{4^{2}}} + \dots + \sqrt{1 + \frac{1}{2018^{2}} + \frac{1}{2019^{2}}}$ ，其结果为．

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三、解答题

18. 先化简，再求值： $\frac{x^{2}}{x^{2} - 1} \div (\frac{1}{x - 1} + 1)$ ，其中 $x$ 为整数且满足不等式组 ${\begin{array}{l} x - 1 > 1, \\ 5 - 2 x \geq - 2. \end{array}$

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19. 如图， $B D$ 是菱形 $A B C D$ 的对角线， $∠ C B D = 75 °$ ，

(1)、请用尺规作图法，作 $A B$ 的垂直平分线 $E F$ ，垂足为 $E$ ，交 $A D$ 于 $F$ ；（不要求写作法，保留作图痕迹）

(2)、在（1）条件下，连接 $B F$ ，求 $∠ D B F$ 的度数．

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20. 对于任意实数 $a$ 、 $b$ ，定义关于“ $\otimes$ ”的一种运算如下： $a \otimes b = 2 a + b$ .例如 $3 \otimes 4 = 2 \times 3 + 4 = 10$ .

(1)、求 $2 \otimes (- 5)$ 的值；

(2)、若 $x \otimes (- y) = 2$ ，且 $2 y \otimes x = - 1$ ，求 $x + y$ 的值.

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21. 4月23日是世界读书日，习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然之气．”某校响应号召，鼓励师生利用课余时间广泛阅读，该校文学社为了解学生课外阅读情况，抽样调查了部分学生每周用于课外阅读的时间，过程如下：

（一）、数据收集，从全校随机抽取20学生，进行每周用于课外阅读时间的调查，数据如下（单位： $\min$ ）：

30	60	81	50	44	110	130	146	80	100
60	80	120	140	75	81	10	30	81	92

（二）、整理数据，按如下分段整理样本数据并补全表格：

课外阅读时间 $x (\min)$	$0 \leq x < 40$	$40 \leq x < 80$	$80 \leq x < 120$	$120 \leq x < 160$
等级	$D$	$C$	$B$	$A$
人数	3	$a$	8	$b$

（三）、分析数据，补全下列表格中的统计量：

平均数	中位数	众数
80	$c$	81

（四）、得出结论：

①表格中的数据： $a =$ ， $b =$ ， $c =$ ；

②用样本中的统计量估计该校学生每周用于课外阅读时间的等级为；

③如果该校现有学生400人，估计等级为“ $B$ ”的学生有人；

④假设平均阅读一本课外书的时间为320分钟，请你用样本平均数估计该校学生每人一年（按52周计算）平均阅读本课外书．

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22. 如图，在 $R t Δ A B C$ 中， $∠ A B C = 90 °$ ，以 $A B$ 为直径作 $⊙ O$ ，点 $D$ 为 $⊙ O$ 上一点，且 $C D = C B$ ，连接 $D O$ 并延长交 $C B$ 的延长线于点 $E$ ．

(1)、判断直线 $C D$ 与 $⊙ O$ 的位置关系，并说明理由；

(2)、若 $B E = 2$ ， $D E = 4$ ，求圆的半径及 $A C$ 的长．

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23. 在 $Δ A B C$ 中， $∠ B A C = 90 °$ ， $A B = A C$ ， $A D ⊥ B C$ 于点 $D$ ．

(1)、如图1，点 $M$ ， $N$ 分别在 $A D$ ， $A B$ 上，且 $∠ B M N = 90 °$ ，当 $∠ A M N = 30 °$ ， $A B = 2$ 时，求线段 $A M$ 的长；

(2)、如图2，点 $E$ ， $F$ 分别在 $A B$ ， $A C$ 上，且 $∠ E D F = 90 °$ ，求证： $B E = A F$ ；

(3)、如图3，点 $M$ 在 $A D$ 的延长线上，点 $N$ 在 $A C$ 上，且 $∠ B M N = 90 °$ ，求证： $A B + A N = \sqrt{2} A M$ ．

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24. 已知抛物线 $y = a x^{2} + \frac{3}{2} x + 4$ 的对称轴是直线 $x = 3$ ，与 $x$ 轴相交于 $A$ ， $B$ 两点（点 $B$ 在点 $A$ 右侧），与 $y$ 轴交于点 $C$ ．

(1)、求抛物线的解析式和 $A$ ， $B$ 两点的坐标；

(2)、如图1，若点 $P$ 是抛物线上 $B$ 、 $C$ 两点之间的一个动点（不与 $B$ 、 $C$ 重合），是否存在点 $P$ ，使四边形 $P B D C$ 的面积最大？若存在，求点 $P$ 的坐标及四边形 PBOC 面积的最大值；若不存在，请说明理由；

(3)、如图2，若点 $M$ 是抛物线上任意一点，过点 $M$ 作 $y$ 轴的平行线，交直线 $B C$ 于点 $N$ ，当 $M N = 3$ 时，求点 $M$ 的坐标．

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