内蒙古通辽市2019年中考数学试卷

试卷更新日期：2019-08-06 类型：中考真卷

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一、单选题

1. $- \frac{1}{2019}$ 的相反数是（）

A、2019 B、 $- \frac{1}{2019}$ C、﹣2019 D、 $\frac{1}{2019}$

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2. $\sqrt{16}$ 的值是（）

A、±4 B、4 C、±2 D、2

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3. 2018年12月，在国家发展改革委发布《关于全力做好2019年春运工作的意见》中预测，2019年春运全国民航旅客发送量将达到7300万人次，比上一年增长12%，其中7300万用科学记数法表示为（）

A、73×10⁶ B、7.3×10³ C、7.3×10⁷ D、0.73×10⁸

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4. 下列几何体是由4个相同的小正方体搭成的，其中左视图和俯视图相同的是（）

A、 B、 C、 D、

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5. 如图，直线 $y = k x + b (k \neq 0)$ 经过点 $(- 1 ， 3)$ ，则不等式 $k x + b \geq 3$ 的解集为（）

A、 $x > - 1$ B、 $x < - 1$ C、 $x \geq 3$ D、 $x \geq - 1$

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6. 一个菱形的边长是方程 $x^{2} - 8 x + 15 = 0$ 的一个根，其中一条对角线长为8，则该菱形的面积为（）

A、48 B、24 C、24或40 D、48或80

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7. 如图，等边三角形 $A B C$ 内接于 $⊙ O$ ，若 $⊙ O$ 的半径为2，则图中阴影部分的面积等于（）

A、 $\frac{π}{3}$ B、 $\frac{2 π}{3}$ C、 $\frac{4 π}{3}$ D、 $2 π$

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8. 现有以下命题：
①斜边中线和一个锐角分别对应相等的两个直角三角形全等；②一个图形和它经过平移所得的图形中，各组对应点所连接的线段平行且相等；③通常温度降到0℃以下，纯净的水会结冰是随机事件；④一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等；⑤在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；其中真命题的个数有（）

A、1个 B、2个 C、3个 D、4个

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9. 关于 $x ， y$ 的二元一次方程组 ${\begin{array}{l} x - 2 y = k \\ 2 x - 3 y = - 4 k \end{array}$ 的解满足 $x < y$ ，则直线 $y = k x - k - 1$ 与双曲线 $y = \frac{k}{x}$ 在同一平面直角坐标系中大致图象是（）

A、 B、 C、 D、

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10. 平面直角坐标系中，二次函数y＝ax²+bx+c（a≠0）的图象如图所示，现给出下列结论：①abc＜0；②c+2a＞0；③9a﹣3b+c＝0；④a﹣b≤am²+bm（m为实数）；⑤4ac﹣b²＜0．其中正确结论的个数是（）

A、2 B、3 C、4 D、5

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二、填空题

11. 如图，是我市6月份某7天的最高气温折线统计图，则这些最高气温的中位数是℃．

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12. 某机床生产一种零件，在6月6日至9日这4天中出现次品的数量如下表：

日期

6月6日

6月7日

6月8日

6月9日

次品数量（个）

1

0

2

$a$

若出现次品数量的唯一众数为1，则数据1，0，2， $a$ 的方差等于．

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13. 如图，在矩形 $A B C D$ 中， $A D = 8$ ，对角线 $A C$ 与 $B D$ 相交于点 $O$ ， $A E ⊥ B D$ ，垂足为点 $E$ ，且 $A E$ 平分 $∠ B A C$ ，则 $A B$ 的长为.

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14. 已知三个边长分别为2 $c m$ ，3 $c m$ ，5 $c m$ 的正方形如图排列，则图中阴影部分的面积为．

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15. 腰长为5，高为4的等腰三角形的底边长为．

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16. 取5张看上去无差别的卡片，分别在正面写上数字1，2，3，4，5，现把它们洗匀正面朝下，随机摆放在桌面上．从中任意抽出1张，记卡片上的数字为 $m$ ，则数字 $m$ 使分式方程 $\frac{x}{x - 1} - 1 = \frac{m}{(x - 1) (x + 2)}$ 无解的概率为．

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17. 如图，在边长为3的菱形 $A B C D$ 中， $∠ A = 60^{\circ}$ ， $M$ 是 $A D$ 边上的一点，且 $A M = \frac{1}{3} A D$ ， $N$ 是 $A B$ 边上的一动点，将 $Δ A M N$ 沿 $M N$ 所在直线翻折得到 $Δ A' M N$ ，连接 $A' C$ ．则 $A' C$ 长度的最小值是．

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三、解答题

18. 计算： $- 1^{4} - | \sqrt{3} - 1 | + {(\sqrt{2} - 1.414)}^{0} + 2 \sin 60^{°} - {(- \frac{1}{2})}^{- 1}$

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19. 先化简，再求值．
$\frac{1}{1 - x} \div \frac{x^{2} + 2 x}{x^{2} - 2 x + 1} + \frac{1}{x + 2}$ ，请从不等式组 ${\begin{array}{l} 5 - 2 x ⩾ 1 \\ x + 3 > 0 \end{array}$ 的整数解中选择一个你喜欢的求值．

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20. 两栋居民楼之间的距离 $C D = 30 m$ ，楼 $A C$ 和 $B D$ 均为10层，每层楼高为 $3 m$ ．上午某时刻，太阳光线 $G B$ 与水平面的夹角为30°，此刻楼 $B D$ 的影子会遮挡到楼 $A C$ 的第几层？（参考数据： $\sqrt{3} \approx 1.7$ ， $\sqrt{2} \approx 1.4$ ）

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21. 有四张反面完全相同的纸牌 $A ， B ， C ， D$ ，其正面分别画有四个不同的几何图形，将四张纸牌洗匀正面朝下随机放在桌面上．

(1)、从四张纸牌中随机摸出一张，摸出的牌面图形是中心对称图形的概率是．

(2)、小明和小亮约定做一个游戏，其规则为：先由小明随机摸出一张，不放回．再由小亮从剩下的纸牌中随机摸出一张，若摸出的两张牌面图形既是轴对称图形又是中心对称图形，则小亮获胜，否则小明获胜．这个游戏公平吗？请用列表法（或画树状图）说明理由．（纸牌用 $A ， B ， C ， D$ 表示）若不公平，请你帮忙修改一下游戏规则，使游戏公平．

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22. 通辽市某中学为了了解学生“大课间”活动情况，在七、八、九年级的学生中，分别抽取了相同数量的学生对“你最喜欢的运动项目”进行调查（每人只能选一项），调查结果的部分数据如下表（图）所示，其中七年级最喜欢跳绳的人数比八年级多5人，九年级最喜欢排球的人数为10人．
七年级学生最喜欢的运动项目人数统计表

项目

排球

篮球

踢毽

跳绳

其他

人数（人）

7

8

14

6

请根据以上统计表（图）解答下列问题：

(1)、本次调查共抽取了多少人？

(2)、补全统计表和统计图．

(3)、该校有学生1800人，学校想对“最喜欢踢毽子”的学生每4人提供一个毽子，学校现有124个毽子，能否够用？请说明理由．

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23. 如图， $Δ A B C$ 内接于⊙ $O$ ， $A B$ 是⊙ $O$ 的直径， $A C = C E$ ，连接 $A E$ 交 $B C$ 于点 $D$ ，延长 $D C$ 至 $F$ 点，使 $C F = C D$ ，连接 $A F$ ．

(1)、判断直线 $A F$ 与⊙ $O$ 的位置关系，并说明理由．

(2)、若 $A C = 10$ ， $\tan ∠ C A E = \frac{3}{4}$ ，求 $A E$ 的长．

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24. 当今，越来越多的青少年在观看影片《流浪地球》后，更加喜欢同名科幻小说，该小说销量也急剧上升．书店为满足广大顾客需求，订购该科幻小说若干本，每本进价为20元．根据以往经验：当销售单价是25元时，每天的销售量是250本；销售单价每上涨1元，每天的销售量就减少10本，书店要求每本书的利润不低于10元且不高于18元．

(1)、直接写出书店销售该科幻小说时每天的销售量 $y$ （本）与销售单价 $x$ （元）之间的函数关系式及自变量的取值范围．

(2)、书店决定每销售1本该科幻小说，就捐赠 $a (0 < a \leq 6)$ 元给困难职工，每天扣除捐赠后可获得最大利润为1960元，求 $a$ 的值．

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25.
如图，点P是正方形ABCD内的一点，连接CP，将线段CP绕点C顺时针旋转90°，得到线段CQ，连接BP，DQ．

(1)、如图a，求证：△BCP≌△DCQ；

(2)、如图，延长BP交直线DQ于点E．
①如图b，求证：BE⊥DQ；
②如图c，若△BCP为等边三角形，判断△DEP的形状，并说明理由．

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26. 已知，如图，抛物线 $y = a x^{2} + b x + c (a \neq 0)$ 的顶点为 $M (1 ， 9)$ ，经过抛物线上的两点 $A (- 3 ， - 7)$ 和 $B (3 ， m)$ 的直线交抛物线的对称轴于点 $C$ ．

(1)、求抛物线的解析式和直线 $A B$ 的解析式．

(2)、在抛物线上 $A ， M$ 两点之间的部分（不包含 $A ， M$ 两点），是否存在点 $D$ ，使得 $S_{Δ D A C} = 2 S_{Δ D C M}$ ？若存在，求出点 $D$ 的坐标；若不存在，请说明理由．

(3)、若点 $P$ 在抛物线上，点 $Q$ 在 $x$ 轴上，当以点 $A ， M ， P ， Q$ 为顶点的四边形是平行四边形时，直接写出满足条件的点 $P$ 的坐标．

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日期	6月6日	6月7日	6月8日	6月9日
次品数量（个）	1	0	2	$a$

项目	排球	篮球	踢毽	跳绳	其他
人数（人）	7	8	14		6