内蒙古巴彦淖尔市、包头市2019年中考数学试卷

试卷更新日期：2019-08-06 类型：中考真卷

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一、单选题

1. 计算 $| - \sqrt{9} | + {(\frac{1}{3})}^{- 1}$ 的结果是（）

A、 $0$ B、 $\frac{8}{3}$ C、 $\frac{10}{3}$ D、 $6$

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2. 实数 $a ， b$ 在数轴上的对应点的位置如图所示．下列结论正确的是（）

A、 $a > b$ B、 $a > - b$ C、 $- a > b$ D、 $- a < b$

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3. 一组数据 $2 ， 3 ， 5 ， x ， 7 ， 4 ， 6 ， 9$ 的众数是 $4$ ，则这组数据的中位数是（）

A、 $4$ B、 $\frac{9}{2}$ C、 $5$ D、 $\frac{11}{2}$

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4. 一个圆柱的三视图如图所示，若其俯视图为圆，则这个圆柱的体积为（）

A、 $24$ B、 $24 π$ C、 $96$ D、 $96 π$

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5. 在函数 $y = \frac{3}{x - 2} - \sqrt{x + 1}$ 中，自变量 $x$ 的取值范围是（）

A、 $x > - 1$ B、 $x \geq - 1$ C、 $x > - 1$ 且 $x \neq 2$ D、 $x \geq - 1$ 且 $x \neq 2$

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6. 下列说法正确的是（）

A、立方根等于它本身的数一定是 $1$ 和 $0$ B、顺次连接菱形四边中点得到的四边形是矩形 C、在函数 $y = k x + b (k \neq 0)$ 中， $y$ 的值随着 $x$ 值的增大而增大 D、如果两个圆周角相等，那么它们所对的弧长一定相等

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7. 如图，在 $R t Δ A B C$ 中， $∠ B = 90^{\circ}$ ，以点 $A$ 为圆心，适当长为半径画弧，分别交 $A B 、 A C$ 于点 $D ， E$ ，再分别以点 $D 、 E$ 为圆心，大于 $\frac{1}{2} D E$ 为半径画弧，两弧交于点 $F$ ，作射线 $A F$ 交边 $B C$ 于点 $B G = 1 ， A C = 4$ ，则 $Δ A C G$ 的面积是（）

A、 $1$ B、 $\frac{3}{2}$ C、 $2$ D、 $\frac{5}{2}$

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8. 如图，在 $R t Δ A B C$ 中， $∠ A C B = 90^{°} ， A C = B C = 2 \sqrt{2}$ ，以 $B C$ 为直径作半圆，交 $A B$ 于点 $D$ ，则阴影部分的面积是（）

A、 $π - 1$ B、 $4 - π$ C、 $\sqrt{2}$ D、 $2$

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9. 下列命题：
①若 $x^{2} + k x + \frac{1}{4}$ 是完全平方式，则 $k = 1$ ；②若 $A (2 ， 6) ， B (0 ， 4) ， P (1 ， m)$ 三点在同一直线上，则 $m = 5$ ；③等腰三角形一边上的中线所在的直线是它的对称轴；④一个多边形的内角和是它的外角和的 $2$ 倍，则这个多边形是六边形．其中真命题个数是（）

A、 $1$ B、 $2$ C、 $3$ D、 $4$

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10. 已知等腰三角形的三边长分别为 $a 、 b 、 4$ ，且a、b是关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2} - 12 x + m + 2 = 0$ 的两根，则 $m$ 的值是（）

A、 $34$ B、 $30$ C、 $30$ 或 $34$ D、 $30$ 或 $36$

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11. 如图，在正方形 $A B C D$ 中， $A B = 1$ ，点 $E ， F$ 分别在边 $B C$ 和 $C D$ 上， $A E = A F$ ， $∠ E A F = 60^{\circ}$ ，则 $C F$ 的长是（）

A、 $\frac{\sqrt{3} + 1}{4}$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ C、 $\sqrt{3} - 1$ D、 $\frac{2}{3}$

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12. 如图，在平面直角坐标系中，已知 $A (- 3 ， - 2) ， B (0 ， - 2) ， C (- 3 ， 0) ， M$ 是线段 $A B$ 上的一个动点，连接 $C M$ ，过点 $M$ 作 $M N ⊥ M C$ 交 $y$ 轴于点 $N$ ，若点 $M 、 N$ 在直线 $y = k x + b$ 上，则 $b$ 的最大值是（）

A、 $- \frac{7}{8}$ B、 $- \frac{3}{4}$ C、 $- 1$ D、 $0$

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二、填空题

13. 2018年我国国内生产总值（ $G D P$ ）是 $900309$ 亿元，首次突破 $90$ 万亿大关， $90$ 万亿用科学记数法表示为．

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14. 已知不等式组 ${\begin{array}{l} 2 x + 9 > - 6 x + 1 \\ x - k > 1 \end{array}$ 的解集为 $x > - 1$ ，则 $k$ 的取值范围是．

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15. 化简： $1 - \frac{a - 1}{a + 2} \div \frac{a^{2} - 1}{a^{2} + 4 a + 4} =$ ．

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16. 甲、乙两班举行数学知识竞赛，参赛学生的竞赛得分统计结果如下表：

某同学分析上表后得到如下结论：

①甲、乙两班学生的平均成绩相同；②乙班优秀的人数少于甲班优秀的人数（竞赛得分 $\geq 85$ 分为优秀）；③甲班成绩的波动性比乙班小．上述结论中正确的是．（填写所有正确结论的序号）

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17. 如图，在 $Δ A B C$ 中， $∠ C A B = 55^{°} ， ∠ A B C = 25^{°}$ ，在同一平面内，将 $Δ A B C$ 绕 $A$ 点逆时针旋转 $70^{\circ}$ 得到 $Δ A D E$ ，连接 $E C$ ，则 $\tan ∠ D E C$ 的值是．

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18. 如图， $B D$ 是⊙ $O$ 的直径， $A$ 是⊙ $O$ 外一点，点 $C$ 在⊙ $O$ 上， $A C$ 与⊙ $O$ 相切于点 $C$ ， $∠ C A B = 90^{\circ}$ ，若 $B D = 6 ， A B = 4 ， ∠ A B C = ∠ C B D$ ，则弦 $B C$ 的长为．

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19. 如图，在平面直角坐标系中，已知 $A (- 1 ， 0) ， B (0 ， 2)$ ，将 $Δ A B O$ 沿直线 $A B$ 翻折后得到 $Δ A B C$ ，若反比例函数 $y = \frac{k}{x} (x < 0)$ 的图象经过点 $C$ ，则 $k =$ ．

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20. 如图，在 $R t Δ A B C$ 中， $∠ A B C = 90^{°} ， B C = 3 ， D$ 为斜边 $A C$ 的中点，连接 $B D$ ，点 $F$ 是 $B C$ 边上的动点（不与点 $B 、 C$ 重合），过点 $B$ 作 $B E ⊥ B D$ 交 $D F$ 延长线交于点 $E$ ，连接 $C E$ ，下列结论：①若 $B F = C F$ ，则 $C E^{2} + A D^{2} = D E^{2}$ ；②若 $∠ B D E = ∠ B A C ， A B = 4$ ，则 $C E = \frac{15}{8}$ ；③ $Δ A B D$ 和 $Δ C B E$ 一定相似；④若 $∠ A = 30^{°} ， ∠ B C E = 90^{°}$ ，则 $D E = \sqrt{21}$ ．其中正确的是．（填写所有正确结论的序号）

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三、解答题

21. 某校为了解九年级学生的体育达标情况，随机抽取 $50$ 名九年级学生进行体育达标项目测试，测试成绩如下表，请根据表中的信息，解答下列问题：

(1)、该校九年级有 $450$ 名学生，估计体育测试成绩为 $25$ 分的学生人数；

(2)、该校体育老师要对本次抽测成绩为 $23$ 分的甲、乙、丙、丁 $4$ 名学生进行分组强化训练，要求两人一组，求甲和乙恰好分在同一组的概率．（用列表或树状图方法解答）

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22. 如图，在四边形 $A B C D$ 中， $A D / / B C ， A B = B C ， ∠ B A D = 90^{°} ， A C$ 交 $B D$ 于点 $E$ ， $∠ A B D = 30^{\circ} ， A D = \sqrt{3}$ ，求线段 $A C$ 和 $B E$ 的长．
（注： $\frac{1}{\sqrt{a} + \sqrt{b}} = \frac{\sqrt{a} - \sqrt{b}}{(\sqrt{a} + \sqrt{b}) (\sqrt{a} - \sqrt{b})}$ $= \frac{\sqrt{a} - \sqrt{b}}{a - b}$ ）

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23. 某出租公司有若干辆同一型号的货车对外出租，每辆货车的日租金实行淡季、旺季两种价格标准，旺季每辆货车的日租金比淡季上涨 $\frac{1}{3}$ ．据统计，淡季该公司平均每天有 $10$ 辆货车未出租，日租金总收入为 $1500$ 元；旺季所有的货车每天能全部租出，日租金总收入为 $4000$ 元．

(1)、该出租公司这批对外出租的货车共有多少辆？淡季每辆货车的日租金多少元？

(2)、经市场调查发现，在旺季如果每辆货车的日租金每上涨 $20$ 元，每天租出去的货车就会减少 $1$ 辆，不考虑其它因素，每辆货车的日租金上涨多少元时，该出租公司的日租金总收入最高？

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24. 如图，在⊙ $O$ 中， $B$ 是⊙ $O$ 上的一点， $∠ A B C = 120^{\circ}$ ，弦 $A C = 2 \sqrt{3}$ ，弦 $B M$ 平分 $∠ A B C$ 交 $A C$ 于点 $D$ ，连接 $M A ， M C$ ．

(1)、求⊙ $O$ 半径的长；

(2)、求证： $A B + B C = B M$ ．

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25. 如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线 $y = a x^{2} + b x + 2 (a \neq 0)$ 与 $x$ 轴交于 $A (- 1 ， 0)$ ）， $B (3 ， 0)$ 两点，与 $y$ 轴交于点 $C$ ，连接 $B C$ ．

(1)、求该抛物线的解析式，并写出它的对称轴；

(2)、点 $D$ 为抛物线对称轴上一点，连接 $C D 、 B D$ ，若 $∠ D C B = ∠ C B D$ ，求点 $D$ 的坐标；

(3)、已知 $F (1 ， 1)$ ，若 $E (x ， y)$ 是抛物线上一个动点（其中 $1 < x < 2$ ），连接 $C E 、 C F 、 E F$ ，求 $Δ C E F$ 面积的最大值及此时点 $E$ 的坐标．

(4)、若点 $N$ 为抛物线对称轴上一点，抛物线上是否存在点 $M$ ，使得以 $B ， C ， M ， N$ 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出所有满足条件的点 $M$ 的坐标；若不存在，请说明理由．

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