湖南省株洲市2019年中考数学试卷

试卷更新日期：2019-08-06 类型：中考真卷

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一、单选题

1. $- 3$ 的倒数是（）

A、 $- \frac{1}{3}$ B、 $\frac{1}{3}$ C、 $- 3$ D、3

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2. $\sqrt{2} \times \sqrt{8} =$ （）

A、 $4 \sqrt{2}$ B、4 C、 $\sqrt{10}$ D、 $2 \sqrt{2}$

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3. 下列各式中，与3x²y³是同类项的是（）

A、 $2 x^{5}$ B、 $3 x^{3} y^{2}$ C、 $- \frac{1}{2} x^{2} y^{3}$ D、 $- \frac{1}{3} y^{5}$

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4. 对于任意的矩形，下列说法一定正确的是（）

A、对角线垂直且相等 B、四边都互相垂直 C、四个角都相等 D、是轴对称图形，但不是中心对称图形

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5. 关于 $x$ 的分式方程 $\frac{2}{x} - \frac{5}{x - 3} = 0$ 的解为（）

A、 $- 3$ B、 $- 2$ C、2 D、3

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6. 在平面直角坐标系中，点 $A (2, - 3)$ 位于哪个象限？（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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7. 若一组数据x ， 3，1，6，3的中位数和平均数相等，则x的值为（）

A、2 B、3 C、4 D、5

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8. 下列各选项中因式分解正确的是（）

A、 $x^{2} - 1 = {(x - 1)}^{2}$ B、 $a^{3} - 2 a^{2} + a = a^{2} (a - 2)$ C、 $- 2 y^{2} + 4 y = - 2 y (y + 2)$ D、 $m^{2} n - 2 m n + n = n {(m - 1)}^{2}$

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9. 如图所示，在直角平面坐标系 $\frac{L}{n}$ 中，点 $A 、 B 、 C$ 为反比例函数 $y = \frac{k}{x} (k > 0)$ 上不同的三点，连接 $O A 、 O B 、 O C$ ，过点 $A$ 作 $A D ⊥ y$ 轴于点 $D$ ，过点 $B 、 C$ 分别作 $B E ， C F$ 垂直 $x$ 轴于点 $E 、 F$ ， $O C$ 与 $B E$ 相交于点 $M$ ，记 $Δ A O D$ 、 $Δ B O M$ 、四边形 $C M E F$ 的面积分别为 $S_{1}$ 、 $S_{2}$ 、 $S_{3}$ ，则（）

A、 $S_{1} = S_{2} + S_{3}$ B、 $S_{2} = S_{3}$ C、 $S_{3} > S_{2} > S_{1}$ D、 $S_{1} S_{2} < S_{3}^{2}$

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10. 从 $- 1$ ，1，2，4四个数中任取两个不同的数（记作 $a_{k} ， b_{k}$ ）构成一个数组 $M_{K} = {a_{k} ， b_{k}}$ （其中 $k = 1 ， 2 ， \dots ， S$ ，且将 ${a_{k} ， b_{k}}$ 与 ${b_{k} ， a_{k}}$ 视为同一个数组），若满足：对于任意的 $M_{i} = {a_{i} ， b_{i}}$ 和 $M_{j} = {a_{i} ， b_{j}} (i \neq j ， 1 \leq i \leq S ， 1 \leq j \leq S)$ 都有 $a_{i} + b_{i} \neq a_{j} + b_{j}$ ，则 $S$ 的最大值（）

A、10 B、6 C、5 D、4

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二、填空题

11. 若二次函数 $y = a x^{2} + b x$ 的图象开口向下，则 $a$ 0（填“＝”或“>”或“<”）．

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12. 若一个盒子中有6个白球，4个黑球，2个红球，且各球的大小与质地都相同，现随机从中摸出一个球，得到白球的概率是．

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13. 如图所示，在 $R t Δ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ， $C M$ 是斜边 $A B$ 上的中线， $E 、 F$ 分别为 $M B 、 B C$ 的中点，若 $E F = 1$ ，则 $A B =$ ．

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14. 若 $a$ 为有理数，且 $2 - a$ 的值大于1，则 $a$ 的取值范围为．

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15. 如图所示，过正五边形 $A B C D E$ 的顶点 $B$ 作一条射线与其内角 $∠ E A B$ 的角平分线相交于点 $P$ ，且 $∠ A B P = 60 °$ ，则 $∠ A P B =$ 度．

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16. 如图所示， $A B$ 为 $⊙ O$ 的直径，点 $C$ 在 $⊙ O$ 上，且 $O C ⊥ A B$ ，过点 $C$ 的弦 $C D$ 与线段 $O B$ 相交于点 $E$ ，满足 $∠ A E C = 65 °$ ，连接 $A D$ ，则 $∠ B A D =$ 度．

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17. 《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有善行者行一百步，不善行者行六十步．今不善行者先行一百步，善行者追之，问几何步及之？“其意思为：速度快的人走100步，速度慢的人只走60步，现速度慢的人先走100步，速度快的人去追赶，则速度快的人要走步才能追到速度慢的人．

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18. 如图所示，在平面直角坐标系 $x O y$ 中，在直线 $x = 1$ 处放置反光镜Ⅰ，在 $y$ 轴处放置一个有缺口的挡板Ⅱ，缺口为线段 $A B$ ，其中点 $A (0 ， 1)$ ，点 $B$ 在点 $A$ 上方，且 $A B = 1$ ，在直线 $x = - 1$ 处放置一个挡板Ⅲ，从点 $O$ 发出的光线经反光镜Ⅰ反射后，通过缺口 $A B$ 照射在挡板Ⅲ上，则落在挡板Ⅲ上的光线的长度为．

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三、解答题

19. 计算： $| - \sqrt{3} | + π^{0} - 2 \cos 30 °$ ．

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20. 先化简，再求值： $\frac{a^{2} - a}{{(a - 1)}^{2}} - \frac{a + 1}{a}$ ，其中 $a = \frac{1}{2}$ ．

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21. 小强的爸爸准备驾车外出．启动汽车时，车载报警系统显示正前方有障碍物，此时在眼睛点 $A$ 处测得汽车前端 $F$ 的俯角为 $α$ ，且 $\tan α = \frac{1}{3}$ ，若直线 $A F$ 与地面 $l_{1}$ 相交于点 $B$ ，点 $A$ 到地面 $l_{1}$ 的垂线段 $A C$ 的长度为1.6米，假设眼睛 $A$ 处的水平线 $l_{2}$ 与地面 $l_{1}$ 平行．

(1)、求 $B C$ 的长度；

(2)、假如障碍物上的点 $M$ 正好位于线段 $B C$ 的中点位置（障碍物的横截面为长方形，且线段 $M N$ 为此长方形前端的边）， $M N ⊥ l_{1}$ ，若小强的爸爸将汽车沿直线 $l_{1}$ 后退0.6米，通过汽车的前端 $F_{1}$ 点恰好看见障碍物的顶部 $N$ 点（点 $D$ 为点 $A$ 的对应点，点 $F_{1}$ 为点 $F$ 的对应点），求障碍物的高度．

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22. 某甜品店计划订购一种鲜奶，根据以往的销售经验，当天的需求量与当天的最高气温 $T$ 有关，现将去年六月份（按30天计算）的有关情况统计如下：
（最高气温与需求量统计表）

最高气温 $T$ （单位：℃）

需求量（单位：杯）

$T < 25$

200

$25 \leq T < 30$

250

$T \geq 30$

400

(1)、求去年六月份最高气温不低于30℃的天数；

(2)、若以最高气温位于各区间的频率估计最高气温位于该区间的概率，求去年六月份这种鲜奶一天的需求量不超过200杯的概率；

(3)、若今年六月份每天的进货量均为350杯，每杯的进价为4元，售价为8元，未售出的这种鲜奶厂家以1元的价格收回销毁，假设今年与去年的情况大致一样，若今年六月份某天的最高气温 $T$ 满足 $25 \leq T < 30$ （单位：℃），试估计这一天销售这种鲜奶所获得的利润为多少元？

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23. 如图所示，已知正方形 $O E F G$ 的顶点 $O$ 为正方形 $A B C D$ 对角线 $A C 、 B D$ 的交点，连接 $C E 、 D G$ ．

(1)、求证： $Δ D O G ≌ Δ C O E$ ；

(2)、若 $D G ⊥ B D$ ，正方形 $A B C D$ 的边长为2，线段 $A D$ 与线段 $O G$ 相交于点 $M$ ， $A M = \frac{1}{2}$ ，求正方形 $O E F G$ 的边长．

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24. 如图所示，在平面直角坐标系 $\frac{L}{n}$ 中，等腰 $Δ O A B$ 的边 $O B$ 与反比例函数 $y = \frac{m}{x} (m > 0)$ 的图象相交于点 $C$ ，其中 $O B = A B$ ，点 $A$ 在 $x$ 轴的正半轴上，点 $B$ 的坐标为 $(2 ， 4)$ ，过点 $C$ 作 $C H ⊥ x$ 轴于点 $H$ ．

(1)、已知一次函数的图象过点 $O ， B$ ，求该一次函数的表达式；

(2)、若点 $P$ 是线段 $A B$ 上的一点，满足 $O C = \sqrt{3} A P$ ，过点 $P$ 作 $P Q ⊥ x$ 轴于点 $Q$ ，连结 $O P$ ，记 $Δ O P Q$ 的面积为 $S_{Δ O P Q}$ ，设 $A Q = t$ ， $T = O H^{2} - S_{Δ O P Q}$ .
①用 $t$ 表示 $T$ （不需要写出 $t$ 的取值范围）；

②当 $T$ 取最小值时，求 $m$ 的值．

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25. 四边形 $A B C D$ 是 $⊙ O$ 的圆内接四边形，线段 $A B$ 是 $⊙ O$ 的直径，连结 $A C 、 B D$ ．点 $H$ 是线段 $B D$ 上的一点，连结 $A H 、 C H$ ，且 $∠ A C H = ∠ C B D ， A D = C H$ ， $B A$ 的延长线与 $C D$ 的延长线相交与点 $P$ ．

(1)、求证：四边形 $A D C H$ 是平行四边形；

(2)、若 $A C = B C ， P B = \sqrt{5} P D$ ， $A B + C D = 2 (\sqrt{5} + 1)$
①求证： $Δ D H C$ 为等腰直角三角形；

②求 $C H$ 的长度．

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最高气温 $T$ （单位：℃）	需求量（单位：杯）
$T < 25$	200
$25 \leq T < 30$	250
$T \geq 30$	400