湖南省长沙市2019年中考数学试卷

试卷更新日期：2019-08-06 类型：中考真卷

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一、单选题

1. 下列各数中，比﹣3小的数是（）

A、﹣5 B、﹣1 C、0 D、1

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2. 根据《长沙市电网供电能力提升三年行动计划》，明确到2020年，长沙电网建设改造投资规模达到15000000000元，确保安全供用电需求数据15000000000用科学记数法表示为（）

A、 $15 \times 10^{9}$ B、 $1.5 \times 10^{9}$ C、 $1.5 \times 10^{10}$ D、 $0.15 \times 10^{11}$

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3. 下列计算正确的是（）

A、 $3 a + 2 b = 5 a b$ B、 ${(a^{3})}^{2} = a^{6}$ C、 $a^{6} \div a^{3} = a^{2}$ D、 ${(a + b)}^{2} = a^{2} + b^{2}$

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4. 下列事件中，是必然事件的是（）

A、购买一张彩票，中奖 B、射击运动员射击一次，命中靶心 C、经过有交通信号灯的路口，遇到红灯 D、任意画一个三角形，其内角和是180°

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5. 如图，平行线AB ， CD被直线AE所截，∠1＝80°，则∠2的度数是（）

A、80° B、90° C、100° D、110°

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6. 某个几何体的三视图如图所示，该几何体是（）

A、 B、 C、 D、

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7. 在庆祝新中国成立70周年的校园歌唱比赛中，11名参赛同学的成绩各不相同，按照成绩取前5名进入决赛．如果小明知道了自己的比赛成绩，要判断能否进入决赛，小明需要知道这11名同学成绩的（）

A、平均数 B、中位数 C、众数 D、方差

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8. 一个扇形的半径为6，圆心角为120°，则该扇形的面积是（）

A、2π B、4π C、12π D、24π

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9. 如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，分别以点A和点B为圆心，大于 $\frac{1}{2} A B$ 的长为半径作弧，两弧相交于M、N两点，作直线MN ，交BC于点D ，连接AD ，则∠CAD的度数是（）

A、20° B、30° C、45° D、60°

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10. 如图，一艘轮船从位于灯塔C的北偏东60°方向，距离灯塔60 n mile的小岛A出发，沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔C的南偏东45°方向上的B处，这时轮船B与小岛A的距离是（）

A、 $30 \sqrt{3}$ n mile B、60 n mile C、120 n mile D、 $(30 + 30 \sqrt{3})$ n mile

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11. 《孙子算经》是中国传统数学的重要著作，其中有一道题，原文是：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺．木长几何?”意思是：用一根绳子去量一根木头的长、绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量木头，则木头还剩余1尺，问木头长多少尺？可设木头长为x尺，绳子长为y尺，则所列方程组正确的是（）

A、 ${\begin{array}{l} y = x + 4.5 \\ 0.5 y = x - 1 \end{array}$ B、 ${\begin{array}{l} y = x + 4.5 \\ y = 2 x - 1 \end{array}$ C、 ${\begin{array}{l} y = x - 4.5 \\ 0.5 y = x + 1 \end{array}$ D、 ${\begin{array}{l} y = x - 4.5 \\ y = 2 x - 1 \end{array}$

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12. 如图，△ABC中，AB＝AC＝10，tanA＝2，BE⊥AC于点E ， D是线段BE上的一个动点，则 $C D + \frac{\sqrt{5}}{5} B D$ 的最小值是（）

A、 $2 \sqrt{5}$ B、 $4 \sqrt{5}$ C、 $5 \sqrt{3}$ D、10

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二、填空题

13. 若式子 $\sqrt{x - 5}$ 在实数范围内有意义，则x的取值范围是．

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14. 分解因式：am²﹣9a= ．

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15. 不等式组 ${\begin{array}{l} x + 1 \geq 0 \\ 3 x - 6 < 0 \end{array}$ 的解集是．

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16. 在一个不透明的袋子中有若干个小球，这些球除颜色外无其他差别，从袋中随机摸出一球，记下其颜色，这称为一次摸球试验，然后把它重新放回袋中并摇匀，不断重复上述过程．以下是利用计算机模拟的摸球试验统计表：

摸球实验次数

100

1000

5000

10000

50000

100000

“摸出黑球”的次数

387

2019

4009

19970

40008

“摸出黑球”的频率

（结果保留小数点后三位）

0.360

0.387

0.404

0.401

0.399

0.400

根据试验所得数据，估计“摸出黑球”的概率是（结果保留小数点后一位）．

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17. 如图，要测量池塘两岸相对的A ， B两点间的距离，可以在池塘外选一点C ，连接AC ， BC ，分别取AC ， BC的中点D ， E ，测得DE＝50m ，则AB的长是m ．

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18. 如图，函数 $y = \frac{k}{x}$ (k为常数，k＞0)的图象与过原点的O的直线相交于A ， B两点，点M是第一象限内双曲线上的动点（点M在点A的左侧），直线AM分别交x轴，y轴于C ， D两点，连接BM分别交x轴，y轴于点E ， F ．现有以下四个结论：①△ODM与△OCA的面积相等；②若BM⊥AM于点M ，则∠MBA＝30°；③若M点的横坐标为1，△OAM为等边三角形，则 $k = 2 + \sqrt{3}$ ；④若 $M F = \frac{2}{5} M B$ ，则MD＝2MA ．其中正确的结论的序号是．

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三、解答题

19. 计算： $| - \sqrt{2} | + {(\frac{1}{2})}^{- 1} - \sqrt{6} \div \sqrt{3} - 2 \cos 60 °$ ．

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20. 先化简，再求值： $(\frac{a + 3}{a - 1} - \frac{1}{a - 1}) \div \frac{a^{2} + 4 a + 4}{a^{2} - a}$ ，其中a＝3．

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21. 某学校开展了主题为“垃圾分类，绿色生活新时尚”的宣传活动，为了解学生对垃圾分类知识的掌握情况，该校环保社团成员在校园内随机抽取了部分学生进行问卷调查，将他们的得分按优秀、良好、合格、待合格四个等级进行统计，并绘制了如下不完整的统计表和条形统计图．

等级	频数	频率
优秀	21	42%
良好	m	40%
合格	6	n%
待合格	3	6%

请根据以上信息，解答下列问题：

(1)、本次调查随机抽取了名学生；表中m＝， n＝；

(2)、补全条形统计图；

(3)、若全校有2000名学生，请你估计该校掌握垃圾分类知识达到“优秀”和“良好”等级的学生共有多少人．

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22. 如图，正方形ABCD ，点E ， F分别在AD ， CD上，且DE＝CF ， AF与BE相交于点G ．

(1)、求证：BE＝AF；

(2)、若AB＝4，DE＝1，求AG的长．

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23. 近日，长沙市教育局出台《长沙市中小学教师志愿辅导工作实施意见》鼓励教师与志愿辅导，某区率先示范，推出名师公益大课堂，为学生提供线上线下免费辅导，据统计，第一批公益课受益学生2万人次，第三批公益课受益学生2.42万人次．

(1)、如果第二批，第三批公益课受益学生人次的增长率相同，求这个增长率；

(2)、按照这个增长率，预计第四批公益课受益学生将达到多少万人次？

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24. 根据相似多边形的定义，我们把四个角分别相等，四条边成比例的两个凸四边形叫做相似四边形．相似四边形对应边的比叫做相似比．

(1)、某同学在探究相似四边形的判定时，得到如下三个命题，请判断它们是否正确（直接在横线上填写“真”或“假”）．
①条边成比例的两个凸四边形相似；（命题）

②三个角分别相等的两个凸四边形相似；（命题）

③两个大小不同的正方形相似．（命题）

(2)、如图1，在四边形ABCD和四边形A₁B₁C₁D₁中，∠ABC＝∠A₁B₁C₁ ， ∠BCD＝∠B₁C₁D₁ ， $\frac{A B}{A_{1} B_{1}} = \frac{B C}{B_{1} C_{1}} = \frac{C D}{C_{1} D_{1}}$ ，求证：四边形ABCD与四边形A₁B₁C₁D₁相似．

(3)、如图2，四边形ABCD中，AB∥CD ， AC与BD相交于点O ，过点O作EF∥AB分别交AD ， BC于点E ， F ．记四边形ABFE的面积为S₁ ，四边形EFDE的面积为S₂ ，若四边形ABFE与四边形EFCD相似，求 $\frac{S_{2}}{S_{1}}$ 的值．

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25. 已知抛物线 $y = - 2 x^{2} + (b - 2) x + (c - 2020)$ (b ， c为常数)．

(1)、若抛物线的顶点坐标为(1，1)，求b ， c的值；

(2)、若抛物线上始终存在不重合的两点关于原点对称，求c的取值范围；

(3)、在（1）的条件下，存在正实数m ， n( m＜n)，当m≤x≤n时，恰好有 $\frac{m}{2 m + 1} \leq \frac{1}{y + 2} \leq \frac{n}{2 n + 1}$ ，求m ， n的值．

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26. 如图，抛物线 $y = a x^{2} + 6 a x$ (a为常数，a＞0)与x轴交于O ， A两点，点B为抛物线的顶点，点D的坐标为(t ， 0)(﹣3＜t＜0)，连接BD并延长与过O ， A ， B三点的⊙P相交于点C ．

(1)、求点A的坐标；

(2)、过点C作⊙P的切线CE交x轴于点E ． ①如图1，求证：CE＝DE；②如图2，连接AC ， BE ， BO ，当 $a = \frac{\sqrt{3}}{3}$ ，∠CAE＝∠OBE时，求 $\frac{1}{O D} - \frac{1}{O E}$ 的值

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