湖南省张家界市2019年中考数学试卷

试卷更新日期：2019-08-06 类型：中考真卷

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一、单选题

1. 2019的相反数是（）

A、2019 B、-2019 C、 $\frac{1}{2019}$ D、 $- \frac{1}{2019}$

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2. 为了有力回击美方单边主义贸易政策的霸凌行为，维护我国正当权益和世界多边贸易正常秩序，经国务院批准，决定于2019年6月1日起，对原产于美国的600亿美元进口商品加征关税，其中600亿美元用科学记数法表示为（）美元．

A、 $6 \times 10^{10}$ B、 $0.6 \times 10^{10}$ C、 $6 \times 10^{9}$ D、 $0.6 \times 10^{9}$

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3. 下列四个立体图形中，其主视图是轴对称图形但不是中心对称图形的是（）

A、 B、 C、 D、

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4. 下列运算正确的是（）

A、 $a^{2} · a^{3} = a^{6}$ B、 $a^{2} + a^{3} = a^{5}$ C、 ${(a + b)}^{2} = a^{2} + b^{2}$ D、 ${(a^{3})}^{2} = a^{6}$

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5. 下列说法正确的是（）

A、打开电视机，正在播放“张家界新闻”是必然事件 B、天气预报说“明天的降水概率为65%”，意味着明天一定下雨 C、两组数据平均数相同，则方差大的更稳定 D、数据5，6，7，7，8的中位数与众数均为7

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6. 不等式组 ${\begin{array}{l} 2 x - 2 ⩽ 0 \\ x > - 1 \end{array}$ 的解集在数轴上表示为（）

A、 B、 C、 D、

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7. 如图，在 $Δ A B C$ 中， $∠ C = 90^{°}$ ， $A C = 8$ ， $D C = \frac{1}{3} A D$ ，BD平分 $∠ A B C$ ，则点D到AB的距离等于（）

A、4 B、3 C、2 D、1

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8. 如图，在平面直角坐标系中，将边长为1的正方形OABC绕点O顺时针旋转 $45^{°}$ 后得到正方形 $O A_{1} B_{1} C_{1}$ ，依此方式，绕点O连续旋转2019次得到正方形 $O A_{2019} B_{2019} C_{2019}$ ，那么点 $A_{2019}$ 的坐标是（）

A、 $(\frac{\sqrt{2}}{2} ， - \frac{\sqrt{2}}{2})$ B、 $(1，0)$ C、 $(- \frac{\sqrt{2}}{2} ， - \frac{\sqrt{2}}{2})$ D、 $(0， - 1)$

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二、填空题

9. 因式分解：x²y﹣y= ．

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10. 已知直线 $a ∥ b$ ，将一块含 $30^{°}$ 角的直角三角板ABC按如图所示方式放置( $∠ B A C = 30^{°}$ )，并且顶点A ， C分别落在直线a ， b上，若 $∠ 1 = 18^{°}$ ，则 $∠ 2$ 的度数是．

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11. 为了建设“书香校园”，某校七年级的同学积极捐书，下表统计了七(1)班40名学生的捐书情况：

捐书(本)

3

4

5

7

10

人数

5

7

10

11

7

该班学生平均每人捐书本．

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12. 如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC的顶点O为坐标原点，顶点A在x轴的正半轴上，顶点C在反比例函数 $y = \frac{k}{x}$ 的图象上，已知菱形的周长是8， $∠ C O A = 60^{°}$ ，则k的值是．

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13. 《田亩比类乘除捷法》是我国古代数学家杨辉的著作，其中有一个数学问题：“直田积八百六十四步，只云长阔共六十步，问长多阔几何”．意思是：一块矩形田地的面积为864平方步，只知道它的长与宽共60步，问它的长比宽多多少步？根据题意得，长比宽多步．

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14. 如图：正方形ABCD的边长为1，点E ， F分别为BC ， CD边的中点，连接AE ， BF交于点P ，连接PD ，则 $\tan ∠ A P D =$ ．

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三、解答题

15. 计算： ${(3.14 - π)}^{0} + | \sqrt{2} - 1 | - 2 \cos 45^{°} + {(- 1)}^{2019}$ ．

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16. 先化简，再求值： $(\frac{2 x - 3}{x - 2} - 1) \div \frac{x^{2} - 2 x + 1}{x - 2}$ ，然后从0，1，2三个数中选择一个恰当的数代入求值．

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17. 如图，在平行四边形ABCD中，连接对角线AC ，延长AB至点E ，使 $B E = A B$ ，连接DE ，分别交BC ， AC交于点F ， G ．

(1)、求证： BF=CF ；

(2)、若 $B C = 6$ ， $D G = 4$ ，求FG的长．

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18. 某社区购买甲、乙两种树苗进行绿化，已知甲种树苗每棵30元，乙种树苗每棵20元，且乙种树苗棵数比甲种树苗棵数的2倍少40棵，购买两种树苗的总金额为9000元．

(1)、求购买甲、乙两种树苗各多少棵？

(2)、为保证绿化效果，社区决定再购买甲、乙两种树苗共10棵，总费用不超过230元，求可能的购买方案？

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19. 阅读下面的材料：
按照一定顺序排列着的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项．排在第一位的数称为第一项，记为 $a_{1}$ ，排在第二位的数称为第二项，记为 $a_{2}$ ，依此类推，排在第n位的数称为第n项，记为 $a_{n}$ ．所以，数列的一般形式可以写成： $a_{1}$ ， $a_{2}$ ， $a_{3}$ ，…， $a_{n}$ ．

一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的差等于同一个常数，那么这个数列叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用d表示．如：数列1，3，5，7，…为等差数列，其中 $a_{1} = 1$ ， $a_{2} = 3$ ，公差为 $a_{3} = 2$ ．

根据以上材料，解答下列问题：

(1)、等差数列5，10，15，…的公差d为，第5项是．

(2)、如果一个数列 $a_{1}$ ， $a_{2}$ ， $a_{3}$ ，…， $a_{n}$ …，是等差数列，且公差为d，那么根据定义可得到： $a_{2} - a_{1} =d$ ， $a_{3} - a_{2} = d$ ， $a_{4} - a_{3} = d$ ，…， $a_{n} - a_{n - 1} = d$ ，…．
所以 $a_{2} {=a}_{1} +d$ ，

$a_{3} = a_{2} + d = (a_{1} + d) + d = a_{1} + 2 d$ ，

$a_{4} = a_{3} + d = (a_{1} + 2 d) + d = a_{1} + 3 d$ ，

……，

由此，请你填空完成等差数列的通项公式： $a_{n} {=a}_{1} +$ ()d．

(3)、 $- 4041$ 是不是等差数列 $- 5$ ， $- 7$ ， $- 9$ …的项？如果是，是第几项？

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20. 天门山索道是世界最长的高山客运索道，位于张家界天门山景区．在一次检修维护中，检修人员从索道A处开始，沿A﹣B﹣C路线对索道进行检修维护．如图：已知 $A B = 500$ 米， $B C = 800$ 米，AB与水平线 $A A_{1}$ 的夹角是 $30^{°}$ ，BC与水平线 $B B_{1}$ 的夹角是 $60^{°}$ ．求：本次检修中，检修人员上升的垂直高度 $C A_{1}$ 是多少米？(结果精确到1米，参考数据： $\sqrt{3} \approx 1.732$ )

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21. 如图，AB为 $⊙ O$ 的直径，且 $A B = 4 \sqrt{3}$ ，点C是 $\hat{A B}$ 上的一动点(不与A ， B重合)，过点B作 $⊙ O$ 的切线交AC的延长线于点D ，点E是BD的中点，连接EC ．

(1)、求证：EC是 $⊙ O$ 的切线；

(2)、当 $∠ D = 30^{°}$ 时，求阴影部分面积．

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22. 为了响应市政府号召，某校开展了“六城同创与我同行”活动周，活动周设置了“A：文明礼仪，B：生态环境，C：交通安全，D：卫生保洁”四个主题，每个学生选一个主题参与．为了解活动开展情况，学校随机抽取了部分学生进行调查，并根据调查结果绘制了如下条形统计图和扇形统计图．

(1)、本次随机调查的学生人数是人；

(2)、请你补全条形统计图；

(3)、在扇形统计图中，“B”所在扇形的圆心角等于度；

(4)、小明和小华各自随机参加其中的一个主题活动，请用画树状图或列表的方式求他们恰好选中同一个主题活动的概率．

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23. 已知抛物线 $y = a x^{2} + b x + c (a \neq 0)$ 过点 $A (1，0)$ ， $B (3，0)$ 两点，与y轴交于点C ， $O C =3$ ．

(1)、求抛物线的解析式及顶点D的坐标；

(2)、过点A作 $A M ⊥ B C$ ，垂足为M ，求证：四边形ADBM为正方形；

(3)、点P为抛物线在直线BC下方图形上的一动点，当 $Δ P B C$ 面积最大时，求点P的坐标；

(4)、若点Q为线段OC上的一动点，问： $A Q + \frac{1}{2} Q C$ 是否存在最小值？若存在，求岀这个最小值；若不存在，请说明理由．

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