湖南省湘潭市2019年中考数学试卷

试卷更新日期：2019-08-06 类型：中考真卷

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一、单选题

1. 下列各数中是负数的是（）

A、 $| - 3 |$ B、﹣3 C、 $- (- 3)$ D、 $\frac{1}{3}$

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2. 下列立体图形中，俯视图是三角形的是（）

A、 B、 C、 D、

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3. 今年某市参加初中学业水平考试的九年级学生人数约24000人，24000用科学记数法表示为（）

A、 $0.24 \times 10^{5}$ B、 $2.4 \times 10^{4}$ C、 $2.4 \times 10^{3}$ D、 $24 \times 10^{3}$

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4. 下列计算正确的是（）

A、 $a^{6} \div a^{3} = a^{2}$ B、 ${(a^{2})}^{3} = a^{5}$ C、 $2 a + 3 a = 6 a$ D、 $2 a \cdot 3 a = 6 a^{2}$

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5. 已知关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2} - 4 x + c = 0$ 有两个相等的实数根，则 $c =$ （）

A、4 B、2 C、1 D、﹣4

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6. 随着长株潭一体化进程不断推进，湘潭在交通方面越来越让人期待．将要实施的“两干一轨”项目中的“一轨”，是将长沙市地铁3号线南延至湘潭北站，往返长潭两地又将多“地铁”这一选择．为了解人们选择交通工具的意愿，随机抽取了部分市民进行调查，并根据调查结果绘制如下统计图，关于交通工具选择的人数数据，以下结论正确的是（）

A、平均数是8 B、众数是11 C、中位数是2 D、极差是10

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7. 如图，将 $Δ O A B$ 绕点 $O$ 逆时针旋转70°到 $Δ O C D$ 的位置，若 $∠ A O B = 40^{\circ}$ ，则 $∠ A O D =$ （）

A、45° B、40° C、35° D、30°

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8. 现代互联网技术的广泛应用，催生了快递行业的高速发展．据调查，湘潭某家小型快递公司的分拣工小李和小江，在分拣同一类物件时，小李分拣120个物件所用的时间与小江分拣90个物件所用的时间相同，已知小李每小时比小江多分拣20个物件．若设小江每小时分拣 $x$ 个物件，则可列方程为（）

A、 $\frac{120}{x - 20} = \frac{90}{x}$ B、 $\frac{120}{x + 20} = \frac{90}{x}$ C、 $\frac{120}{x} = \frac{90}{x - 20}$ D、 $\frac{120}{x} = \frac{90}{x + 20}$

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二、填空题

9. 函数 $y = \frac{1}{x - 6}$ 中，自变量 $x$ 的取值范围是．

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10. 若 $a + b = 5$ ， $a - b = 3$ ，则 $a^{2} - b^{2} =$ ．

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11. 为庆祝新中国成立70周年，某校开展以“我和我亲爱的祖国”为主题的“快闪”活动，七年级准备从两名男生和三名女生中选出一名同学领唱，如果每一位同学被选中的机会均等，则选出的恰为女生的概率是．

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12. 计算： ${(\frac{1}{4})}^{- 1} =$ ．

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13. 将一次函数 $y = 3 x$ 的图象向上平移2个单位，所得图象的函数表达式为．

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14. 四边形的内角和为．

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15. 如图，在四边形 $A B C D$ 中，若 $A B = C D$ ，则添加一个条件，能得到平行四边形 $A B C D$ ．（不添加辅助线，任意添加一个正确的条件即可）

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16. 《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表作，其中《方田》章计算弧田面积所用的经验公式是：弧田面积 $= \frac{1}{2}$ （弦×矢+矢²）．孤田是由圆弧和其所对的弦围成（如图中的阴影部分），公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差，运用垂径定理（当半径 $O C$ ⊥弦 $A B$ 时， $O C$ 平分 $A B$ ）可以求解．现已知弦 $A B = 8$ 米，半径等于5米的弧田，按照上述公式计算出弧田的面积为平方米．

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三、解答题

17. 解不等式组 ${\begin{array}{l} 2 x ⩽ 6 \\ \frac{3 x + 1}{2} > x \end{array}$ ，并把它的解集在数轴上表示出来．

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18. 阅读材料：运用公式法分解因式，除了常用的平方差公式和完全平方公式以外，还可以应用其他公式，如立方和与立方差公式，其公式如下：
立方和公式： $x^{3} + y^{3} = (x + y) (x^{2} - x y + y^{2})$ ；

立方差公式： $x^{3} - y^{3} = (x - y) (x^{2} + x y + y^{2})$ ；

根据材料和已学知识，先化简，再求值： $\frac{3 x}{x^{2} - 2 x} - \frac{x^{2} + 2 x + 4}{x^{3} - 8}$ ，其中 $x = 3$ ．

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19. 我国于2019年6月5日首次完成运载火箭海上发射，这标志着我国火箭发射技术达到了一个崭新的高度．如图，运载火箭从海面发射站点 $M$ 处垂直海面发射，当火箭到达点 $A$ 处时，海岸边 $N$ 处的雷达站测得点 $N$ 到点 $A$ 的距离为8千米，仰角为30°．火箭继续直线上升到达点 $B$ 处，此时海岸边 $N$ 处的雷达测得 $B$ 处的仰角增加15°，求此时火箭所在点 $B$ 处与发射站点 $M$ 处的距离．（结果精确到0.1千米）（参考数据： $\sqrt{2} \approx 1.41$ ， $\sqrt{3} \approx 1.73$ ）

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20. 每年5月份是心理健康宣传月，某中学开展以“关心他人，关爱自己”为主题的心理健康系列活动．为了解师生的心理健康状况，对全体2000名师生进行了心理测评，随机抽取20名师生的测评分数进行了以下数据的整理与分析：

①数据收集：抽取的20名师生测评分数如下

85，82，94，72，78，89，96，98，84，65，73，54，83，76，70，85，83，63，92，90．

②数据整理：将收集的数据进行分组并评价等第：

分数x	$90 \leq x < 100$	$80 \leq x < 90$	$70 \leq x < 80$	$60 \leq x < 70$	$x < 60$
人数	5	a	5	2	1
等第	$A$	$B$	$C$	$D$	$E$

③数据分析：绘制成不完整的扇形统计图：

④依据统计信息回答问题

(1)、统计表中的

a =

．

(2)、心理测评等第

C

等的师生人数所占扇形的圆心角度数为．

(3)、学校决定对

E

等的师生进行团队心理辅导，请你根据数据分析结果，估计有多少师生需要参加团队心理辅导？

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21. 如图，将 $Δ A B C$ 沿着 $A C$ 边翻折，得到 $Δ A D C$ ，且 $A B / / C D$ ．

(1)、判断四边形 $A B C D$ 的形状，并说明理由；

(2)、若 $A C = 16$ ， $B C = 10$ ，求四边形 $A B C D$ 的面积．

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22. 2018年高一新生开始，某省全面启动高考综合改革，实行“3+1+2”的高考选考方案．“3”是指语文、数学、外语三科必考；“1”是指从物理、历史两科中任选一科参加选考，“2”是指从政治、化学、地理、生物四科中任选两科参加选考

(1)、“1+2”的选考方案共有多少种？请直接写出所有可能的选法；（选法与顺序无关，例如：“物、政、化”与“物、化、政”属于同一种选法）

(2)、高一学生小明和小杰将参加新高考，他们酷爱历史和生物，两人约定必选历史和生物．他们还需要从政治、化学、地理三科中选一科参考，若这三科被选中的机会均等，请用列表或画树状图的方法，求出他们恰好都选中政治的概率．

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23. 如图，在平面直角坐标系中，⊙ $M$ 与 $x$ 轴的正半轴交于 $A ， B$ 两点，与 $y$ 轴的正半轴相切于点 $C$ ，连接 $M A ， M C$ ，已知⊙ $M$ 半径为2， $∠ A M C = 60^{\circ}$ ，双曲线 $y = \frac{k}{x} (x > 0)$ 经过圆心 $M$ ．

(1)、求双曲线 $y = \frac{k}{x}$ 的解析式；

(2)、求直线 $B C$ 的解析式．

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24. 某政府工作报告中强调，2019年着重推进乡村振兴战略，做优做响湘莲等特色农产品品牌．小亮调查了一家湘潭特产店 $A, B$ 两种湘莲礼盒一个月的销售情况，A种湘莲礼盒进价72元/盒，售价120元/盒，B种湘莲礼盒进价40元/盒，售价80元/盒，这两种湘莲礼盒这个月平均每天的销售总额为2800元，平均每天的总利润为1280元．

(1)、求该店平均每天销售这两种湘莲礼盒各多少盒？

(2)、小亮调査发现， $A$ 种湘莲礼盒售价每降3元可多卖1盒．若 $B$ 种湘莲礼盒的售价和销量不变，当 $A$ 种湘莲礼盒降价多少元/盒时，这两种湘莲礼盒平均每天的总利润最大，最大是多少元？

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25. 如图一，抛物线 $y = a x^{2} + b x + c$ 过 $A (- 1 ， 0) B (3.0) ， C (0 ， \sqrt{3})$ 三点

(1)、求该抛物线的解析式；

(2)、 $P (x_{1} ， y_{1}) ， Q (4 ， y_{2})$ 两点均在该抛物线上，若 $y_{1} \leq y_{2}$ ，求 $P$ 点横坐标 $x_{1}$ 的取值范围；

(3)、如图二，过点 $C$ 作 $x$ 轴的平行线交抛物线于点 $E$ ，该抛物线的对称轴与 $x$ 轴交于点 $D$ ，连结 $C D ， C B$ ，点 $F$ 为线段 $C B$ 的中点，点 $M ， N$ 分别为直线 $C D$ 和 $C E$ 上的动点，求 $Δ F M N$ 周长的最小值．

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26. 如图一，在射线 $D E$ 的一侧以 $A D$ 为一条边作矩形 $A B C D$ ， $A D = 5 \sqrt{3}$ ， $C D = 5$ ，点 $M$ 是线段 $A C$ 上一动点（不与点 $A$ 重合），连结 $B M$ ，过点 $M$ 作 $B M$ 的垂线交射线 $D E$ 于点 $N$ ，连接 $B N$ ．

(1)、求 $∠ C A D$ 的大小；

(2)、问题探究：动点 $M$ 在运动的过程中，
①是否能使 $Δ A M N$ 为等腰三角形，如果能，求出线段 $M C$ 的长度；如果不能，请说明理由．

② $∠ M B N$ 的大小是否改变？若不改变，请求出 $∠ M B N$ 的大小；若改变，请说明理由．

(3)、问题解决：
如图二，当动点 $M$ 运动到 $A C$ 的中点时， $A M$ 与 $B N$ 的交点为 $F$ ， $M N$ 的中点为 $H$ ，求线段 $F H$ 的长度．

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