湖南省常德市2019年中考数学试卷

试卷更新日期：2019-08-06 类型：中考真卷

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一、单选题

1. 点 $(- 1, 2)$ 关于原点的对称点坐标是（）

A、 $(- 1, - 2)$ B、 $(1, - 2)$ C、 $(1, 2)$ D、 $(2, - 1)$

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2. 下列各数中比3大比4小的无理数是（）

A、 $\sqrt{10}$ B、 $\sqrt{17}$ C、3.1 D、 $\frac{10}{3}$

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3. 下列运算正确的是（）

A、 $\sqrt{3} + \sqrt{4} = \sqrt{7}$ B、 $\sqrt{12} = 3 \sqrt{2}$ C、 $\sqrt{{(-2)}^{2}} = - 2$ D、 $\frac{\sqrt{14}}{\sqrt{6}} = \frac{\sqrt{21}}{3}$

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4. 某公司全体职工的月工资如下：

月工资（元）	18000	12000	8000	6000	4000	2500	2000	1500	1200
人数	1（总经理）	2（副总经理）	3	4	10	20	22	12	6

该公司月工资数据的众数为2000，中位数为2250，平均数为3115，极差为16800，公司的普通员工最关注的数据是（）

A、中位数和众数 B、平均数和众数 C、平均数和中位数 D、平均数和极差

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5. 如图是由4个大小相同的小正方体摆成的几何体，它的左视图是（）

A、 B、 C、 D、

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6. 小明网购了一本《好玩的数学》，同学们想知道书的价格，小明让他们猜．甲说：“至少15元．”乙说：“至多12元．”丙说：“至多10元．”小明说：“你们三个人都说错了”．则这本书的价格x（元）所在的范围为（）

A、 $10 < x < 12$ B、 $12 < x < 15$ C、 $10 < x < 15$ D、 $11 < x < 14$

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7. 如图，在等腰三角形 $Δ A B C$ 中， $A B = A C$ ，图中所有三角形均相似，其中最小的三角形面积为1， $Δ A B C$ 的面积为42，则四边形DBCE的面积是（）

A、20 B、22 C、24 D、26

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8. 观察下列等式： $7^{0} = 1 ， 7^{1} = 7 ， 7^{2} = 49 ， 7^{3} = 343 ， 7^{4} = 2401 ， 7^{5} = 16807 ， \dots ，$ 根据其中的规律可得 $7^{0} + 7^{1} + 7^{2} + \dots + 7^{2019}$ 的结果的个位数字是（）

A、0 B、1 C、7 D、8

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二、填空题

9. 数轴上表示 $- 3$ 的点到原点的距离是．

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10. 不等式 $3 x + 1 > 2 (x + 4)$ 的解为．

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11. 从甲、乙、丙三人中选一人参加环保知识抢答赛，经过两轮初赛，他们的平均成绩都是89.7，方差分别是 $S_{甲}^{2} = 2.83, S_{乙}^{2} = 1 .71, S_{丙}^{2} = 3 .52,$ 你认为适合参加决赛的选手是．

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12. 国产手机芯片麒麟980是全球首个7纳米制程芯片，已知1纳米＝0.000 000 001米，将7纳米用科学记数法表示为米．

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13. 二元一次方程组 ${\begin{array}{l} x + y = 6 \\ 2 x + y = 7 \end{array}$ 的解为．

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14. 如图，已知 $Δ A B C$ 是等腰三角形， $A B = A C ， ∠ B A C = 45 ° ，$ 点D在AC边上，将 $Δ A B D$ 绕点A逆时针旋转45°得到 $Δ A C D'$ ，且点D′、D、B三点在同一条直线上，则 $∠ A B D$ 的度数是．

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15. 若 $x^{2} + x = 1$ ，则 $3 x^{4} + 3 x^{3} + 3 x + 1$ 的值为．

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16. 规定：如果一个四边形有一组对边平行，一组邻边相等，那么称此四边形为广义菱形．根据规定判断下面四个结论：①正方形和菱形都是广义菱形；②平行四边形是广义菱形；③对角线互相垂直，且两组邻边分别相等的四边形是广义菱形；④若M、N的坐标分别为 $(0, 1), (0, - 1),$ P是二次函数 $y = \frac{1}{4} x^{2}$ 的图象上在第一象限内的任意一点，PQ垂直直线 $y = - 1$ 于点Q ，则四边形PMNQ是广义菱形．其中正确的是．（填序号）

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三、解答题

17. 计算： $6 \sin 45 ° + | 2 \sqrt{2} - 7 | - {(\frac{1}{2})}^{- 3} + {(2019 - \sqrt{2019})}^{0}$ ．

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18. 解方程： $x^{2} - 3 x - 2 = 0$ .

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19. 先化简，再选一个合适的数代入求值： $(\frac{x - 1}{x^{2} + x} - \frac{x - 3}{x^{2} - 1}) \div (\frac{2 x^{2} + x + 1}{x^{2} - x} - 1)$ ．

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20. 如图，一次函数 $y = - x + 3$ 的图象与反比例函数 $y = \frac{k}{x} (k \neq 0)$ 在第一象限的图象交于 $A (1 ， a)$ 和B两点，与x轴交于点C ．

(1)、求反比例函数的解析式；

(2)、若点P在x轴上，且 $Δ A P C$ 的面积为5，求点P的坐标．

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21. 某生态体验园推出了甲、乙两种消费卡，设入园次数为x时所需费用为y元，选择这两种卡消费时，y与x的函数关系如图所示，解答下列问题

(1)、分别求出选择这两种卡消费时，y关于x的函数表达式；

(2)、请根据入园次数确定选择哪种卡消费比较合算．

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22. 如图， $⊙ O$ 与 $Δ A B C$ 的AC边相切于点C ，与AB、BC边分别交于点D、E ， $D E / / O A$ ，CE是 $⊙ O$ 的直径．

(1)、求证：AB是 $⊙ O$ 的切线；

(2)、若 $B D = 4 ， E C = 6 ，$ 求AC的长．

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23. 为了扎实推进精准扶贫工作，某地出台了民生兜底、医保脱贫、教育救助、产业扶持、养老托管和易地搬迁这六种帮扶措施，每户贫困户都享受了2到5种帮扶措施，现把享受了2种、3种、4种和5种帮扶措施的贫困户分别称为A、B、C、D类贫困户．为检査帮扶措施是否落实，随机抽取了若干贫困户进行调查，现将收集的数据绘制成下面两幅不完整的统计图：

请根据图中信息回答下面的问题：

(1)、本次抽样调查了多少户贫困户？

(2)、抽查了多少户C类贫困户？并补全统计图；

(3)、若该地共有13000户贫困户，请估计至少得到4项帮扶措施的大约有多少户？

(4)、为更好地做好精准扶贫工作，现准备从D类贫困户中的甲、乙、丙、丁四户中随机选取两户进行重点帮扶，请用树状图或列表法求出恰好选中甲和丁的概率．

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24. 图1是一种淋浴喷头，图2是图1的示意图，若用支架把喷头固定在点A处，手柄长 $A B = 25 c m$ ， AB与墙壁 $D D'$ 的夹角 $∠ D' A B = 37 °$ ，喷出的水流BC与AB形成的夹角 $∠ A B C = 72 °$ ，现在住户要求：当人站在E处淋浴时，水流正好喷洒在人体的C处，且使 $D E = 50 c m ， C E = 130 c m .$ 问：安装师傅应将支架固定在离地面多高的位置？
（参考数据： $\sin 37 ° \approx 0.60 ， \cos 37 ° \approx 0.80 ， \tan 37 ° \approx 0.75 ， \sin 72 ° \approx 0.95 ， \cos 72 ° \approx 0.31 ，$ $\tan 72 ° \approx 3.08 ， \sin 35 ° \approx 0.57 ， \cos 35 ° \approx 0.82 ， \tan 35 ° \approx 0.70$ ）．

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25. 如图，已知二次函数图象的顶点坐标为 $A (1 ， 4)$ ，与坐标轴交于B、C、D三点，且B点的坐标为 $(- 1 ， 0)$ ．

(1)、求二次函数的解析式；

(2)、在二次函数图象位于x轴上方部分有两个动点M、N ，且点N在点M的左侧，过M、N作x轴的垂线交x轴于点G、H两点，当四边形MNHG为矩形时，求该矩形周长的最大值；

(3)、当矩形MNHG的周长最大时，能否在二次函数图象上找到一点P ，使 $Δ P N C$ 的面积是矩形MNHG面积的 $\frac{9}{16}$ ？若存在，求出该点的横坐标；若不存在，请说明理由．

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26. 在等腰三角形 $Δ A B C$ 中， $A B = A C$ ，作 $C M ⊥ A B$ 交AB于点M ， $B N ⊥ A C$ 交AC于点N ．

(1)、在图1中，求证： $Δ B M C ≅ Δ C N B$ ；

(2)、在图2中的线段CB上取一动点P ，过P作 $P E / / A B$ 交CM于点E ，作 $P F / / A C$ 交BN于点F ，求证： $P E + P F = B M$ ；

(3)、在图3中动点P在线段CB的延长线上，类似（2）过P作 $P E / / A B$ 交CM的延长线于点E ，作 $P F / / A C$ 交NB的延长线于点F ，求证： $A M \cdot P F + O M \cdot B N = A M \cdot P E$ ．

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