吉林省2019年中考数学试卷

试卷更新日期：2019-08-06 类型：中考真卷

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一、单选题

1. 如图，数轴上蝴蝶所在点表示的数可能为（）

A、3 B、2 C、1 D、－1

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2. 如图，由6个相同的小正方体组合成一个立体图形，它的俯视图为（）

A、 B、 C、 D、

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3. 若 $a$ 为实数，则下列各式的运算结果比 $a$ 小的是（）

A、 $a + 1$ B、 $a - 1$ C、a×1 D、 $a \div 1$

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4. 把图中的交通标志图案绕着它的中心旋转一定角度后与自身重合，则这个旋转角度至少为（）

A、30° B、90° C、120° D、180°

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5. 如图，在 $⊙ O$ 中， $\overset{⌢}{A B}$ 所对的圆周角 $∠ A C B = 50^{0}$ ，若 $P$ 为 $\overset{⌢}{A B}$ 上一点， $∠ A O P = 55^{0}$ ，则 $∠ P O B$ 的度数为（）

A、30° B、45° C、55° D、60°

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6. 曲桥是我国古代经典建筑之一，它的修建增加了游人在桥上行走的路程，有利于游人更好地观赏风光。如图， $A 、 B$ 两地间修建曲桥与修建直的桥相比，增加了桥的长度，其中蕴含的数学道理是（）

A、两点之间，线段最短 B、平行于同一条直线的两条直线平行 C、垂线段最短 D、两点确定一条直线

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二、填空题

7. 分解因式： $a^{2} - 1$ =.

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8. 不等式 $3 x - 2 > 1$ 的解集是．

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9. 计算： $\frac{y}{2 x^{2}} \cdot \frac{x}{y} =$ ．

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10. 若关于 $x$ 的一元二次方程 ${(x + 3)}^{2} = c$ 有实数根，则 $c$ 的值可以为（写出一个即可）．

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11. 如图， $E$ 为 $Δ A B C$ 边 $C A$ 延长线上一点，过点 $E$ 作 $E D / / B C$ ．若 $∠ B A C = 70^{0}$ ， $∠ C E D = 50^{0}$ ，则 $∠ B =$ °．

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12. 如图，在四边形 $A B C D$ 中， $A B = 10 ， B D ⊥ A D$ ．若将 $Δ B C D$ 沿 $B D$ 折叠，点 $C$ 与边 $A B$ 的中点 $E$ 恰好重合，则四边形 $B C D E$ 的周长为．

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13. 在某一时刻，测得一根高为 $1.8 m$ 的竹竿的影长为 $3 m$ ，同时同地测得一栋楼的影长为 $90 m$ ，则这栋楼的高度为 $m$ ．

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14. 如图，在扇形 $O A B$ 中， $∠ A O B = 90^{0}$ ， $D ， E$ 分别是半径 $O A ， O B$ 上的点，以 $O D ， O E$ 为邻边的 $▱ O D C E$ 的顶点 $G$ 在 $\overset{⌢}{A B}$ 上，若 $O D = 8 ， O E = 6$ ，则阴影部分图形的面积是（结果保留 $π$ ）．

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三、解答题

15. 先化简，再求值： ${(a - 1)}^{2} + a (a + 2)$ ，其中 $a = \sqrt{2}$ ．

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16. 甲口袋中装有红色、绿色两把扇子，这两把扇子除颜色外无其他差别；乙口袋中装有红色、绿色两条手绢，这两条手绢除颜色外无其他差别．从甲口袋中随机取出一把扇子，从乙口袋中随机取出一条手绢，用画树状图或列表的方法，求取出的扇子和手绢都是红色的概率．

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17. 已知 $y$ 是 $x$ 的反比例函数，并且当 $x = 2$ 时， $y = 6$ ．

(1)、求 $y$ 关于 $x$ 的函数解析式；

(2)、当 $x = 4$ 时，求 $y$ 的值．

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18. 如图，在 $▱ A B C D$ 中，点 $E$ 在边 $A D$ 上，以 $C$ 为圆心， $A E$ 长为半径画弧，交边 $B C$ 于点 $F$ ，连接 $B E$ 、 $D F$ ．求证： $Δ A B E ≅ Δ C D F$ ．

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19. 图①，图②均为 $4 \times 4$ 的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点．在图①中已画出线段 $A B$ ，在图②中已画出线段 $C D$ ，其中 $A 、 B 、 C 、 D$ 均为格点，按下列要求画图：

(1)、在图①中，以 $A B$ 为对角线画一个菱形 $A E B F$ ，且 $E ， F$ 为格点；

(2)、在图②中，以 $C D$ 为对角线画一个对边不相等的四边形 $C G D H$ ，且 $G ， H$ 为格点， $∠ C G D = ∠ C H D = 90^{0}$ .

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20. 问题解决

(1)、糖葫芦一般是用竹签串上山楂，再蘸以冰糖制作而成．现将一些山楂分别串在若干根竹签上．如果每根竹签串5个山楂，还剩余4个山楂；如果每根竹签串8个山楂，还剩余7根竹签．这些竹签有多少根？山楂有多少个？

(2)、反思归纳
现有 $a$ 根竹签， $b$ 个山楂．若每根竹签串 $c$ 个山楂，还剩余 $d$ 个山楂，则下列等式成立的是（填写序号）．

⑴ $b c + d = a$ ；⑵ $a c + d = b$ ；⑶ $a c - d = b$ ．

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21. 墙壁及淋浴花洒截面如图所示，已知花洒底座 $A$ 与地面的距离 $A B$ 为 $170 c m$ ，花洒 $A C$ 的长为 $30 c m$ ，与墙壁的夹角 $∠ C A D$ 为43°．求花洒顶端 $C$ 到地面的距离 $C E$ （结果精确到 $1 c m$ ）（参考数据： $\sin 43^{0} = 0.68$ ， $\cos 43^{0} = 0.73$ ， $\tan 43^{0} = 0.93$ ）

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22. 某地区有城区居民和农村居民共80万人，某机构准备采用抽取样本的方法调查该地区居民“获取信息的最主要途径”．

(1)、该机构设计了以下三种调查方案：
方案一：随机抽取部分城区居民进行调查；

方案二：随机抽取部分农村居民进行调查；

方案三：随机抽取部分城区居民和部分农村居民进行调查．

其中最具有代表性的一个方案是；

(2)、该机构采用了最具有代表性的调查方案进行调查．供选择的选项有：电脑、手机、电视、广播，其他，共五个选项，每位被调查居民只选择一个选项．现根据调查结果绘制如下统计图，请根据统计图回答下列问题：
①这次接受调查的居民人数为人；

②统计图中人数最多的选项为；

③请你估计该地区居民和农村居民将“电脑和手机”作为“获取信息的最主要途径”的总人数．

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23. 甲、乙两车分别从 $A ， B$ 两地同时出发，沿同一条公路相向行驶，相遇后，甲车继续以原速行驶到 $B$ 地，乙车立即以原速原路返回到 $B$ 地，甲、乙两车距 $B$ 地的路程 $y (k m)$ 与各自行驶的时间 $x (h)$ 之间的关系如图所示．

(1)、m= ， n=；

(2)、求乙车距 $B$ 地的路程 $y$ 关于 $x$ 的函数解析式，并写出自变量 $x$ 的取值范围；

(3)、当甲车到达 $B$ 地时，求乙车距 $B$ 地的路程

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24. 性质探究

(1)、如图①，在等腰三角形 $A B C$ 中， $∠ A C B = 120^{0}$ ，则底边 $A B$ 与腰 $A C$ 的长度之比为．

(2)、理解运用
若顶角为120°的等腰三角形的周长为 $8 + 4 \sqrt{3}$ ，则它的面积为；

(3)、如图②，在四边形 $E F G H$ 中， $E F = E G = E H$ ．
①求证： $∠ E F G + ∠ E H G = ∠ F G H$ ；

②在边 $F G ， G H$ 上分别取中点 $M ， N$ ，连接 $M N$ ．若 $∠ F G H = 120^{0}$ ， $E F = 10$ ，直接写出线段 $M N$ 的长．

(4)、类比拓展
顶角为 $2 σ$ 的等腰三角形的底边与一腰的长度之比为（用含 $σ$ 的式子表示）．

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25. 如图，在矩形 $A B C D$ 中， $A D = 4 c m ， A B = 3 c m$ ， $E$ 为边 $B C$ 上一点， $B E = A B$ ，连接 $A E$ ．动点 $P 、 Q$ 从点 $A$ 同时出发，点 $P$ 以 $\sqrt{2} c m / s$ 的速度沿 $A E$ 向终点 $E$ 运动；点 $Q$ 以 $2 c m / s$ 的速度沿折线 $A D - D C$ 向终点 $C$ 运动．设点 $Q$ 运动的时间为 $x (s)$ ，在运动过程中，点 $P$ ，点 $Q$ 经过的路线与线段 $P Q$ 围成的图形面积为 $y (c m^{2})$ ．

(1)、 $A E =$ $c m$ ， $∠ E A D =$ °；

(2)、求 $y$ 关于 $x$ 的函数解析式，并写出自变量 $x$ 的取值范围；

(3)、当 $P Q = \frac{5}{4} c m$ 时，直接写出 $x$ 的值．

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26. 如图，抛物线 $y = {(x - 1)}^{2} + k$ 与x轴相交于 $A ， B$ 两点（点 $A$ 在点 $B$ 的左侧），与 $y$ 轴相交于点 $C (0 ， - 3)$ ． $P$ 为抛物线上一点，横坐标为 $m$ ，且 $m > 0$ ．

(1)、求此抛物线的解析式；

(2)、当点 $P$ 位于 $x$ 轴下方时，求 $Δ A B P$ 面积的最大值；

(3)、设此抛物线在点 $C$ 与点 $P$ 之间部分（含点 $C$ 和点 $P$ ）最高点与最低点的纵坐标之差为 $h$ ．
①求 $h$ 关于 $m$ 的函数解析式，并写出自变量 $m$ 的取值范围；

②当 $h = 9$ 时，直接写出 $Δ B C P$ 的面积．

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