浙江宁波市慈溪2019届九年级上学期数学期末考试试卷

试卷更新日期：2019-08-05 类型：期末考试

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一、单选题

1. 在平面直角坐标系中，将点 $P (0, 1)$ 绕坐标原点 $O$ 顺时针旋转 $90 °$ ，所得到的对应点 $P'$ 的坐标为（）

A、 $(1, 0)$ B、 $(- 1, 0)$ C、 $(0, - 1)$ D、 $(1, 1)$

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2. 下列四条圆弧与直角三角板的位置关系中，可判断其中的圆弧为半圆的是（）

A、 B、 C、 D、

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3. 下列事件是随机事件的是（）

A、在标准大气压下，水加热到 $100 °$ 时沸腾 B、小明购买1张彩票，中奖 C、在一个装有红球和黄球的袋中，摸出蓝球 D、一名运动员跳高的最好成绩是10.1米

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4. 如图， $⊙ O$ 是正六边形 $A B C D E F$ 的外接圆， $P$ 是弧 $A B$ 上一点，则 $∠ C P D$ 的度数是（）

A、 $30 °$ B、 $40 °$ C、 $45 °$ D、 $60 °$

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5. 由抛物线y=x²平移得到抛物线y=(x+2)² ，下列平移方法可行的是（）

A、向上平移2个单位长度 B、向下平移2个单位长度 C、向左平移2个单位长度 D、向右平移2个单位长度

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6. 下列命题：①三点确定一个圆；②三角形的外心到三边的距离相等；③相等的圆周角所对的弧相等；④平分弦的直径垂直于弦.其中假命题的个数是（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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7. 关于抛物线 $y = x^{2} - 2 x - 3$ ，下列说法错误的是（）

A、顶点坐标为 $(1, - 4)$ B、对称轴是直线 $x = 1$ C、若 $x > 2$ ，则 $y$ 随 $x$ 的增大而增大 D、当 $- 1 < x < 3$ 时， $y > 0$

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8. 如图， $A$ ， $B$ ， $C$ 是正方形网格中的格点（小正方形的顶点），则 $\sin ∠ A C B$ 的值为（）

A、 $\frac{\sqrt{5}}{5}$ B、 $\frac{2 \sqrt{5}}{5}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$

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9. 如图，在 $Δ A B C$ 中， $D$ ， $E$ 分别是边 $A B$ ， $A C$ 上的点， $D E / / B C$ ， $B D = 2 A D$ ，下列结论中错误的是（）

A、 $\frac{D E}{B C} = \frac{1}{3}$ B、 $\frac{S_{Δ A D E}}{S_{Δ A B C}} = \frac{1}{4}$ C、 $\frac{C E}{A C} = \frac{2}{3}$ D、 $A D \cdot B C = A B \cdot D E$

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10. 如图，在 $Δ A B C$ 中， $A C = B C = \sqrt{2}$ ， $∠ A C B = 90 °$ ，分别以点 $A$ 和点 $B$ 为圆心，以 $A C$ 的长为半径画弧交 $A B$ 于 $D$ ， $E$ 两点，则阴影部分的面积是（）

A、 $\frac{π}{2} - 1$ B、 $π - 2$ C、 $2 - \frac{π}{2}$ D、 $π - 1$

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11. 在平面直角坐标系中，对于点 $P (x ， y)$ 和 $Q (x ， y')$ ，给出如下定义：若 $y' = {\begin{array}{l} y + 1 (x \geq 0) \\ - y (x < 0) \end{array}$ ，则称点 $Q$ 为点 $P$ 的“亲密点”.例如：点 $(1 ， 2)$ 的“亲密点”为点 $(1 ， 3)$ ，点 $(- 1 ， 3)$ 的“亲密点”为点 $(- 1 ， - 3)$ .若点 $P$ 在函数 $y = x^{2} - 2 x - 3$ 的图象上.则其“亲密点” $Q$ 的纵坐标 $y'$ 关于 $x$ 的函数图象大致正确的是（）

A、 B、 C、 D、

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12. 如图，在平面直角坐标系中，点 $A$ ， $B$ 的坐标分别为 $(2 ， 0)$ ， $(0 ， 4)$ ，过 $A$ ， $O$ ， $B$ 三点作圆，点 $C$ 在第一象限部分的圆上运动，连结 $CO$ ，过点 $O$ 作 $CO$ 的垂线交 $C B$ 的延长线于点 $D$ ，下列说法：① $∠ A O C = ∠ B O D$ ；② $\sin ∠ D = \frac{1}{2}$ ；③ $C D$ 的最大值为10.其中正确的是（）

A、①② B、②③ C、①③ D、①②③

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二、填空题

13. 已知 $∠ A$ 是锐角，且 $tan A = 1$ ，则 $∠ A$ 的度数是º.

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14. 如图，显示的是用计算机模拟随机投掷一枚图钉的某次试验的结果.小明根据试验结果推断：随着重复试验次数的增加，“钉尖向上”的频率总在0.618附近摆动，显示出一定的稳定性，就可以估计“钉尖向上”的概率是0.618.你认为小明的推断是（填写“正确”或“错误”）的.

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15. 矩形的两边长分别为 $x$ 和6（ $x < 6$ ），把它按如图方式分割成三个全等的小矩形，每一个小矩形与原矩形相似，则 $x =$ .

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16. 如图，在 $Δ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ， $A C = 3$ ， $\sin B = \frac{3}{4}$ ，点 $G$ 是 $Δ A B C$ 的重心，连接 $C G$ 并延长交 $A B$ 于点 $M$ ，则 $C G =$ .

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17. 如图， $A$ ， $B$ ， $C$ 是 $⊙ O$ 上三点，若 $∠ A B C = 120 °$ ， $⊙ O$ 的半径为2，则劣弧 $A C$ 的长为.

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18. 如图，抛物线 $y = a (x - 4) (x + 1) (a > 0)$ 与 $x$ 轴交于 $A$ ， $B$ 两点（点 $A$ 在点 $B$ 的左边）与 $y$ 轴交于点 $C$ ，连接 $B C$ ，过点 $A$ 作直线 $B C$ 的平行线交抛物线于另一点 $E$ ，交 $y$ 轴于点 $D$ ，则 $\frac{A D}{D E}$ 的值为.

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三、解答题

19.

(1)、计算： $2 \sin 30 ° + \sqrt{3} \tan 60 ° - \sqrt{2} \cos 45 °$ .

(2)、已知 $\frac{x - 2 y}{y} = \frac{2}{5}$ ，求 $x$ 与 $y$ 的比.

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20. 在三个完全相同的小球上分别写上-2，-1，2三个数字，然后装入一个不透明的布袋内搅匀，从布袋中取出一个球，记下小球上的数字为 $m$ ，放回袋中再搅匀，然后再从袋中取出一个小球，记下小球上的数字为 $n$ ，组成一对数 $(m ， n)$ .

(1)、请用列表或画树状图的方法，表示出数对 $(m ， n)$ 的所有可能的结果；

(2)、求直线 $y = m x + n$ 不经过第一象限的概率.

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21. 某公园的人工湖边上有一座山，山顶上有一直竖的建筑物 $C D$ ，高为10米.某校数学兴趣小组的同学为了测量山的高度 $D E$ ，在公园找了一水平地面，在 $A$ 处测得建筑物点 $D$ （即山顶）的仰角为 $35 °$ ，沿水平方向前进20米到达 $B$ 点，测得建筑物顶部 $C$ 点的仰角为 $45 °$ ，求山的高度 $D E$ .（结果精确到1米，参考数据： $sin 35 ° \approx \frac{7}{12}$ ， $cos 35 ° \approx \frac{5}{6}$ ， $tan 35 ° \approx \frac{7}{10}$ ）

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22. 如图，已知A、B、C是⊙O上三点，其中 $\overset{⌢}{A B} = 2 \overset{⌢}{B C}$ ，过点B画BD⊥OC于点D.

(1)、求证：AB＝2BD；

(2)、若AB＝ $2 \sqrt{3}$ ，CD＝1，求图中阴影部分的面积.

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23. 如图，已知 $C D$ 是 $R t Δ A B C$ 斜边 $A B$ 上的中线，过点 $D$ 作 $A C$ 的平行线，过点 $C$ 作 $C D$ 的垂线，两线相交于点 $E$ .

(1)、求证： $Δ A B C \sim Δ D E C$ ；

(2)、若 $C E = 2$ ， $C D = 4$ ，求 $Δ A B C$ 的面积.

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24. 某园林专业户计划投资种植花卉及树木，根据市场调查与预测，种植树木的利润 $y_{1}$ 与投资金额 $x$ 成正比例关系，如图1所示；种植花卉的利润 $y_{2}$ 与投资金额 $x$ 成二次函数关系，如图2所示.（注：利润与投资金额的单位均为万元）

(1)、分别求出利润 $y_{1}$ 与 $y_{2}$ 关于投资金额 $x$ 的函数关系；

(2)、如果这位专业户以8万元资金投入种植花卉和树木，设他投入种植花卉的金额是 $x$ 万元，求这位专业户能获取的最大总利润是多少万元？

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25. 四边形的一条对角线把这个四边形分成了两个三角形，如果这两个三角形相似但不全等，我们就把这条对角线叫做这个四边形的“相似对角线”.

(1)、如图1，在四边形ABCD中，∠ABC＝100°，∠ADC＝130°，BD≠BC，对角线BD平分∠ABC.求证：BD是四边形ABCD的“相似对角线”；

(2)、如图2，已知格点△ABC，请你在正方形网格中画出所有的格点四边形ABCD，使四边形ABCD是以AC为“相似对角线”的四边形；（注：顶点在小正方形顶点处的多边形称为格点多边形）

(3)、如图3，四边形AOBC中，点A在射线OP： $y = \sqrt{3} x$ （x≥0）上，点B在x轴正半轴上，对角线OC平分∠AOB，连接AB.若OC是四边形AOBC的“相似对角线”，S_△_AOB＝6 $\sqrt{3}$ ，求点C的坐标.

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26. 如图1，抛物线 $y = - x^{2} + b x + c$ 交 $x$ 轴于点 $A (\frac{4}{3} ， 0)$ 和点 $B$ ，交 $y$ 轴于点 $C (0 ， 4)$ ，一次函数 $y = k x + m$ 的图象经过点 $B$ ， $C$ ，点 $P$ 是抛物线上第二象限内一点.

(1)、求二次函数和一次函数的表达式；

(2)、过点 $P$ 作 $x$ 轴的平行线交 $B C$ 于点 $D$ ，作 $B C$ 的垂线 $P M$ 交 $B C$ 于点 $M$ ，设点 $P$ 的横坐标为 $t$ ， $Δ P D M$ 的周长为 $l$ .
①求 $l$ 关于 $t$ 的函数表达式；

②求 $Δ P D M$ 的周长的最大值及此时点 $P$ 的坐标；

(3)、如图2，连接 $P C$ ，是否存在点 $P$ ，使得以 $P$ ， $M$ ， $C$ 为顶点的三角形与 $Δ C B O$ 相似？若存在，直接写出点 $P$ 的横坐标；若不存在，请说明理由.

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