河北省张家口市2018-2019学年高二下学期理数6月阶段测试试卷

试卷更新日期：2019-08-01 类型：月考试卷

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一、单选题

1. 已知 $a \in R$ ， $i$ 是虚数单位，若 $z = a - \sqrt{3} i ， z \cdot \bar{z} = 4$ ，则 $a =$ （）

A、1或 $- 1$ B、 $\sqrt{7}$ 或 $- \sqrt{7}$ C、 $- \sqrt{3}$ D、 $\sqrt{3}$

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2. 有三个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中的一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学不在同一个兴趣小组的情况有（）种

A、3 B、6 C、9 D、12

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3. 直线 ${\begin{array}{l} x = - 3 + t \sin 50 ° \\ y = 1 + t \cos 50 ° \end{array}$ （ $t$ 为参数）的倾斜角是（）

A、 $20 °$ B、 $70 °$ C、 $50 °$ D、 $40 °$

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4. 已知 ${(x + 1)}^{7} = a_{0} + a_{1} (x + 3) + a_{2} {(x + 3)}^{2} + \dots + a_{7} {(x + 3)}^{7}$ ，则 $a_{0} + a_{1} + \dots + a_{7} =$ （）

A、 $- 2$ B、 $- 1$ C、1 D、2

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5. 将直线 $x - y = 1$ 变换为直线 $3 x - 2 y = 6$ 的一个伸缩变换为（）

A、 ${\begin{array}{l} x^{'} = 2 x \\ y^{'} = 3 y \end{array}$ B、 ${\begin{array}{l} x^{'} = 3 x \\ y^{'} = 2 y \end{array}$ C、 ${\begin{array}{l} x^{'} = \frac{1}{3} x \\ y^{'} = \frac{1}{2} y \end{array}$ D、 ${\begin{array}{l} x^{'} = \frac{1}{2} x \\ y^{'} = \frac{1}{3} y \end{array}$

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6. 若10件产品中包含8件一等品，在其中任取2件，则在已知取出的2件中有1件不是一等品的条件下，另1件是一等品的概率为（）

A、 $\frac{12}{13}$ B、 $\frac{14}{15}$ C、 $\frac{16}{17}$ D、 $\frac{18}{19}$

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7. 函数 $f (x) = e \ln x - x$ 在 $(0 ， 2 e]$ 上的最大值为（）

A、 $1 - e$ B、 $- 1$ C、 $- e$ D、0

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8. 已知离散型随机变量 $ξ$ 的分布如下，若随机变量 $η = 3 ξ + 1$ ，则 $η$ 的数学期望为（）

$ξ$

0

1

2

$P$

0.4

$2 k$

$k$

A、3.2 B、3.4 C、3.6 D、3.8

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9. 在极坐标系中，设圆 $C ： ρ = 8 \sin θ$ 与直线 $l ： θ = \frac{π}{4} (ρ \in R)$ 交于 $A ， B$ 两点，则以线段 $A B$ 为直径的圆的极坐标方程为（）

A、 $ρ = 4 \sqrt{2} \sin (θ + \frac{π}{4})$ B、 $ρ = 4 \sqrt{2} \sin (θ - \frac{π}{4})$ C、 $ρ = 2 \sqrt{2} \cos (θ + \frac{π}{4})$ D、 $ρ = 2 \sqrt{2} \cos (θ - \frac{π}{4})$

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10. 在一次共有10000名考生的某市高二的联考中，这些学生的数学成绩 $ξ$ 服从正态分布 $N (100 ， σ^{2})$ ，且 $P (80 < ξ ⩽ 100) = 0.4$ .若按成绩分层抽样的方式抽取100份试卷进行分析，应从120分以上的试卷中抽取（）

A、20份 B、15份 C、10份 D、5份

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11. 设曲线 $C ： {\begin{array}{l} x = \sqrt{3} \cos φ \\ y = \sin φ \end{array}$ （ $φ$ 为参数）与 $x$ 轴的交点分别为 $M ， N$ ，点 $P$ 是曲线 $C$ 上的动点，且点 $P$ 不在坐标轴上，则直线 $P M$ 与 $P N$ 的斜率之积为（）

A、 $\frac{1}{3}$ B、 $- \frac{1}{3}$ C、 $\frac{3}{4}$ D、 $- \frac{4}{3}$

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12. 已知函数 $f (x) = x^{3} + (k + 1) x^{2} + (k + 5) x - 1$ ，其中 $k \in R$ ，若函数 $f (x)$ 在区间 $(0 ， 3)$ 上不单调，则实数 $k$ 的取值范围为（）

A、 $(- 5 ， - 2]$ B、 $(- 5 ， - 2)$ C、 $(- 3 ， - 2)$ D、 $(- 3 ， - 2]$

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二、填空题

13. 某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了5次试验，根据收集到的数据（如表），

零件数 $x$ 个

10

20

30

40

50

加工时间 $y (\min)$

62

75

81

89

由最小二乘法求得回归直线方程 $\hat{y} = 0.6 x + 54$ .由于后期没有保存好，导致表中有一个数据模糊不清，请你推断出该数据的值为

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14. 在极坐标系中，圆 $ρ = - \cos θ$ 的垂直于极轴的两条切线方程为（用极坐标书写）.

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15. 如图所示的三角形数阵叫“莱布尼兹调和三角形”，它们是由整数的倒数组成的，第 $n$ 行有 $n$ 个数且两端的数均为 $\frac{1}{n} (n ⩾ 2)$ ，其余每个数是它下一行左右相邻两数的和，如 $\frac{1}{1} = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} ， \frac{1}{2} = \frac{1}{3} + \frac{1}{6} ， \frac{1}{3} = \frac{1}{4} + \frac{1}{12}$ ，…，则第7行第3个数（从左往右数）为.

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16. 若曲线 $ρ = 2 \sqrt{2}$ 上有 $m$ 个点到曲线 $ρ \sin (θ - \frac{π}{4}) = \sqrt{2}$ 的距离为 $\sqrt{2}$ ，则 $m$ 的值为.

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三、解答题

17. 已知 $z$ 为复数， $z - 2 i ， \frac{z}{2 + i}$ 均为实数（其中 $i$ 为虚数单位），且复数 ${(z + m i)}^{2}$ 在复平面上对应的点在第二象限，求实数 $m$ 的取值范围.

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18. 某工厂每月生产某种产品四件，经检测发现，工厂生产该产品的合格率为 $\frac{9}{10}$ ，已知生产一件合格品能盈利100万元，生产一件次品将会亏损50万元，假设该产品任何两件之间合格与否相互没有影响．

(1)、若该工厂制定了每月盈利额不低于250万元的目标，求该工厂达到盈利目标的概率；

(2)、求工厂每月盈利额 $ξ$ 的分布列和数学期望．

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19. 将圆 $x^{2} + y^{2} = 1$ 上每一点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标变为原来的4倍，得曲线 $C$ .

(1)、写出 $C$ 的参数方程；

(2)、设直线 $l ： 2 x + y - 4 = 0$ 与 $C$ 的交点为 $P_{1} ， P_{2}$ ，以坐标原点为极点， $x$ 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求过线段 $P_{1} P_{2}$ 的中点与 $l$ 垂直的直线的极坐标方程.

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20. 大型综艺节目《最强大脑》中，有一个游戏叫做盲拧魔方，就是玩家先观察魔方状态并进行记忆，记住后蒙住眼睛快速还原魔方，盲拧在外人看来很神奇，其实原理是十分简单的，要学会盲拧也是很容易的．根据调查显示，是否喜欢盲拧魔方与性别有关．为了验证这个结论，某兴趣小组随机抽取了50名魔方爱好者进行调查，其中喜欢盲拧的30人中男性22人，女性人数正好等于男性不喜欢盲拧人数．

(1)、请完成下面的

2 \times 2

列联表

	喜欢盲拧	不喜欢盲拧	总计
男
女
总计

并判断能否在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为是否喜欢盲拧与性别有关？

(2)、现邀请其中20名男生参加盲拧三阶魔方比赛，其完成情况如下表所示．

成功完成时间（分钟）	$[0 ， 10)$	$[10 ， 20)$	$[20 ， 30)$	$[30 ， 40]$
人数	10	3	5	2

现从表中成功完成时间在 $[20 ， 30)$ 和 $[30 ， 40]$ 这两组内的7名男生中任意抽取2人对他们的盲拧情况进行视频记录，求2人成功完成时间恰好在同一组内的概率.

附参考公式及参考数据： $K^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ，其中 $n = a + b + c + d$

$P (k^{2} > k_{0})$	0.10	0.05	0.025	0.010	0.005	0.001
$k_{0}$	2.706	3.841	5.024	6.635	7.879	10.828

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21. 设函数 $f (x) = \ln x - \frac{1}{2} a x^{2} - b x$ 在点 $P (1 ， f (1))$ 处的切线方程是 $y = 8 x - 4$

(1)、求实数 $a ， b$ 的值.

(2)、若方程 $f (x) = (λ + 3) x^{2} (λ > 0)$ 有唯一实数解，求实数 $λ$ 的值.

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22. 在直角坐标系 $x o y$ 中，曲线 $C_{1}$ 的参数方程为 ${\begin{array}{l} x = 1 + t \cos α \\ y = - \sqrt{3} + t \sin α \end{array}$ （ $t$ 为参数， $0 ⩽ α < π$ ）；以坐标原点为极点， $x$ 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 $C_{2}$ 的极坐标方程为 $ρ = - 2 \sqrt{3} \sin θ$ .

(1)、写出当 $α = \frac{π}{4}$ 时 $C_{1}$ 的普通方程及 $C_{2}$ 的直角坐标方程；

(2)、设曲线 $C_{1}$ 与 $C_{2}$ 交于 $A ， B$ 两点，若 $| A B | = 3$ ，求 $α$ 的值.

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23. 已知函数 $f (x) = | x + m | + | x - \frac{n}{2} | ， m ， n \in (0 ， + \infty)$ .

(1)、若 $f (x) \geq \frac{1}{2}$ 恒成立，求 $2 m + n$ 的最小值；

(2)、若 $m = 3 ， n = 2$ ，求不等式 $f (x) > 5$ 的解集.

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$ξ$	0	1	2
$P$	0.4	$2 k$	$k$

零件数 $x$ 个	10	20	30	40	50
加工时间 $y (\min)$	62		75	81	89