福建省宁德市2018-2019学年高二下学期理数期末考试试卷

试卷更新日期：2019-08-01 类型：期末考试

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一、单选题

1. 已知复数 $z = (1 + 2 i) (1 - i)$ ，则其共轭复数 $\bar{z}$ 对应的点在复平面上位于（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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2. 某电子管正品率为 $\frac{3}{4}$ ，次品率为 $\frac{1}{4}$ ，现对该批电子管进行测试，那么在五次测试中恰有三次测到正品的概率是（）

A、 $C_{5}^{3} {(\frac{3}{4})}^{3}$ B、 $C_{5}^{2} {(\frac{1}{4})}^{2}$ C、 $C_{5}^{2} {(\frac{3}{4})}^{2} {(\frac{1}{4})}^{3}$ D、 $C_{5}^{3} {(\frac{3}{4})}^{3} {(\frac{1}{4})}^{2}$

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3. 在一项调查中有两个变量x（单位：千元）和y（单位：t），如图是由这两个变量近8年来的取值数据得到的散点图，那么适宜作为y关于x的回归方程类型的是（）

A、y＝a+bx B、y＝c+d $\sqrt{x}$ C、y＝m+nx² D、y＝p+qe^x（q＞0）

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4. 设随机变量 $ξ$ 服从正态分布 $N (1, 4)$ ，且 $P (ξ > 2) = 0.3$ ，则 $P (0 < ξ < 1) =$ （）

A、 $0.15$ B、 $0.2$ C、 $0.4$ D、 $0.7$

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5. 函数 $f (x) = x^{3} - 12 x + 8$ 的单调增区间是（）

A、 $(- \infty ， - 2) ， (2 ， + \infty)$ B、 $(- 2 ， 2)$ C、 $(- \infty ， - 2)$ D、 $(2 ， + \infty)$

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6. 已知离散型随机变量 $X$ 服从二项分布 $X ~ B (6, p)$ ，且 $E (X) = 1$ ，则 $D (X) =$ （）

A、 $\frac{1}{3}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $\frac{2}{3}$ D、 $\frac{5}{6}$

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7. 8张卡片上分别写有数字 $1 、 2 、 3 、 4 、 5 、 6 、 7 、 8$ ，从中随机取出2张，记事件 $A =$ “所取2张卡片上的数字之和为偶数”，事件 $B =$ “所取2张卡片上的数字之和小于9”，则 $P (B | A) =$ （）

A、 $\frac{1}{6}$ B、 $\frac{1}{3}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{2}{3}$

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8. 函数 $f (x) = \frac{x^{2} - 1}{e^{| x |}}$ 的图象大致是（）

A、 B、 C、 D、

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9. 由直线 $y = 3 - x$ ，曲线 $y = 2 \sqrt{x}$ 以及 $x$ 轴所围成的封闭图形的面积是（）

A、 $\frac{8}{3}$ B、 $3$ C、 $\frac{10}{3}$ D、 $\sqrt{2} + 2$

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10. 函数 $f (x) = \frac{e^{x}}{x^{2} - 3}$ 在 $[2 ， 4]$ 上的最大值为（）

A、 $e^{2}$ B、 $\frac{e^{3}}{6}$ C、 $\frac{e^{4}}{13}$ D、 $2 e^{2}$

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11. 在某班进行的歌唱比赛中，共有5位选手参加，其中3位女生，2位男生．如果2位男生不能连着出场，且女生甲不能排在第一个，那么出场顺序的排法种数为（）

A、30 B、36 C、60 D、72

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12. 已知可导函数 $f (x)$ 的导函数为 $f^{'} (x)$ ，若对任意的 $x \in R$ ，都有 $f (x) > f^{'} (x) + 1$ ，且 $f (x) - 2019$ 为奇函数，则不等式 $f (x) - 2018 e^{x} < 1$ 的解集为（）

A、 $(0 ， + \infty)$ B、 $(- \infty ， 0)$ C、 $(- \infty ， \frac{1}{e})$ D、 $(\frac{1}{e} ， + \infty)$

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二、填空题

13. 定积分 $\int_{0}^{1} (2 x + e^{x}) d x =$ ．

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14. $(1 + x) {(1 - x)}^{6}$ 的展开式中 $x^{5}$ 项的系数为．

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15. 若函数 $f (x) = \frac{1}{2} a x^{2} + x \ln x - x$ 存在单调递增区间，则 $a$ 的取值范围是.

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16. 杨辉三角，又称帕斯卡三角，是二项式系数在三角形中的一种几何排列.在我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法》一书中用如图所示的三角形解释二项展开式的系数规律.现把杨辉三角中的数从上到下，从左到右依次排列，得数列： $1 ， 1 ， 1 ， 1 ， 2 ， 1 ， 1 ， 3 ， 3 ， 1 ， 1 ， 4 ， 6 ， 4 ， 1 ， \dots$ .记作数列 ${a_{n}}$ ，若数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，则 $S_{68} =$ .

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三、解答题

17. 设复数 $z_{1} = 2 + a i (a \in R)$ ，复数 $z_{2} = 3 - i$ ．
（Ⅰ）若 ${(z_{1} + z_{2})}^{2} \in R$ ，求实数 $a$ 的值.

（Ⅱ）若 $\frac{z_{1}}{z_{2}} = b + \frac{1}{2} i$ ，求实数 $a, b$ 的值.

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18. 若 ${(2 x - a)}^{7} = a_{0} + a_{1} x + a_{2} x^{2} + \dots + a_{7} x^{7}$ ，且 $a_{4} = - 560$ .
（Ⅰ）求实数 $a$ 的值;

（Ⅱ）求 $a_{1} + \frac{a_{2}}{2} + \frac{a_{3}}{2^{2}} + \dots + \frac{a_{7}}{2^{6}}$ 的值.

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19. 宁德市某汽车销售中心为了了解市民购买中档轿车的意向，在市内随机抽取了100名市民为样本进行调查，他们月收入(单位：千元)的频数分布及有意向购买中档轿车人数如下表：

月收入	[3，4)	[4，5)	[5，6)	[6，7)	[7，8)	[8，9)
频数	6	24	30	20	15	5
有意向购买中档轿车人数	2	12	26	11	7	2

将月收入不低于6千元的人群称为“中等收入族”，月收入低于6千元的人群称为“非中等收入族”．

（Ⅰ）在样本中从月收入在[3，4)的市民中随机抽取3名，求至少有1名市民“有意向购买中档轿车”的概率.

（Ⅱ）根据已知条件完善下面的2×2列联表，并判断有多大的把握认为有意向购买中档轿车与收入高低有关？

		非中等收入族		中等收入族	总计
有意向购买中档轿车人数		40
无意向购买中档轿车人数				20
总计					100
$P (k^{2} \geq k_{0})$	0.10	0.05	0.010	0.005
$k_{0}$	2.706	3.841	6.635	7.879

附： $K^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$

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20. 已知曲线 $f (x) = e^{x} (a x + 1)$ 在 $x = 1$ 处的切线方程为 $y = b x - e$ .
（Ⅰ）求 $a ， b$ 值.

（Ⅱ）若函数 $g (x) = f (x) - 3 e^{x} - m$ 有两个零点，求实数 $m$ 的取值范围.

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21. 夏天喝冷饮料已成为年轻人的时尚. 某饮品店购进某种品牌冷饮料若干瓶，再保鲜.

（Ⅰ）饮品成本由进价成本和可变成本（运输、保鲜等其它费用）组成.根据统计，“可变成本” $y$ （元）与饮品数量 $x$ （瓶）有关系. $y$ 与 $x$ 之间对应数据如下表：

饮品数量 $x$ （瓶）	2	4	5	6	8
可变成本 $y$ （元）	3	4	4	4	5

依据表中的数据，用最小二乘法求出 $y$ 关于 $x$ 的线性回归方程 $\hat{y} = \hat{b} x + \hat{a}$ ；如果该店购入20瓶该品牌冷饮料，估计“可变成本”约为多少元？

（Ⅱ）该饮品店以每瓶10元的价格购入该品牌冷饮料若干瓶，再以每瓶15元的价格卖给顾客。如果当天前8小时卖不完，则通过促销以每瓶5元的价格卖给顾客(根据经验，当天能够把剩余冷饮料都低价处理完毕，且处理完毕后，当天不再购进)．该店统计了去年同期100天该饮料在每天的前8小时内的销售量(单位：瓶)，制成如下表：

每日前8个小时

销售量（单位：瓶）

频数

若以100天记录的频率作为每日前8小时销售量发生的概率，若当天购进18瓶，求当天利润的期望值.

（注：利润=销售额 $-$ 购入成本 $-$ “可变本成”）

参考公式：回归直线方程为 $\hat{y} = \hat{b} x + \hat{a}$ ，其中 $\hat{b} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} x_{i} y_{i} - n \bar{x} \bar{y}}{\sum_{i = 1}^{n} x_{i}^{2} - n {\bar{x}}^{2}}$

参考数据： $2 \times 3 + 4 \times 4 + 5 \times 4 + 6 \times 4 + 8 \times 5 = 106$ ， $2^{2} + 4^{2} + 5^{2} + 6^{2} + 8^{2} = 145$ .

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