北京市丰台区2018-2019学年高二下学期数学期末考试试卷

试卷更新日期：2019-08-01 类型：期末考试

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一、单选题

1. 已知复数 $z_{1} = 3 - 4 i$ ， $z_{2} = - 2 + 3 i$ ，则 $z_{1} + z_{2}$ 在复平面内对应的点在（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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2. 已知 $a < b < 0$ ，则下列不等式成立的是（）

A、 $a^{2} < b^{2}$ B、 $a^{2} < a b$ C、 $\frac{1}{a} < \frac{1}{b}$ D、 $\frac{b}{a} < 1$

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3. 已知等比数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，公比为 $q$ ，若 $a_{1} + a_{3} = 5$ ， $q = 2$ ，则 $S_{4}$ 等于（）

A、7 B、13 C、15 D、31

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4. 已知关于 $x$ 的不等式 $a x^{2} - x + c < 0$ 的解集为 ${x | - 1 < x < 2}$ ，则 $a + c$ 等于（）

A、 $- 1$ B、1 C、 $- 3$ D、3

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5. 已知函数 $f (x)$ 的定义域为 $(m ， n)$ ，导函数 $f^{'} (x)$ 在 $(m ， n)$ 上的图象如图所示，则 $f (x)$ 在 $(m ， n)$ 内的极小值点的个数为（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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6. 已知等差数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{3} + a_{4} + a_{5} + a_{6} + a_{7} = 90$ ，则 $a_{2} + a_{8}$ 等于（）

A、18 B、30 C、36 D、45

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7. 用边长为 $18 c m$ 的正方形铁皮做一个无盖的铁盒，在铁皮的四角各截去一个面积相等的小正方形，然后把四边折起，就能焊成铁盒，当铁盒的容积最大时，截去的小正方形的边长为（）

A、 $1 c m$ B、 $2 c m$ C、 $3 c m$ D、 $4 c m$

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8. 已知数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{1} = 2$ ， $a_{n} = - 2 a_{n - 1} + 3 (n \geq 2 且 n \in N^{*})$ ，则下列说法错误的是（）

A、 $a_{4} = - 7$ B、 $a_{4} - 1$ 是 $a_{2} - 1$ 与 $a_{6} - 1$ 的等比中项 C、数列 ${a_{n + 1} - a_{n}}$ 是等比数列 D、在 ${a_{n}}$ 中，只有有限个大于0的项

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9. 中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：有一个人走了378里路，第一天健步行走，从第二天起，由于脚痛，每天走的路程是前一天的一半，走了6天后到达目的地，则此人第二天走的路程为（）

A、96里 B、189里 C、192里 D、288里

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10. 已知 $f (x)$ 是定义在 $R$ 上的奇函数， $f (- 1) = 0$ ，当 $x < 0$ 时， $x f^{'} (x) + f (x) < 0$ ，则使得 $f (x) > 0$ 成立的 $x$ 的取值范围是（）

A、 $(- \infty ， - 1) \cup (0 ， 1)$ B、 $(- 1 ， 0) \cup (1 ， + \infty)$ C、 $(- \infty ， - 1) \cup (- 1 ， 0)$ D、 $(0 ， 1) \cup (1 ， + \infty)$

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二、填空题

11. 复数 $i (1 - i)$ 的实部为.

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12. 已知 $x > 0$ ，则 $x + \frac{4}{x}$ 的最小值为.

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13. 已知函数 $f (x) = x^{3} + a x$ 在 $R$ 上单调递增，则实数 $a$ 的取值范围是

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14. 已知数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n} = n^{2}$ ，则 $a_{4} =$ .

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15. 已知函数 $f (x) = x e^{x} - m$ ，则 $f (x)$ 的单调递减区间是；若 $f (x)$ 有两个不同的零点，则实数 $m$ 的取值范围是.

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16. 已知数列 ${a_{n}}$ 的通项 $a_{n} = 2 n - 1$ ，把 ${a_{n}}$ 中的各项按照一定的顺序排列成如图所示的三角形矩阵

①数阵中第5行所有项的和为；

②2019是数阵中第 $i$ 行的第 $j$ 列，则 $i + j =$ .

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三、解答题

17. 已知函数 $f (x) = x^{3} - 3 x + 6$ .

(1)、求 $f (x)$ 的极值；

(2)、求 $f (x)$ 在 $[0 ， 2]$ 上的最大值与最小值，并写出相应的 $x$ 的值.

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18. 已知关于 $x$ 的不等式 $(x - a) (x - 2 a) > 0$ 的解集为 $M$ .

(1)、当 $a = 1$ 时，求 $M$ ；

(2)、当 $a \in R$ 时，求 $M$ .

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19. 已知等差数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{1} = 1$ ， $a_{3} + a_{5} = 8$ .

(1)、求 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、设 $b_{n} = {(\frac{1}{3})}^{a_{n}} + a_{n}$ ，求数列 ${b_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n}$ .

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20. 已知函数 $f (x) = \frac{\ln x}{x}$ ， $g (x) = a x$ ， $a \in R$ ．

(1)、求曲线 $y = f (x)$ 在点 $(1 ， 0)$ 处的切线方程；

(2)、若不等式 $f (x) < g (x)$ 对 $x \in (0 ， + \infty)$ 恒成立，求 $a$ 的取值范围；

(3)、若直线 $y = - a$ 与曲线 $y = f (x) - g (x)$ 相切，求 $a$ 的值.

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