2017年浙江省衢州市中考数学试卷

试卷更新日期：2017-06-14 类型：中考真卷

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一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分）

1. -2的倒数是（）

A、 $- \frac{1}{2}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、-2 D、2

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2.
下图是由四个相同的小立方块搭成的几何体，它的主视图是（）

A、 B、 C、 D、

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3. 下列计算正确的是（）

A、 $2 a + b = 2 a b$ B、 ${(- a)}^{2} = a^{2}$ C、 $a^{6} \div a^{2} = a^{3}$ D、 $a^{3} \cdot a^{2} = a^{6}$

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4. 据调查，某班20位女同学所穿鞋子的尺码如下表所示，则鞋子尺码的众数和中位数分别是（）
尺码（码）
34
35
36
37
38
人数
2
5
10
2
1

A、 35码，35码 B、35码，36码 C、36码，35码 D、36码，36码

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5.
如图，AB∥CD，∠A=70°，∠C=40°，则∠E等于（）

A、 30° B、40° C、60° D、70°

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6. 二元一次方程组 ${\begin{cases} x + y = 6 \\ x - 3 y = - 2 \end{cases}$ 的解是（）

A、 ${\begin{cases} x = 5 \\ y = 1 \end{cases}$ B、 ${\begin{cases} x = 4 \\ y = 2 \end{cases}$ C、 ${\begin{cases} x = - 5 \\ y = - 1 \end{cases}$ D、 ${\begin{cases} x = - 4 \\ y = - 2 \end{cases}$

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7.
下列四种基本尺规作图分别表示：①作一个角等于已知角；②作一个角的平分线；③作一条线段的垂直平分线；④过直线外一点P作已知直线的垂线。则对应作法错误的是（）

A、 ① B、② C、③ D、④

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8.
如图，在直角坐标系中，点A在函数 $y = \frac{4}{x} (x > 0)$ 的图象上，AB⊥ $x$ 轴于点B，AB的垂直平分线与 $y$ 轴交于点C，与函数 $y = \frac{4}{x} (x > 0)$ 的图象交于点D。连结AC，CB，BD，DA，则四边形ACBD的面积等于（）

A、 2 B、 $2 \sqrt{3}$ C、4 D、 $4 \sqrt{3}$

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9.
如图，矩形纸片ABCD中，AB=4，BC=6，将△ABC沿AC折叠，使点B落在点E处，CE交AD于点F，则DF的长等于（）

A、 $\frac{3}{5}$ B、 $\frac{5}{3}$ C、 $\frac{7}{3}$ D、 $\frac{5}{4}$

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10.
运用图形变化的方法研究下列问题：如图，AB是⊙O的直径，CD，EF是⊙O的弦，且AB∥CD∥EF，AB=10，CD=6，EF=8。则图中阴影部分的面积是（）

A、 $\frac{25}{2} π$ B、 $10 π$ C、 $24 + 4 π$ D、 $24 + 5 π$

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二、填空题（本题有6小题，每小题4分，共24分）

11. 二次根式 $\sqrt{a - 2}$ 中字母 $a$ 的取值范围是

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12. 计算： $\frac{2 x}{x + 1} + \frac{1 - x}{x + 1} =$

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13. 在一个箱子里放有1个白球和2个红球，它们除颜色外其余都相同。从箱子里摸出1个球，则摸到红球的概率是

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14.
如图，从边长为 $(a + 3)$ 的正方形纸片中剪去一个边长为3的正方形，剩余部分沿虚线又剪拼成一个如图所示的长方形（不重叠，无缝隙），则拼成的长方形的另一边长是

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15.
如图，在直角坐标系中，⊙A的圆心A的坐标为（-1，0），半径为1，点P为直线 $y = - \frac{3}{4} x + 3$ 上的动点，过点P作⊙A的切线，切点为Q，则切线长PQ的最小值是

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16.
如图，正△ABO的边长为2，O为坐标原点，A在 $x$ 轴上，B在第二象限。△ABO沿 $x$ 轴正方向作无滑动的翻滚，经第一次翻滚后得△A₁B₁O，则翻滚3次后点B的对应点的坐标是；翻滚2017次后AB中点M经过的路径长为.

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三、解答题（本题有8小题，共66分）

17. 计算： $\sqrt{12} + {(π - 1)}^{0} \times | - 2 | - \tan 60 °$

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18.
解下列一元一次不等式组：

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19.
如图，AB为半圆O的直径，C为BA延长线上一点，CD切半圆O于点D。连结OD，作BE⊥CD于点E，交半圆O于点F。已知CE=12，BE=9

(1)、求证：△COD∽△CBE；

(2)、求半圆O的半径 $r$ 的长

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20.
根据衢州市统计局发布的统计数据显示，衢州市近5年国民生产总值数据如图1所示，2016年国民生产总值中第一产业、第二产业、第三产业所占比例如图2所示。
请根据图中信息，解答下列问题：

(1)、求2016年第一产业生产总值（精确到1亿元）；

(2)、2016年比2015年的国民生产总值增加了百分之几（精确到1%）？

(3)、若要使2018年的国民生产总值达到1573亿元，求2016年至2018年我市国民生产总值平均年增长率（精确到1%）。

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21.
“五一”期间，小明一家乘坐高铁前往某市旅游，计划第二天租用新能源汽车自驾出游。
根据以上信息，解答下列问题：

(1)、设租车时间为 $x$ 小时，租用甲公司的车所需费用为 $y_{1}$ 元，租用乙公司的车所需费用为 $y_{2}$ 元，分别求出 $y_{1}$ ， $y_{2}$ 关于 $x$ 的函数表达式；

(2)、请你帮助小明计算并选择哪个出游方案合算。

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22.
定义：如图1，抛物线 $y = a x^{2} + b c + c (a \neq 0)$ 与 $x$ 轴交于A，B两点，点P在抛物线上（点P与A，B两点不重合），如果△ABP的三边满足 $A P^{2} + B P^{2} = A B^{2}$ ，则称点P为抛物线 $y = a x^{2} + b c + c (a \neq 0)$ 的勾股点。

(1)、直接写出抛物线 $y = - x^{2} + 1$ 的勾股点的坐标；

(2)、如图2，已知抛物线C： $y = a x^{2} + b x (a \neq 0)$ 与 $x$ 轴交于A，B两点，点P（1， $\sqrt{3}$ ）是抛物线C的勾股点，求抛物线C的函数表达式；

(3)、在（2）的条件下，点Q在抛物线C上，求满足条件 $S_{Δ A B Q} = S_{Δ A B P}$ 的点Q（异于点P）的坐标

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23.
问题背景
如图1，在正方形ABCD的内部，作∠DAE=∠ABF=∠BCG=∠CDH，根据三角形全等的条件，易得△DAE≌△ABF≌△BCG≌△CDH，从而得到四边形EFGH是正方形。
类比研究
如图2，在正△ABC的内部，作∠BAD=∠CBE=∠ACF，AD，BE，CF两两相交于D，E，F三点（D，E，F三点不重合）。

(1)、△ABD，△BCE，△CAF是否全等？如果是，请选择其中一对进行证明；

(2)、△DEF是否为正三角形？请说明理由；

(3)、进一步探究发现，△ABD的三边存在一定的等量关系，设 $B D = a$ ， $A D = b$ ， $A B = c$ ，请探索 $a$ ， $b$ ， $c$ 满足的等量关系。

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24.
在直角坐标系中，过原点O及点A（8，0），C（0，6）作矩形OABC，连结OB，D为OB的中点。点E是线段AB上的动点，连结DE，作DF⊥DE，交OA于点F，连结EF。已知点E从A点出发，以每秒1个单位长度的速度在线段AB上移动，设移动时间为t秒。

(1)、如图1，当t=3时，求DF的长；

(2)、如图2，当点E在线段AB上移动的过程中，∠DEF的大小是否发生变化？如果变化，请说明理由；如果不变，请求出tan∠DEF的值；

(3)、连结AD，当AD将△DEF分成的两部分面积之比为1：2时，求相应t的值。

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尺码（码）	34	35	36	37	38
人数	2	5	10	2	1