浙江省宁波十校2019届高三数学5月适应性考试试卷

试卷更新日期：2019-07-29 类型：高考模拟

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一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分

1. 已知集合M={x∈Zlx²-x-6≤0}，N={xl1≤x≤3}，则M∩N=（）

A、[1，3） B、[1，3] C、{1，2} D、{1，2，3}

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2. 双曲线5y²-4x²=20的渐近线方程是（）

A、y=± $\frac{\sqrt{5}}{2}$ x B、y=± $\frac{2 \sqrt{5}}{2}$ x C、y=± $\frac{4}{5}$ x D、y=± $\frac{5}{4}$ x

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3. 从装有1个黑球，2个白球和2个红球的盒子里随机拿出2个小球，记拿到红球的个数为ξ，则E(ξ）为（）

A、 $\frac{4}{5}$ B、 $\frac{3}{5}$ C、 $\frac{2}{5}$ D、 $\frac{3}{10}$

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4. 已知△ABC的三个内角分别是A．B，C，p：cosC＞ $\frac{1}{2}$ ，g：C∈( 0， $\frac{π}{3}$ ），则p是q的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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5. 函数f(x)=(x- $\frac{1}{x}$ )sin2x(-π≤x≤π且x≠0)的图象可能的是（）

A、 B、 C、 D、

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6. 在（x-2)²⁰¹⁹的二项展开式中，含x的奇次幂的项之和为M，含x的偶次幂的项之和为N，则当x=-1时，M-N=（）

A、（-3）²⁰¹⁹ B、-1 C、1 D、3²⁰¹⁹

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7. 一个几何体的三视图如图所示（单位：cm)，则该几何体的正视图侧视图体积是（）cm³ ．

A、 $\frac{13}{3}$ B、 $4 + \frac{\sqrt{2}}{3}$ C、 $\frac{14}{3}$ D、 $4 + \frac{2 \sqrt{2}}{3}$

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8. 已知数列{a_n}的通项公式a_n=ln(1+（ $\frac{2}{3}$ ）ⁿ)，其前n项和为S_n ，且S_n<m对任意正整数n均成立，则正整数m的最小值为（）

A、2 B、4 C、6 D、8

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9. 已知函数f(x）= ${\begin{cases} | x^{2} - 4 x - a | + | x^{2} - 4 x + a^{2} | ， 0 < x \leq 5 \\ x + 2 a + 2 ， - 1 \leq x \leq 0 \end{cases}$ ，的最小值是a²+a，则实数a的取值范围是（）

A、 $0 \leq a \leq \frac{\sqrt{5} - 1}{2}$ B、 $0 \leq a \leq \frac{\sqrt{5} - 1}{2}$ 或a= $\frac{\sqrt{5} + 1}{2}$ C、 $0 \leq a \leq \frac{\sqrt{5} + 1}{2}$ D、 $0 \leq a \leq \frac{\sqrt{5} + 1}{2}$ 或a= $\frac{1 - \sqrt{5}}{2}$

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10. 如图，点P是平面ABC外一点，点D是边AC上的动点（不含端点），且满足PD=PA，PB=BA=BC=2，∠ABC= $\frac{2 π}{3}$ ，则四面体P-BCD体积的最大值是（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ C、 $\frac{2}{3}$ D、 $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$

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二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分。

11. 加斯帕尔·蒙日是19世纪著名的几何学家，创立了画法几何学，推动了空间解析几何学的独立发展。他给出了蒙日圆的定义，即：“在椭圆中，任意两条互相垂直的切线的交点都在同一个圆上，它的圆心是椭圆中心，半径等于长半轴与短半轴平方和的算术平方根”．已知椭圆方程为： $\frac{x^{2}}{5} + \frac{y^{2}}{4}$ =1，写出该椭圆任意两条互相垂直的切线的交点形成的圆的方程，过点（3，6）且与该圆相切的直线的一般方程为．

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12. 已知复数z= $\frac{1 + i}{1 - i}$ ，则|z|= ， z²⁰¹⁹= ．

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13. 若实数x，y满足约束条件 ${\begin{cases} x + 5 y - 8 \leq 0 \\ x - 5 y - 4 \leq 0 \\ x - y - 2 \geq 0 \end{cases}$ ，则z= $\frac{1}{2}$ x-y最小值是， x²+y²的最小值是．

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14. 已知△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，△ABC的面积S=2a²sinC．
（Ⅰ） $\frac{b}{a} + \frac{a}{b}$ = ，

（Ⅱ)若c=10，角C的平分线CM交边AB于点M，且|CM|=4，则b= ．

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15. 五一假期从5月1日至4日调休4天，某班6名同学准备五一期间去参加社会实践做志愿者，每人社会实践一天，且甲乙两人不在同一天的不同安排方案有种（用数字作答）．

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16. 如图，过抛物线焦点F的直线交抛物线C₁：y²=4x于A，B两点，且|AF|=4，双曲线C₂： $\frac{y^{2}}{a^{2}} - \frac{x^{2}}{b^{2}}$ =1（a>0，b>0)过点．B，则双曲线的离心率是．

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17. 已知向量a，b，c满足|a|= $\frac{1}{2}$ |b|=|c|=1，a-b=1，则 $| c + \frac{1}{2} a | + \frac{1}{2} | c - b |$ 的取值范围是．

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三、解答题：本大题共5小题，共74分；

18. 已知偶函数f(x)=Asin(ωx+ $φ$ )(A>0，ω>0，0< $φ$ <π)的最大值为3，其图象与直线y=-3的某两个交点的横坐标为x₁ ， x₂ ，且|x₁-x₂|的最小值为π．
（Ⅰ）求函数f(x)的解析式，并写出f(x)单调递减区间；

（Ⅱ）设函数s(x)=f(x- $\frac{π}{8}$ ），求g(x）在区间[ $\frac{π}{4}$ ， $\frac{π}{2}$ ]上的值域。

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19. 如图，在四棱台ABCD-A₁B₁C₁D₁中，底面ABCD是菱形，∠ABC= $\frac{π}{3}$ ，∠B₁BA=∠B₁BC，∠B₁BD= $\frac{π}{6}$ ，AB=2A₁B₁=2，B₁B=2，E是CD的中点．

（Ⅰ）求证：直线AC⊥平面BDD₁B₁；

（Ⅱ)求直线ED₁与平面ABB₁A₁所成角的正弦值。

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20. 已知数列{a_n}的前n项和为S_n ，且S_n=n² ， n∈N*，数列{b_n}满足：b₁=1，b₂= $\frac{1}{3}$ ，且3_bn+2-4_bn+1+b_n=0，n∈N*．
（Ⅰ）求证：数列{b_n+1 ， -b_n}是等比数列；
（Ⅱ)求数列{a_n}与{b_n}的通项公式；
（Ⅲ)设c_n= $\frac{n + 1}{a_{n} a_{n + 1}} b_{n + 1}$ ，数列{c_n}的前n项和为了T_n ，求证：T_n< $\frac{1}{4}$

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21. 已知点P是椭圆C： $\frac{x^{2}}{2}$ +y²=1外一点，过点P作椭圆的两条切线，切点分别为A(x₁ ， y₁），B(x₂ ， y₂)(y₁y₂≠0)．

（Ⅰ）求证：切线PA的方程是x₁x+2y₁y-2=0；

（Ⅱ）设点P为抛物线D：y=x²+2上的动点，求△PAB面积的最小值．

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22. 已知函数f(x)= $\frac{1}{2}$ （x+a)²+blnx，a，b∈ R．
（Ⅰ）若直线y=ax是曲线y=f(x)的切线，求a²b的最大值；

（Ⅱ)设b=1，若函数f(x)有两个极值点高与x，且x₁<x₂ ，求 $\frac{f (x_{2})}{x_{1}}$ 的取值范围．

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