2017年高考理数真题试卷（山东卷）

试卷更新日期：2017-06-12 类型：高考真卷

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一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符号题目要求的.

1. 设函数y= $\sqrt{4 - x^{2}}$ 的定义域为A，函数y=ln（1﹣x）的定义域为B，则A∩B=（　　）

A、（1，2） B、（1，2] C、（﹣2，1） D、[﹣2，1）

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2. 已知a∈R，i是虚数单位，若z=a+ $\sqrt{3}$ i，z• $\bar{z}$ =4，则a=（　　）

A、1或﹣1 B、 $\sqrt{7}$ 或﹣ $\sqrt{7}$ C、﹣ $\sqrt{3}$ D、 $\sqrt{3}$

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3. 已知命题p：∀x＞0，ln（x+1）＞0；命题q：若a＞b，则a²＞b² ，下列命题为真命题的是（　　）

A、p∧q B、p∧￢q C、￢p∧q D、￢p∧￢q

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4. 已知x，y满足约束条件 ${\begin{matrix} x - y + 3 \leq 0 \\ 3 x + y + 5 \leq 0 \\ x + 3 \geq 0 \end{matrix}$ ，则z=x+2y的最大值是（　　）

A、0 B、2 C、5 D、6

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5. 为了研究某班学生的脚长x（单位：厘米）和身高y（单位：厘米）的关系，从该班随机抽取10名学生，根据测量数据的散点图可以看出y与x之间有线性相关关系，设其回归直线方程为 $\hat{y}$ = $\hat{b}$ x+ $\hat{a}$ ，已知 $\sum_{i = 1}^{10}$ x_i=225， $\sum_{i = 1}^{10}$ y_i=1600， $\hat{b}$ =4，该班某学生的脚长为24，据此估计其身高为（　　）

A、160 B、163 C、166 D、170

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6.
执行两次如图所示的程序框图，若第一次输入的x值为7，第二次输入的x值为9，则第一次，第二次输出的a值分别为（　　）

A、0，0 B、1，1 C、0，1 D、1，0

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7. 若a＞b＞0，且ab=1，则下列不等式成立的是（　　）

A、a+ $\frac{1}{b}$ ＜ $\frac{b}{2^{a}}$ ＜log₂（a+b）） B、 $\frac{b}{2^{a}}$ ＜log₂（a+b）＜a+ $\frac{1}{b}$ C、a+ $\frac{1}{b}$ ＜log₂（a+b）＜ $\frac{b}{2^{a}}$ D、log₂（a+b））＜a+ $\frac{1}{b}$ ＜ $\frac{b}{2^{a}}$

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8. 从分别标有1，2，…，9的9张卡片中不放回地随机抽取2次，每次抽取1张，则抽到在2张卡片上的数奇偶性不同的概率是（　　）

A、 $\frac{5}{18}$ B、 $\frac{4}{9}$ C、 $\frac{5}{9}$ D、 $\frac{7}{9}$

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9. 在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若△ABC为锐角三角形，且满足sinB（1+2cosC）=2sinAcosC+cosAsinC，则下列等式成立的是（　　）

A、a=2b B、b=2a C、A=2B D、B=2A

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10. 已知当x∈[0，1]时，函数y=（mx﹣1）² 的图象与y= $\sqrt{x}$ +m的图象有且只有一个交点，则正实数m的取值范围是（　　）

A、（0，1]∪[2 $\sqrt{3}$ ，+∞） B、（0，1]∪[3，+∞） C、（0， $\sqrt{2}$ ）∪[2 $\sqrt{3}$ ，+∞） D、（0， $\sqrt{2}$ ]∪[3，+∞）

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二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分

11. 已知（1+3x）ⁿ的展开式中含有x²的系数是54，则n= ．

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12. 已知 $\vec{e_{1}}$ ， $\vec{e_{2}}$ 是互相垂直的单位向量，若 $\sqrt{3} \vec{e_{1}}$ ﹣ $\vec{e_{2}}$ 与 $\vec{e_{1}}$ +λ $\vec{e_{2}}$ 的夹角为60°，则实数λ的值是．

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13.
由一个长方体和两个 $\frac{1}{4}$ 圆柱体构成的几何体的三视图如图，则该几何体的体积为．

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14. 在平面直角坐标系xOy中，双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}}$ =1（a＞0，b＞0）的右支与焦点为F的抛物线x²=2py（p＞0）交于A，B两点，若|AF|+|BF|=4|OF|，则该双曲线的渐近线方程为．

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15. 若函数e^xf（x）（e≈2.71828…是自然对数的底数）在f（x）的定义域上单调递增，则称函数f（x）具有M性质．下列函数中所有具有M性质的函数的序号为．
①f（x）=2^﹣^x②f（x）=3^﹣^x③f（x）=x³④f（x）=x²+2．

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三、解答题（共6小题，满分75分）

16. 设函数f（x）=sin（ωx﹣ $\frac{π}{6}$ ）+sin（ωx﹣ $\frac{π}{2}$ ），其中0＜ω＜3，已知f（ $\frac{π}{6}$ ）=0．

（Ⅰ）求ω；
（Ⅱ）将函数y=f（x）的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再将得到的图象向左平移 $\frac{π}{4}$ 个单位，得到函数y=g（x）的图象，求g（x）在[﹣ $\frac{π}{4}$ ， $\frac{3 π}{4}$ ]上的最小值．

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17. 如图，几何体是圆柱的一部分，它是由矩形ABCD（及其内部）以AB边所在直线为旋转轴旋转120°得到的，G是 $\hat{D F}$ 的中点．

（Ⅰ）设P是 $\hat{C E}$ 上的一点，且AP⊥BE，求∠CBP的大小；
（Ⅱ）当AB=3，AD=2时，求二面角E﹣AG﹣C的大小．

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18. 在心理学研究中，常采用对比试验的方法评价不同心理暗示对人的影响，具体方法如下：将参加试验的志愿者随机分成两组，一组接受甲种心理暗示，另一组接受乙种心理暗示，通过对比这两组志愿者接受心理暗示后的结果来评价两种心理暗示的作用，现有6名男志愿者A₁ ， A₂ ， A₃ ， A₄ ， A₅ ， A₆和4名女志愿者B₁ ， B₂ ， B₃ ， B₄ ，从中随机抽取5人接受甲种心理暗示，另5人接受乙种心理暗示．

（Ⅰ）求接受甲种心理暗示的志愿者中包含A₁但不包含B₁的概率．
（Ⅱ）用X表示接受乙种心理暗示的女志愿者人数，求X的分布列与数学期望EX．

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19. 已知{x_n}是各项均为正数的等比数列，且x₁+x₂=3，x₃﹣x₂=2．

（Ⅰ）求数列{x_n}的通项公式；
（Ⅱ）如图，在平面直角坐标系xOy中，依次连接点P₁（x₁ ， 1），P₂（x₂ ， 2）…P_n₊₁（x_n₊₁ ， n+1）得到折线P₁ P₂…P_n₊₁ ，求由该折线与直线y=0，x=x₁ ， x=x_n₊₁所围成的区域的面积T_n ．

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20. 已知函数f（x）=x²+2cosx，g（x）=e^x（cosx﹣sinx+2x﹣2），其中e≈2.17828…是自然对数的底数．（13分）

（Ⅰ）求曲线y=f（x）在点（π，f（π））处的切线方程；
（Ⅱ）令h（x）=g （x）﹣a f（x）（a∈R），讨论h（x）的单调性并判断有无极值，有极值时求出极值．

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21.
在平面直角坐标系xOy中，椭圆E： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}}$ =1（a＞b＞0）的离心率为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ ，焦距为2．（14分）

（Ⅰ）求椭圆E的方程．
（Ⅱ）如图，该直线l：y=k₁x﹣ $\frac{\sqrt{3}}{2}$ 交椭圆E于A，B两点，C是椭圆E上的一点，直线OC的斜率为k₂ ，且看k₁k₂₌ $\frac{\sqrt{2}}{4}$ ，M是线段OC延长线上一点，且|MC|：|AB|=2：3，⊙M的半径为|MC|，OS，OT是⊙M的两条切线，切点分别为S，T，求∠SOT的最大值，并求取得最大值时直线l的斜率．

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