浙江省省丽水市2018-2019学年高一下学期数学期末考试试卷

试卷更新日期：2019-07-25 类型：期末考试

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一、单选题

1. 直线 $x + 3 y + 1 = 0$ 在 $y$ 轴上的截距是（）

A、 $- 3$ B、 $3$ C、 $- \frac{1}{3}$ D、 $\frac{1}{3}$

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2. 已知向量 $\vec{a} = (1, 2), \vec{b} = (2, x)$ ，若 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 垂直，则实数 $x$ 的值是（）

A、 $4$ B、 $- 4$ C、 $1$ D、 $- 1$

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3. 经过点 $A (1, - 2)$ 且与直线 $l : x + 2 y - 1 = 0$ 平行的直线方程是（）

A、 $x + 2 y + 3 = 0$ B、 $x + 2 y - 3 = 0$ C、 $2 x - y + 1 = 0$ D、 $2 x - y - 4 = 0$

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4. 已知角 $α$ 的终边经过点 $P (- 2 ， 1)$ ，则（）

A、 $\sin α = \frac{\sqrt{5}}{5}$ B、 $\sin α = \frac{2 \sqrt{5}}{5}$ C、 $\cos α = \frac{\sqrt{5}}{5}$ D、 $\tan α = - 2$

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5. 为了得到函数 $y = \sin 2 x$ 的图像，只需把函数 $y = \cos 2 x$ 的图像（）

A、向左平移 $\frac{π}{4}$ 个单位 B、向右平移 $\frac{π}{4}$ 个单位 C、向左平移 $\frac{π}{2}$ 个单位 D、向右平移 $\frac{π}{2}$ 个单位

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6. 已知函数 $f (x) = g (x) \cos (x + \frac{π}{4})$ ，若函数 $f (x)$ 是周期为 $π$ 的偶函数，则 $g (x)$ 可以是（）

A、 $\cos x$ B、 $\sin x$ C、 $\cos (x + \frac{π}{4})$ D、 $\sin (x + \frac{π}{4})$

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7. 在梯形 $A B C D$ 中，已知 $A B ∥ C D$ ， $A B = 2 D C$ ，点 $P$ 在线段 $B C$ 上，且 $B P = 2 P C$ ，则（）

A、 $\overset{⇀}{A P} = \frac{2}{3} \overset{⇀}{A B} + \frac{1}{2} \overset{⇀}{A D}$ B、 $\overset{⇀}{A P} = \frac{1}{2} \overset{⇀}{A B} + \frac{2}{3} \overset{⇀}{A D}$ C、 $\overset{⇀}{A D} = \frac{3}{2} \overset{⇀}{A P} - \overset{⇀}{A B}$ D、 $\overset{⇀}{A D} = \frac{2}{3} \overset{⇀}{A P} - \overset{⇀}{A B}$

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8. 设等差数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，公差为 $d$ ，已知 $a_{1} \neq 0$ ， $S_{5} = S_{17}$ ，则（）

A、 $d a_{11} > 0$ B、 $d a_{12} > 0$ C、 $a_{1} a_{12} > 0$ D、 $a_{1} a_{11} < 0$

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9. 如图所示，用两种方案将一块顶角为 $120^{°}$ ，腰长为 $2$ 的等腰三角形钢板 $O A B$ 裁剪成扇形，设方案一、二扇形的面积分别为 $S_{1} {， S}_{2}$ ，周长分别为 $l_{1} ， l_{2}$ ，则（）

A、 $S_{1} = S_{2}$ ， $l_{1} > l_{2}$ B、 $S_{1} = S_{2}$ ， $l_{1} < l_{2}$ C、 $S_{1} > S_{2}$ ， $l_{1} = l_{2}$ D、 $S_{1} < S_{2}$ ， $l_{1} = l_{2}$

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10. 若 $x, y \in R$ ,以下选项能推出 $x > y$ 的是（）

A、 $x^{2} > y^{2}$ B、 $2^{x} + 2 x = 2^{y} + 3 y$ C、 $\frac{x}{\sqrt{x^{2} + 1}} > \frac{y}{\sqrt{y^{2} + 1}}$ D、 $x + \frac{1}{x} > y + \frac{1}{y}$

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11. 对于无穷数列 ${a_{n}}$ ，给出下列命题：
①若数列 ${a_{n}}$ 既是等差数列，又是等比数列，则数列 ${a_{n}}$ 是常数列.②若等差数列 ${a_{n}}$ 满足 $| a_{n} | \leq 2019$ ，则数列 ${a_{n}}$ 是常数列.③若等比数列 ${a_{n}}$ 满足 $| a_{n} | \leq 2019$ ，则数列 ${a_{n}}$ 是常数列.④若各项为正数的等比数列 ${a_{n}}$ 满足 $1 \leq a_{n} \leq 2019$ ，则数列 ${a_{n}}$ 是常数列.

其中正确的命题个数是（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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12. 若关于 $x$ 的不等式 $a x + 6 + | x^{2} - a x - 6 | \geq 4$ 恒成立，则实数 $a$ 的取值范围是（）

A、 $(- \infty, 1]$ B、 $[- 1, 1]$ C、 $[- 1, + \infty)$ D、 $(- \infty, - 1] \cup [1, + \infty)$

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二、填空题

13. 已知等比数列 ${a_{n}}$ 的公比为 $q$ ，若 $a_{2} = 1$ ， $a_{5} = 27$ ，则 $a_{1}$ =； $q$ = ．

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14. 已知 $\sin α + 2 \cos α = 0$ ，则 $\tan α$ =； $\sin^{2} α - 2 \cos^{2} α$ = ．

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15. 设正数 $a, b$ 满足 $a^{2} + 4 b^{2} + \frac{1}{a b} = 4$ ，则 $a =$ ； $b =$ ．

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16. 如图，在 $Δ A B C$ 中，已知 $A B = 1$ ， $A C = 3$ ， $D$ 是 $B C$ 的中点，则 $\vec{A D} \cdot \vec{B C} =$ .

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17. 已知平面向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 满足 $| \vec{a} | = 1, \vec{a} \cdot \vec{b} = 3$ ，则 $| \vec{a} + \vec{b} |+| \vec{a} - \vec{b} |$ 的最小值是.

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18. 已知直线 $l : a x + b y + c = 0$ ，若 $a, b, c$ 成等差数列，则当点 $P (2, 1)$ 到直线 $l$ 的距离最大时，直线 $l$ 的斜率是.

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19. 设 $a < 0$ ，若关于 $x$ 的不等式 $(4 x^{2} + a) (x + 2 b) \geq 0$ 对任意的 $x \in (a, b)$ 恒成立，则 $b - a$ 的最大值为.

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三、解答题

20. 已知函数 $f (x) = 2 \sqrt{3} \sin x \cos x + \cos 2 x$ .
（Ⅰ）求 $f (\frac{π}{12})$ 的值；

（Ⅱ）当 $x \in [0, \frac{π}{2}]$ 时，求函数 $f (x)$ 的取值范围.

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21. 在 $Δ A B C$ 中，角 $A ， B ， C$ 所对的边分别是 $a ， b ， c$ ，已知 $(b - 2 c) \cos A = a - 2 a \cos^{2} \frac{B}{2}$ ．
（Ⅰ）求角 $A$ 的大小；

（Ⅱ）若 $a = \sqrt{7}$ ， $b = 2$ ，求 $Δ A B C$ 的面积．

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22. 在数列 ${a_{n}}$ ， ${b_{n}}$ 中，已知 $a_{1} = 1 ， a_{n + 1} = \frac{1}{2} a_{n}$ ，且 $b_{1} + 2 b_{2} + \dots + n b_{n} = \frac{1}{6} n (n + 1) (4 n - 1) ， (n \in N^{*})$ .
(Ⅰ)求数列 ${a_{n}}$ 和 ${b_{n}}$ 的通项公式；

(Ⅱ)求数列 ${a_{n} b_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ .

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23. 已知函数 $f (x) = x^{2} - a x - | a x - 2 |$ ， $(a > 0)$ .
(Ⅰ)若 $a \in (0, 2)$ ，解不等式 $f (x) < 0$ ；

(Ⅱ)设 $x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}$ 是函数 $y = f (x) + 1$ 的四个不同的零点，问是否存在实数 $a$ ，使得其中三个零点成等差数列？若存在，求出所有 $a$ 的值；若不存在，说明理由.

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