四川省雅安市2018-2019学年高一下学期数学期末考试试卷

试卷更新日期：2019-07-25 类型：期末考试

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一、单选题

1. 已知点 $A (0 ， 1) ， B (3 ， 2)$ ，向量 $\vec{B A}$ ＝（）

A、 $(- 3 ， - 1)$ B、 $(- 3 ， 1)$ C、 $(3 ， - 1)$ D、 $(3 ， 1)$

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2. 若a＜b＜c，则下列结论中正确的是（）

A、a|c|＜b|c| B、ab＜bc C、a﹣c＜b﹣c D、 $\frac{1}{a} > \frac{1}{b} > \frac{1}{c}$

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3. 在等差数列{a_n}中，a₅=33，公差d=3，则201是该数列的第（）项．

A、60 B、61 C、62 D、63

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4. 已知 $Δ A B C$ 中， $a = 1, b = 2$ ， $\sin A = \frac{1}{2}$ ，则角 $B$ 等于（）

A、 $30^{0}$ B、 $60^{\circ}$ 或 $120^{\circ}$ C、 $120^{\circ}$ D、 $90^{0}$

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5. 等比数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{6} = 6 ， a_{9} = 9$ 那么 $a_{3}$ 为（）

A、 $4$ B、 $\frac{3}{2}$ C、 $\frac{16}{9}$ D、 $2$

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6. 已知变量x，y满足约束条件 ${\begin{matrix} x + y - 1 \leq 0 \\ 3 x - y + 1 \geq 0 \\ x - y - 1 \leq 0 \end{matrix}$ 则z=2x+y的最大值为（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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7. 已知一个圆锥底面半径为1，母线长为3，则该圆锥内切球的表面积为（）

A、π B、 $\frac{3 π}{2}$ C、2π D、3π

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8. 已知 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 为单位向量，设 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为 $\frac{π}{3}$ ，则 $\vec{a}$ 与 $\vec{a} - \vec{b}$ 的夹角为（）

A、 $\frac{π}{6}$ B、 $\frac{π}{3}$ C、 $\frac{2 π}{3}$ D、 $\frac{5 π}{6}$

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9. 一个几何体的三视图如图所示，其中俯视图为正三角形，则侧视图的面积为（）

A、8 B、 $4 \sqrt{3}$ C、 $4 \sqrt{2}$ D、4

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10. 已知△ABC中，三内角A、B、C的度数成依次等差数列，边a、b、c依次成等比数列．则△ABC是（）

A、直角三角形 B、等边三角形 C、锐角三角形 D、钝角三角形

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11. 用篱笆围一个面积为 $100 m^{2}$ 的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，所用篱笆最短，最短的篱笆是（）

A、30 B、36 C、40 D、50

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12. 在△ABC中，AB=3，AC=2，∠BAC=60°，点P是△ABC内一点（含边界），若 $\vec{A P} = \frac{2}{3} \vec{A B} + λ \vec{A C}$ ，则| $\vec{A P}$ |的取值范围为（）

A、[2， $\frac{2 \sqrt{10 + 3 \sqrt{3}}}{3}$ ] B、[2， $\frac{8}{3}$ ] C、[0， $\frac{2 \sqrt{13}}{3}$ ] D、[2， $\frac{2 \sqrt{13}}{3}$ ]

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二、填空题

13. 若向量 $\vec{a} = (1, 1)$ 与 $\vec{b} = (λ, - 2)$ 的夹角为钝角或平角，则 $λ$ 的取值范围是．

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14. 设a＞0，b＞0，若 $\sqrt{3}$ 是3^a与3^b的等比中项，则 $\frac{1}{a}$ + $\frac{1}{b}$ 的最小值是．

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15. 如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到 $A$ 处时测得公路北侧一山顶D在西偏北 $30^{\circ}$ 的方向上，行驶600m后到达 $B$ 处，测得此山顶在西偏北 $75^{\circ}$ 的方向上，仰角为 $30^{\circ}$ ，则此山的高度 $C D =$ m.

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16. 已知 $a, b, c$ 分别为 $Δ A B C$ 三个内角 $A, B, C$ 的对边， $a = 2$ ， $(2 + b) (sin A - sin B) = (c - b) sin C$ ，则 $Δ A B C$ 面积的最大值为．

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三、解答题

17. 已知: $| \overset{⇀}{a} | = 4, \overset{⇀}{b} = (- 1, \sqrt{3})$

(1)、若 $\vec{a} / / \vec{b}$ ，求 $\vec{a}$ 的坐标；

(2)、若 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为120°，求 $| \vec{a} - \vec{b} |$ .

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18. 关于 $x$ 的不等式 $f (x) \geq x + 3$ 的解集为 ${x | - 1 < x < 2}$ .

(1)、求 $a, b$ 的值；

(2)、求关于 $x$ 的不等式 $b x^{2} - a x - 2 > 0$ 的解集．

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19. 已知 $S_{n}$ 是等差数列 ${a_{n}}$ 的前n项和，且 $S_{n} = - 2 n^{2} + 15 n$ .

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、 $n$ 为何值时， $S_{n}$ 取得最大值并求其最大值．

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20. 如图，在直三棱柱 $A D F - B C E$ 中， $A B = B C = B E = 2$ ， $C E = 2 \sqrt{2}$ .

(1)、求证： $A C ⊥$ 平面 $B D E$ ；

(2)、若点 $K$ 在线段 $B E$ 上，且 $E K = \frac{2}{3}$ ，求三棱锥 $K - B D F$ 的体积．

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21. 在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足 $\frac{2 c - b}{a} = \frac{\cos B}{\cos A}$ .

(1)、求角A的大小；

(2)、若D为BC边上一点，且CD＝2DB，b＝3，AD＝ $\sqrt{21}$ ，求a.

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22. 数列 ${a_{n}}$ 满足： $a_{1} = a (a \neq 0$ ，且 $a \neq 1)$ ，其前n项和 $S_{n} = \frac{a}{1 - a} (1 - a_{n})$ .

(1)、求证： ${a_{n}}$ 为等比数列；

(2)、记 $b_{n} = a_{n} \lg | a_{n} | (n \in N^{*}), T_{n}$ 为数列 ${b_{n}}$ 的前n项和.
（i）当 $a = 2$ 时，求 $T_{n}$ ；

（ii）当 $a = - \frac{\sqrt{7}}{3}$ 时，是否存在正整数 $m$ ，使得对于任意正整数 $n$ ，都有 $b_{n} \geq b_{m}$ ？如果存在，求出 $m$ 的值；如果不存在，请说明理由.

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